,

(4.34a)

(4.34b)

 

popř.

 

Rovnice (4.34) , popř. (4.35) , zřejmě nahrazují rovnici (3.30) pro náš obec­nější případ, kdy se uplatní vliv jevu elektromagnetické indukce. Je z nich možné vypočítat proudy ve všech smyčkách I₁(t), I₂(t),..., I_N(t) , jsou-li za­dána vnější elektromotorická napětí E ₁(t), E ₂(t),..., E _N(t) , celkové odpory R_c,1, R_c,2,..., R_c,N a vlastní i vzájemné indukčnosti L_ik. (Jelikož jde o diferen-ciální rovnice prvního řádu, je pro určení konkrétního průběhu proudu třeba ještě znát počáteční podmínky, tj. například hodnotu proudu v určitém okamžiku.) Tyto rovnice však ještě nevystihují situaci v obvodech s proměnným proudem úplně. Není v nich totiž počítáno s vlivem kapacity mezi jednotlivými vodiči.

 

 

Obr. 4.11 Vodivá smyčka v kvazistacionárním přiblížení: a) realizace smyčky s odporem, indukčnosti a kapacitou, b) schéma smyčky v aproximaci soustředěných parametrů.

 

Abychom její vliv mohli poznat, uvažujme jednoduchý obvod podle obr. 4.11a. Předpokládejme, že tento obvod vznikl přerušením vodivého uzavře­ného obvodu o celkovém odporu R_c a vlastní indukčnosti L_ik, přičemž do místa přerušení byl zařazen kondenzátor kapacity C. Kapacity mezi jednotlivými částmi vodičů původního obvodu zatím zanedbáme, takže vlastnosti nové sou­stavy budou plně určeny veličinami R_c, L, C. Je samozřejmé, že takto upraveným "obvodem" již nemůže téci stacionární proud. Jeho vodiči však může protékat časově proměnný kondukční proud při změnách náboje na elektrodách kondenzátoru.

Předpokládejme dále, že ve vodičích obvodu působí vtištěné síly, jejichž vliv je možné popsat elektromotorickým napětím E (t) . Provedeme integraci Ohmova zákona (3.26) podél uzavřené křivky l, jejíž část l_e vedená vně kondenzátoru splývá s vodiči obvodu. Druhá část l_i, probíhající vnitřkem kondenzátoru, nechť je vedena libovolně. Budeme však předpokládat, že kondenzátor je malých roz­měrů, takže bude l_e >>  l_i, a uvedená libovůle příliš neovlivní velikost plochy ohraničené křivkou l. Pro integrál přes l_e dostaneme

 

 

 

Tyto rovnice však ještě nezahrnují uplatnění indukovaného elektromotorického napětí. Po opravě ve smyslu (4.35a) , resp. (4.35b) bude platit

 

 

popř.

 

Rovnici (4.36) můžeme dát jasnější smysl, využijeme-li vlastnosti elektrického pole. Podle článku 4.1.3 víme, že kvazistacionární elektrické pole je potenciální. Pro jeho intenzitu E (r , t) bude tedy v každém okamžiku platit

 

Veličina

 

však představuje rozdíl elektrického potenciálu (tj. okamžitou hodnotu napětí) U_C(t) mezi elektrodami kondenzátoru, který lze užitím (1.201) vyjádřit pomocí kapacity C a okamžité hodnoty náboje na kondenzátoru. Tedy

 

 

Po dosazení do (4.36) dostaneme pro náš obvod rovnici

 

nebo

 

 

Rovnice (4.38) a (4.38a) mají pro obvod znázorněný na obr. 4.11a stejný vý­znam jako rovnice (3.30) pro stacionární vodivě uzavřený obvod. Je z nich možno vypočítat proud, známe-li parametry E (t), R_c , L, C (a počáteční pod­mínky). Podobně jako v případě (4.34) a (4.35) mohou být i tyto rovnice převe­deny na tvar lineární diferenciální rovnice (tentokrát druhého řádu), v nichž ne­známou veličinou je proud jako funkce času. Uvědomíme-li si, že platí, viz (3.2) ,

 

 

dostaneme po zderivování rovnic (4.38)

 

 

Právě provedená úvaha ukazuje, za jakých podmínek může vodiči spojenými s elektrodami kondenzátoru protékat proud. Při působení časově proměnných elektromotorických napětí je nutné tyto vodiče (spolu s připojeným kondenzáto­rem) považovat za součást uvažovaných obvodů přesto, že nereprezentují elek­tricky vodivé spoje. Je tedy zřejmé, že v kvazistacionárním přiblížení je užitečné zobecnit pojem elektrického obvodu. V tomto zobecněném pojetí je třeba za elektrický obvod považovat libovolné spojení (homogenních i nehomogenních) vodičů, které je charakterizováno jejich odpory, elektromotorickými napětími, vlastními i vzájemnými indukčnostmi a také kapacitami mezi jednotlivými částmi vodičů.

Z rovnic (4.34) až (4.39) a také z rovnice kontinuity vyplývá, že v daném okamžiku je proud v každém průřezu nerozvětvené části vodiče stejný. Pro vý­počet proudů a napětí na těchto úsecích není proto zapotřebí uvažovat skutečný tvar těchto vodičů. Ke zjednodušení úvah o kvazistacionárních obvodech se proto zavádí tzv. přiblížení soustředěných parametrů. Předpokládáme, že vlastní indukčnosti vodičů lze reprezentovat cívkami velmi malých rozměrů zhotove­nými z ideálních vodičů, přičemž jednotlivým dvojicím cívek připisujeme odpo­vídající hodnoty vzájemných indukčností. Podobně kapacity mezi jednotlivými vodiči nahrazujeme kondenzátory, a o odporech předpokládáme, že jsou sou­středěny do velmi malých úseků vodičů, které tvoří prvky nazývané rezistory. Libovolný obvod pak můžeme reprezentovat určitým spojením těchto základ­ních prvků (zdrojů, cívek, kondenzátorů a rezistorů). O vodičích, které je pro­pojují předpokládáme, že jsou ideální; jejich odpory, indukčnosti i kapacity mezi nimi již považujeme za nulové. Uvažovaný obvod podle obr. 4.11a může pak být při využití smluvených schematických značek překreslen do tvaru který, vidíme na obr. 4.11b.

Pro právě zavedený kvazistacionární obvod se soustředěnými parametry lze v podstatě reprodukovat úvahy článku 3.2.4 a odvodit Kirchhoffova pravidla.

Platnost I. Kirchhoffova pravidla ve tvaru uvedeném v čl. 3.2.4 je pro libo­volný uzel a v každém okamžiku zřejmá, neboť pro kvazistacionární přiblížení požadujeme platnost rovnice kontinuity ve tvaru (3.16) (viz článek 4.1.3). Slovně může být jeho obsah vyjádřen takto:

Algebraický součet proudů přitékajících do uzlu musí být v každém okamžiku nulový.

Pokud jde o II. Kirchhoffovo pravidlo, je zřejmé, že na libovolnou smyčku v libovolně rozvětveném obvodu lze aplikovat stejný postup, který jsme použili v předchozí části tohoto článku k vyšetřování nerozvětveného obvodu. Dostali bychom výsledek:

Součet napětí na všech odporech a kondenzátorech ve smyčce je v každém okamžiku roven součtu elektromotorických napětí působících ve smyčce a elektromotorických napětí indukovaných ve všech cívkách podél smyčky.

Rovnice (4.34) až (4.39) , které vyjadřují toto tvrzení, je možné též považovat za vyjádření II. Kirchhoffova pravidla pro speciální případy uvažovaných nerozvětvených obvodů.

Při důsledné aplikaci přiblížení soustředěných parametrů můžeme zavést pojmy okamžitých napětí na jednotlivých prvcích obvodu, tj. na jednotlivých odporech, kapacitách a vlastních i vzájemných indukčnostech. Okamžitá hod­nota napětí U_R(t) odporu R je zřejmě dána Ohmovým zákonem, okamžitá hod­nota napětí U_C(t) na kondenzátoru C je dána vztahem (4.37) . Tedy

 

 

Okamžitou hodnotu napětí U_L(t) na indukčnosti L lze zřejmě definovat vztahem

 

 

Podle této definice U_L(t) představuje okamžitou hodnotu rozdílu potenciálu na svorkách indukčnosti. (Například pro indukčnost L v obvodu znázorněném na obr. 4.11b jde o rozdíl potenciálu mezi svorkami (2) a (3), který je kladný, jest­liže proud tekoucí v naznačeném směru vzrůstá.)

Využitím uvedených pojmů lze rovnici (4.38) také vyjádřit ve tvaru

 

 

a II. Kirchhoffovo pravidlo slovně formulovat rovněž takto:

Součet napětí na všech odporech, kapacitách a indukčnostech zařazených do uzavřené smyčky je v každém okamžiku roven součtu elektromotorických napětí působících ve smyčce.

Rozdíl mezi rovnicemi (4.38) a (4.38b) je ovšem jen formální. Obě mohou být převedeny na rovnici druhého řádu typu (4.39) , v níž proud I(t) představuje neznámou hledanou funkci.

Viděli jsme, že zatímco aplikace Kirchhoffových pravidel na stacionární obvody vede obecně na lineární algebraické rovnice pro neznámé veličiny, v případě kvazistacionárních obvodů máme v podobné situaci co činit s lineár­ními diferenciálními rovnicemi (prvního či druhého řádu). Přesto jsou obecné metody řešení stacionárních a kvazistacionárních obvodů v mnohém podobné. (O obecných metodách řešení elektrických obvodů bude pojednáno v kapitole 8.) V následujících článcích tohoto oddílu probereme ještě některé speciální typy kvazistacionárních obvodů, důležité z praktického hlediska.

 

4.2.2 Generace střídavého harmonického napětí, střídavé obvody

 

Zdrojem střídavého harmonického elektromotorického napětí nazýváme takové zařízení, které produkuje elektromotorické napětí, jehož časová závislost je dána vztahem

 

v němž E ₀ je amplituda napětí, ω jeho úhlová frekvence a φ fázová konstanta. Probereme dva nejdůležitější principy, které se v technice ke generaci střídavých harmonických elektromotorických napětí užívají.

První způsob, užívaný zejména v energetice, pracuje na principu elektrického generátoru a využívá jevu elektromagnetické indukce ve vodičích pohybujících se v magnetickém poli (srov. odst. 4.1.2b). Pro demonstraci principu činnosti uvažujme nejdříve rovinnou cívku o N závitech rotující v homogenním magne­tickém poli B konstantní úhlovou frekvencí ω kolem osy kolmé k ose souměr­nosti cívky a ke směru magnetického pole (viz obr. 4.12a). Magnetický tok Φ průřezem cívky S bude záviset na čase podle vztahu

 

 

a v cívce se indukuje elektromotorické napětí

 

 

Označením E ₀ = ω BSN a vhodnou volbou fázové konstanty φ (tj. vhodnou vol­bou počátku odečítání času) je můžeme vyjádřit ve tvaru (4.41) .

Z praktického hlediska je výhodnější konstrukce, kdy se střídavé elektromotorické napětí indukuje v nehybné cívce. Princip takového uspořádání, nazývaného alternátor, je uveden na obr. 4.12b. Sestává z tzv. statoru ST a ro­toru RT. Stator je zhotoven z magneticky měkkého feromagnetika, na jehož pólových nástavcích tvořících plášť válcové dutiny je navinuta cívka C_s sníma­jící indukované napětí. V dutině se pak otáčí magnet (nejčastěji elektromagnet buzený cívkou C_r), který v magnetickém obvodu statoru budí střídavý magne­tický tok. Vhodnou konstrukcí tvaru pólů lze zajistit, že se ve statorové cívce indukuje elektromotorické napětí, jehož průběh je s dostatečnou přesností dán vztahem (4.41) .

V silnoproudé elektrotechnice se zpravidla užívají tzv. vícefázové (nejčastěji třífázové) soustavy, které spočívají ve vhodném propojení příslušného počtu zdrojů se synchronně proměnným a vzájemně fázově posunutým elektromoto­rickým napětím do jednoho systému (n-fázovou soustavu napětí lze například získat pomocí jediného 2n-pólového alternátoru). Podrobněji se otázkami vícefá­zových soustav ani technickými náležitostmi konstrukce generátorů v této knize zabývat nebudeme a odkazujeme na doporučenou literaturu - např. [9].

 

 

Druhý způsob generace střídavého harmonického napětí využívá vlastních kmitů v obvodu s indukčností, odporem a kapacitou. Uvažujme obvod podle obr. 4.13 a předpokládejme, že ve výchozím okamžiku t = 0, kdy zapneme spínač, je kondenzátor C nabit na napětí U_C,0. Po zapnutí spínače se kondenzátor počne vybíjet přes odpor R a indukčnost L, takže obvodem poteče proud I(t) . Protože v obvodu nepůsobí žádné elektromotorické napětí, bude možné jej popsat rovnicemi (4.38) až (4.39) , ve kterých položíme E (t)  = 0. Speciálně z (4.39) dostaneme pro proud I rovnici

 

 

Její obecné řešení má tvar

 

 

kde K₁, K₂ jsou integrační konstanty a

 

 

jsou kořeny charakteristické kvadratické rovnice.

 

 

Řešení (4.44) rovnice (4.43) má jak známo různý charakter v závislosti na hodnotě diskriminantu D = R² - (4L)/C. Pro D ℜ ≥  0 jsou α ₁, α ₂ reálné. Proud pak má průběh, který je kvalitativně zobrazen na obr. 4.14. Tento případ, který vyjadřuje tzv. aperiodický stav obvodu, nás však nyní nebude zajímat. Obrátíme pozornost ke zbylé možnosti D < 0. Zavedeme-li, jak je zvykem, reálné veličiny , dostaneme α _1,2 = -δ  +/- iω _v. Pomocí no­vých integračních konstant K, φ můžeme pak řešení (4.44) psát ve tvaru

 

 

Výsledek (4.45) ukazuje, že proud v obvodu může mít charakter tlumených harmonických kmitů, které nazýváme vlastními kmity obvodu. Veličina δ zřejmě charakterizuje rychlost jejich tlumení, a nazývá se proto konstantou útlumu; za dobu t = 1/δ poklesne amplituda kmitů e-krát. Na hodnotě konstanty útlumu ovšem také závisí kruhová frekvence vlastních kmitů .

Uplatníme nyní v obecném řešení (4.45) předpokládané počáteční podmínky, které lze vyjádřit vztahy I(0)  = 0, U_C,0 + L(dI/dt )_t = 0 = 0. Těmto počátečním podmínkám vyhovuje například hodnota fázové konstanty φ  = -π /2. Pro kon­stantu K dostaneme K = U_C,0/(ω _vL), takže z (4.45) obdržíme průběh proudu

 

 

který je kvalitativně zobrazen na obr. 4.15. Pomocí tohoto vztahu je možné snadno kvalitativně diskutovat děje probíhající v obvodu. Kondenzátor, který je ve výchozím stavu nabitý na napětí U_C,0, se počne po zapojení spínače vybíjet a proud tekoucí obvodem rychle vzrůstá. S postupujícím vybíjením kondenzá­toru klesá energie jeho elektrického pole a současně vzrůstá energie magnetic­kého pole cívky. Po uplynutí čtvrtiny periody proud dosáhne maximální hod­noty. Kondenzátor je téměř vybitý a téměř všechna energie obvodu je soustředěna v magnetickém poli cívky. Jelikož je v tomto stavu dI/dt  = 0, je napětí na cívce nulové. Od tohoto okamžiku počne proud klesat, čímž se v cívce indukuje elektromotorické napětí, které postupně nabíjí kondenzátor na opačnou polaritu. Po uplynutí poloviny periody je proud v obvodu nulový a všechna energie je opět soustředěna v elektrickém poli kondenzátoru. Kondenzátor se počne opět vybíjet a celý děj se opakuje.

 

 

Vlastní kmity v obvodu jsou tedy podmíněny střídavou proměnou elektrického pole v magnetické a naopak. Současně ovšem dochází ke ztrátám v důsledku přeměny části energie v Jouleovo teplo, čímž postupně klesá amplituda kmitů. Tento pokles je samozřejmě tím pomalejší, čím menší je činitel tlumení δ . V praxi užívaných obvodech je často možné dosáhnout stav malého tlumení, kdy δ  <<  ω ₀. Vlastní kmity pak mají kruhovou frekvenci ω _v = ω ₀ závislou jen na indukčnosti a kapacitě, která je dána vztahem

 

 

jemuž někdy říkáme Thomsonův vzorec. Doba jejich trvání v obvodu může být mnohonásobně delší než perioda T.

Obvod R, L, C s malým tlumením, ve kterém mohou vznikat vlastní tlumené kmity, se nazývá oscilačním obvodem. Je možné doplnit takový obvod přídav­ným zařízením, které vhodným způsobem doplňuje ztráty energie, takže se v obvodu udržují trvale netlumené kmity. (Vhodným energeticky aktivním zaří­zením tohoto druhu může být například elektronka či tranzistor.) Obvod s ne­tlumenými kmity může pak být například prostřednictvím vzájemné indukčnosti vázán s jinými obvody a může v nich budit harmonicky proměnné proudy. Z hlediska těchto sekundárních obvodů může být oscilační obvod považován za zdroj elektromotorického napětí E (t) , které lze popsat vztahem (4.41) .

Zdroje střídavého elektromotorického napětí harmonického průběhu předsta­vují patrně nejvíce užívaný typ zdrojů ve všech odvětvích elektrotechniky. Díky tomu mají také velký význam střídavé obvody. Rozumíme jimi libovolné spojení rezistorů, cívek a kondenzátorů, které je připojeno ke zdrojům střídavého elek­tromotorického napětí, nebo jsou v něm generovány střídavé proudy.

Střídavé obvody jsou speciálním případem kvazistacionárních obvodů. Platí pro ně tedy všechny zákonitosti odvozené v předchozím článku. Vzhledem k harmonickému průběhu elektromotorického napětí je však možné je vyjádřit v mnohem konkrétnějším a jednodušším tvaru. Tuto situaci budeme demonstro­vat na jednoduchém, avšak dosti obecném a charakteristickém příkladu. Předpo­kládejme, že ke zdroji střídavého elektromotorického napětí (4.41) je připojena libovolná kombinace rezistorů, cívek a kondenzátorů, jejichž parametry jsou konstantní, nezávislé na protékajícím proudu (tj. vylučujeme např. cívky s fero­magnetickými jádry). Z uvažovaného zdroje bude do obvodu dodáván obecně časově proměnný proud I(t) , pro který je možné užitím Kirchhoffových pravi­del (viz čl. 4.2.1) sestavit příslušné diferenciální rovnice. Rozborem charakteru těchto rovnic (srov. článek 4.2.4) lze vždy ukázat, že za dostatečně dlouhou dobu po připojení zdroje bude mít proud I(t) protékající jednotlivými prvky harmonický průběh

 

Jeho amplituda I₀ bude závislá jednak na amplitudě elektromotorického napětí, jednak na parametrech uvažovaného spojení a na frekvenci ω . Podobný charak­ter bude mít okamžitá hodnota napětí na daném prvku

 

 

Pro poměr amplitudy napětí a proudu na daném prvku (či na uvažované kombi­naci několika prvků) je možné vždy psát

 

 

Veličina Z je pro uvažované spojení prvků (rezistorů, cívek, kondenzátorů) cha­rakteristická, závisí obecně na frekvenci a nazývá se impedancí tohoto spojení. Vztah (4.50) definující impedanci, je formálně shodný se vztahem (3.19) vyja­dřujícím integrální tvar Ohmova zákona. Je proto možné ji považovat za veličinu v jistém smyslu analogickou odporu vodiče (její jednotkou je rovněž ohm). Je však nutné si uvědomit, že impedance ve smyslu vztahu (4.50) udává pouze relaci mezi amplitudami napětí a proudu. Souvislost mezi fázovými konstantami φ _i, φ _u je nutné určit z jiných parametrů obvodu.

Stav střídavého obvodu za dobu dostatečně dlouhou po zapnutí příslušných zdrojů elektromotorického napětí, kdy platí vztahy (4.48) až (4.50) a kdy je tedy možné zavést impedanci jednotlivých prvků, se nazývá ustáleným stavem. V opačném případě mluvíme o stavu neustáleném.[33] V článku 4.2.4 budou uve­deny příklady řešení střídavých obvodů v ustáleném i neustáleném stavu. V kapitole 8 pak bude podán systematický výklad metod řešení obecných střída­vých obvodů v ustáleném stavu.

 

4.2.3 Indukčně vázané obvody, transformátor

 

Dvojice elektrických obvodů vázaných vzájemnou indukčností představuje další, v praxi velmi důležitý typ kvazistacionárních obvodů. Abychom poznali jejich vlastnosti, uvažujme nejdříve obecnou dvojici uzavřených vodivých smyček podle obr. 4.16a o vlastních indukčnostech L₁, L₂ a odporech R₁, R₂. V první (primární) smyčce nechť působí obecně časově proměnný zdroj elektromotoric­kého napětí E ₁(t) a mezi oběma smyčkami nechť je vzájemná indukčnost L₁₂. V přiblížení soustředěných parametrů, diskutovaném v článku 4.2.1, může být vyšetřovaná soustava znázorněna schématem, jež vidíme na obr. 4.16b.

 

 

Podle II. Kirchhoffova pravidla platí pro oba obvody rovnice

 

ze kterých lze při známých počátečních podmínkách (a ovšem i všech paramet­rech obvodů) vypočítat časový průběh proudů I₁ i I₂. Některé důležité závěry lze však z rovnic (4.51) získat i bez konkrétní znalosti průběhu E ₁(t) .

Všimněme si nejdříve situace, kdy je druhá (sekundární) smyčka rozpojena. Mezi konci jejích vodičů lze pak naměřit elektromotorické napětí E ₂₀ = L ₁₂ (dI₁/dt) . Bude-li odpor R₁ dostatečně malý tak, že bude možné člen na pravé straně první rovnice (4.51) považovat přibližně za nulový, dostaneme

 

 

Velmi zajímavá je dále otázka, jak se proud sekundární smyčky projeví na chování smyčky primární. Tuto otázku je možné snadno a velmi názorně vyřešit ve speciální situaci, kdy je odpor R₂ dostatečně malý tak, že můžeme v každém okamžiku pravou stranu druhé rovnice (4.51) přibližně položit rovnou nule. Platí pak

 

 

Po integraci (za předpokladu, že v čase t = 0, kdy byl do primárního obvodu zapojen zdroj, byly oba proudy nulové) dostaneme mezi proudy I₁(t) a I₂(t) v libovolném okamžiku vztah

 

 

Pomocí tohoto výsledku dostaneme z druhé rovnice (4.51)

 

 

a po dosazení do rovnice první

 

(4.54)

 

Z výsledku (4.54) plynou dva důležité závěry. Za prvé srovnáním s rovnicí (4.35) a s dynamickým definičním vztahem vlastní indukčnosti (4.17) vidíme, že se primární smyčka chová tak, jako kdyby měla efektivní indukčnost

 

Podobně jako pro libovolnou vlastní indukčnost musí i zde platit L_1,ef ℜ ≥  0 (viz úloha Ú 4.5). Přítomnost sekundární uzavřené smyčky tedy zmenšuje efektivní indukčnost smyčky primární. Obvykle se zavádí činitel vazby . Lze tedy psát

 

 

přičemž k ℜ ≤  1. V mezním případě k = 1 je efektivní indukčnost primární smyčky nulová. Tento stav těsné vazby, kdy by oběma smyčkami protékal stejný mag­netický tok, nelze ovšem ve skutečnosti dosáhnout; obě smyčky by se musely geometricky ztotožnit. Pro reálné obvody proto vždy platí k < 1, . (srov. příklad 4.1.5d), i když hodnoty k blízké jedné může být vhodnou kon­strukcí dosaženo.

Ze srovnání výsledku (4.54) s rovnicí (4.35) pro osamocenou smyčku plyne i druhý závěr. Kromě zmenšení indukčnosti na efektivní hodnotu L_1,ef se přítom­nost sekundárního obvodu projeví také vzrůstem efektivního odporu primárního obvodu o hodnotu . To odpovídá skutečnosti, že zdroj v primárním obvodu musí rovněž dodávat energii spotřebovanou při průchodu proudu sekun­dárním obvodem na Jouleovo teplo.

Soustava induktivně vázaných cívek konstruovaná pro různé obvody v jednotlivých odvětvích elektrotechniky se nazývá transformátor. Obecně může transformátor sestávat z více než dvou cívek s různými činiteli vzájemné vazby, v závislosti na účelu použití. Často je však žádoucí dosáhnout co nejtěsnější vazbu; v ideálním případě k = l mluvíme o ideálním transformátoru.

Pro dosažení maximální těsné vazby dvou cívek je nutné, aby plochami všech jejích závitů procházel společný magnetický tok. Relativně těsné vazby se napří­klad dosahuje mezi dvěma válcovými cívkami navinutými z tenkého vodiče těsně na společné kostře (viz 4.1.5e) nebo mezi podobně navinutými toroidními cívkami (srov. úlohu Ú 4.9). Vedle co nejtěsnější geometrie je možné činitele vazby zvýšit navinutím cívek na společné jádro zhotovené z materiálu o vysoké relativní permitivitě _r >>  1 tak, aby tvořilo uzavřený magnetický obvod o co nejmenším magnetickém odporu (srov. čl. 3.5.5). Magnetický tok společný in­duktivně vázaným cívkám se pak uzavírá především tímto jádrem a těsná geo­metrie cívek přestává mít prvořadou důležitost. Na obrázku 4.17 jsou schema­ticky zobrazeny dvě nejužívanější konstrukce transformátorů. V případě obrázku 4.17a tvoří jádro jednoduchý magnetický obvod obdélníkového profilu, jímž se uzavírá magnetický tok. Primární a sekundární cívky jsou odděleně navinuty na protilehlých stranách jádra. U transformátoru podle obr. 4.17b jsou primární i sekundární cívky postupně navinuty na středním sloupku jádra. Společný mag­netický tok procházející tímto sloupkem se pak uzavírá obvodem jádra, jak je na obrázku naznačeno.

Jádra transformátorů se zhotovují z magneticky uspořádaných feromagnetických či ferimagnetic­kých materiálů (viz články 3.5.4 a 7.2.3). Vedle základního požadavku vysoké relativní permeabi­lity jsou na ně kladeny ještě požadavky další. Za prvé jde o to, že při změnách proudu v cívkách transformátoru se materiál jádra přemagnetovává, což je spojeno s přeměnou energie magnetic­kého pole v teplo (srov. příklad 4.3.4b). Tyto procesy, označované jako hysterezní ztráty, jsou ovšem v transformátoru nežádoucí a je třeba je minimalizovat. Jádra transformátorů se tudíž zhotovují z magneticky měkkých materiálů s nízkým koercitivním polem.

Další faktor ovlivňující vlastnosti jádra transformátoru jsou tzv. vířivé (někdy též Foucaultovy) proudy. Tyto proudy jsou důsledkem zákona elektromagnetické indukce a indukují se v elektricky vodivém prostředí vždy, dochází-li v něm k časovým změnám magnetického pole.[34] V trans-formátorech se vířivé proudy projevují nežádoucím způsobem, je-li materiálem jádra elektricky vodivé kovové feromagnetikum. Elektricky vodivé jádro představuje totiž další vodivou smyčku induktivně vázanou s cívkami transformátoru. V důsledku indukovaných vířivých proudů vzniká v jádru Jouleovo teplo, pro něž je potřebná energie dodávána zdroji elektromotorického napětí působícími v obvodu transformátoru (srov. vztah (4.54) ). Pro konstrukci jader je proto třeba volit materiály s co nejnižší elektrickou vodivostí a uspořádat geometrii způsobem, který by velikost vířivých proudů omezil. Klasickým materiálem je magneticky měkká ocel s příměsí křemíku, který snižuje její měrnou vodivost. Další omezení vířivých proudů se dosahuje tím, že se potřebný průřez jádra skládá z tenkých, vzájemně elektricky izolovaných plechů.

 

 

Pro ideální transformátor lze obecné závěry (4.52) , (4.53) a (4.54) vyjádřit v konkrétnějším tvaru, který ovšem přibližně platí i pro reálné transformátory s těsnou vazbou k B  1. Situaci budeme demonstrovat na jednoduchém příkladu transformátoru, jehož primární a sekundární cívky mají postupně N₁ a N₂ závitů a který je zapojen do obvodu podle obr. 4.16b. (Předpokládáme přitom, že od­pory R ₁ a R₂ reprezentují celkové odpory primárního a sekundárního obvodu.) Za diskutovaných podmínek ideální těsné vazby platí zřejmě (srov. příklad 4.1.5e a úlohu Ú 4.9), odkud s ohledem na relaci máme vztahy

 

 

Jejich dosazením do (4.52) a (4.53) dostáváme známé výsledky

 

 

 

Výraz (4.58) říká, že v transformátoru s rozpojeným sekundárem (transformátor naprázdno) se velikosti elektromotorického napětí transformují v poměru počtu závitů primáru k sekundáru. Proudy se naopak v transformátoru se zanedbatel­ným odporem sekundáru (transformátor nakrátko) podle (4.59) transformují v opačném poměru. Po dosazení (4.57) do (4.54) dostaneme dále

 

 

Sekundární odpor R₂ se tedy do primárního obvodu transformuje v poměru čtverce počtu závitů. Z rovnic (4.60) rovněž plyne, že efektivní indukčnost ideálního transformátoru je nulová. Transformátor se tedy vůči zdroji E ₁(t) chová jako obvod s čistě ohmickým odporem hodnoty .

 

4.2.4 Řešené příklady

 

a) Neustálený stav v obvodech s indukčností a kapacitou

Vyšetřme poměry v obvodech s kapacitou a indukčností, v nichž působí časově neproměnné zdroje elektromotorického napětí (viz obr. 4.18). Odpor R předsta­vuje celkový odpor působící v obvodech, včetně vnitřního odporu zdroje. Bu­deme předpokládat, že spínač S je sepnut v čase t = 0, takže počínaje tímto okamžikem začne v obvodu působit zdroj časově neproměnného elektro-motorického napětí.

V případě obvodu s odporem a kapacitou (obr. 4.18a) dostaneme položením L = 0 v (4.39) pro proud I(t) rovnici

 

 

Její obecný integrál má tvar

 

 

Hodnotu integrační konstanty K určíme z počátečních podmínek. Při zapnutí obvodu má kondenzátor nulový náboj, takže podle (4.39) musí platit I(0)R =  E . Dosazením do (4.62) dostaneme hledané partikulární řešení

 

 

Proud tekoucí obvodem nabíjí kondenzátor C. Pro okamžitou hodnotu napětí U_C na kondenzátoru dostaneme z (4.37) podmínku I(t)R +  U_C =  E , z níž po dosa­zení proudu podle (4.63) vyplyne

 

 

Po uplynutí dostatečně dlouhé doby je kondenzátor nabit na napětí U_{C,ℜ nekonecno}  = E a obvodem již dále neteče proud. Vypnutí spínače pak již nemá vliv na poměry v obvodu; kondenzátor zůstane trvale nabit. V jeho dielektriku zůstane elektrosta­tické pole o energii , která byla dodána zdrojem elektromotoric­kého napětí.

Pro obvod znázorněný na obr. 4.18b platí rovnice (4.35) . Jde o nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Její obecné řešení je dáno součtem libovolného partikulárního řešení a obecného řešení příslušné homogenní rov­nice. Jelikož proud I_{ℜ nekonecno}  = E /R je triviálním řešením (4.35) , lze obecné řešení psát ve tvaru

 

Bezprostředně po zapnutí spínače bude mít proud obvodem nepatrnou hodnotu, neboť bude platit L(dI/dt) B  E . Hodnotu integrační konstanty lze tedy určit uži­tím počátečních podmínek I(0)  = 0 pro t = 0. Dostaneme pak hledané partiku­lární řešení

 

Je z něj vidět, že proud v obvodu exponenciálně narůstá a asymptoticky se blíží k ustálené hodnotě I_{ℜ nekonecno}  = E /R. Na tuto ustálenou hodnotu proudu nemá již indukč­nost L žádný vliv.

Při vypnutí spínače nastanou v obvodu složité poměry, neboť v indukčnosti L zaniká magnetické pole a jeho energie se musí nějakým způsobem zužitkovat. Nejčastěji nastává taková situace, že změnami proudu se v indukčnosti L indu­kuje elektromotorické napětí dostačující k tomu, aby mezi kontakty spínače zapálil jiskrový výboj. Tento výboj způsobí, že obvodem může téci proud ještě určitou dobu po vypnutí spínače a energie magnetického pole se částečně vyzáří a částečně přemění v Jouleovo teplo.

 

Obr. 4.19 Časová závislost napětí a proudu v obvodech uvedených na obr. 4.18: a) průběh proudu v obvodu s odporem a kapacitou, b) průběh napětí na kondenzátoru, c) průběh proudu v obvodu s indukčnosti.

 

Odpor výbojové dráhy můžeme schematicky popsat zařazením odporu Rℜ'  >>  R paralelně ke kontaktům spínače. Proud obvodem po vypnutí spínače bude potom rovněž popsán obecným řešením (4.65) , v němž však je odpor R nahrazen odporem R'. Po dosazení počátečních podmínek I = E /R pro t = 0 a po zanedbání členu E /Rℜ' dostaneme pro průběh proudu

 

 

Vidíme tedy, že proud po vypnutí spínače exponenciálně klesá. Na obrázku 4.19 jsou pro ilustraci uvedeny grafické závislosti vypočítaných veličin. Obrázek 4.19a zobrazuje proud obvodem s kapacitou, obr. 4.19b znázorňuje průběh napětí U_C na kondenzátoru a konečně na obr. 4.19c vidíme průběh proudu v obvodu s indukčností.

 

b) Sériový rezonanční obvod

Vyšetřme vlastnosti sériového spojení odporu R, indukčnosti L a kapacity C, které je připojeno k ideálnímu zdroji střídavého elektromotorického napětí frek­vence ω , jehož okamžitá hodnota je dána vztahem (4.41) , ve kterém jsme pro zjednodušení položili φ  = 0. (viz obr. 4.20).

 

 

Aplikací II. Kirchhoffova pravidla dostaneme pro vyšetřovaný obvod rovnici, kterou lze převést na lineární diferenciální rovnici druhého řádu typu (4.39) , v níž je neznámou veličinou proud tekoucí obvodem

 

 

Obecné řešení této rovnice lze, jak víme, vyjádřit jako sumu partikulárního ře­šení celé rovnice (4.68) a obecného řešení příslušné homogenní rovnice, tj. rov­nice typu (4.43) , které má obecný tvar, viz (4.44) ,

 

 

Konkrétní poměry v obvodu závisí jednak na charakteru kořenů α₁, α₂ charakte­ristické kvadratické rovnice a jednak na hodnotách integračních konstant K₁, K₂, jež jsou dány počátečními podmínkami. Příspěvek obecného integrálu (4.44) homogenní rovnice k celkovému proudu v obvodu závisí tedy mimo jiné na tom, ve kterém bodě periody elektromotorického napětí je zdroj k obvodu připojen.

Z diskuse vlastností řešení (4.44) provedené v článku 4.2.2 však plyne, že bez ohledu na konkrétní hodnoty parametrů obvodu či na hodnoty počátečních pod­mínek se jeho hodnota asymptoticky blíží k nule pro t ℜ →  ℜ nekonecno . Po dostatečně dlouhé době od zapnutí zdroje můžeme příspěvek obecného integrálu homo­genní rovnice k celkovému proudu zanedbat. Obecný integrál homogenní rovnice ovlivňuje tedy proud jen v neustáleném stavu a nebudeme se jím dále zabývat.

Ustálený stav obvodu je tudíž určen jen partikulárním řešením celé nehomo­genní rovnice (4.68) . Je přirozené předpokládat, že po dostatečně dlouhé době od zapnutí zdroje bude charakter časové závislosti proudu v obvodu určen jen charakterem časové závislosti elektromotorického napětí. Partikulární řešení rovnice (4.68) budeme tedy hledat ve tvaru

 

 

přičemž hodnoty parametrů I₀ a φ _i , určíme z požadavku, aby toto řešení rovnici (4.68) vyhovovalo. Po provedení příslušných derivací a dosazení do (4.68) do­staneme podmínku

 

Má-li být tato podmínka splněna v libovolném okamžiku, musí být koeficienty u cos  ω t a sin  ω t rovny nule. Tedy

 

 

což jsou rovnice pro hledané parametry φ _i a I₀. Z první rovnice (4.71) dostaneme pro φ _i

 

 

a pro I₀ platí

 

nebo (s využitím identity ) také

 

 

Srovnáním s definičním vztahem (4.50) dostáváme pro impedanci sériového spojení odporu, indukčnosti a kapacity

 

 

Z výsledku (4.75) vidíme, že impedance, a tedy i amplituda proudu je nemo-notónní funkcí frekvence ω . Impedance má minimální hodnotu Z_min = R, platí-li ω   L = 1/ω C, tj. je-li frekvence zdroje ω rovna frekvenci ω ₀ podle vztahu (4.47) . Při této frekvenci má amplituda proudu maximální možnou hodnotu

 

Právě vyšetřovaný obvod (viz obr. 4.20) se nazývá sériovým rezonančním obvodem. Závislost amplitudy proudu na frekvenci zdroje se nazývá rezonanční křivkou obvodu. V případě, že pro frekvenci zdroje platí (4.47)

 

 

říkáme, že obvod je v rezonanci.

 

 

Obr. 4.21 Rezonanční křivky sériového rezonančního obvodu: a) redukovaná frekvenční závislost amplitudy napětí a proudu, b) redukovaná frekvenční závislost fázového úhlu.

 

Na obrázku 4.21 jsou uvedeny příklady tzv. redukované rezonanční křivky, která představuje závislost I₀ /I_{0 ,max} na ω   /  ω ₀. Důležitým pojmem je tzv. pološířka rezonanční křivky Δ ω definovaná jako absolutní hodnota rozdílu frekvencí ω ₁ a ω ₂, při nichž má proud hodnotu (viz obr. 4.21a). Pro frekvence ω ₁ a ω ₂ zřejmě platí

takže

Sečtením obou vztahů (4.77) dostaneme dále pro šířku rezonanční křivky výsledek

V relativní míře pak platí

 

 

Veličina Q₀ charakterizující relativní šířku rezonanční křivky se nazývá (vlast­ním) činitelem jakosti obvodu.

Pro obvod v rezonanci platí podle (4.72) φ _i = 0. Se vzdalováním od rezo­nance se konstanta φ _i, charakterizující fázový posuv proudu vůči elektromotoric­kému napětí zdroje, blíží hodnotám ℜ ± π /2. Obrázek 4.21b demonstruje tuto závislost pro obvody o různém činiteli jakosti.

 

c) Vlastní kmity indukčně vázaných oscilačních obvodů

Uvažme dvojici obvodů s indukčností, odporem a kapacitou, vázané vzájemnou indukčností L₁₂ (viz obr. 4.22). Pro vyšetření charakteru vlastních kmitů těchto obvodů musíme řešit soustavu lineárních diferenciálních rovnic

 

 

 

kterou dostaneme použitím II. Kirchhoffova pravidla. Pro jednoduchost se ome­zíme na dvojici identických obvodů s nulovým tlumením, tj. položíme L₁ = L₂ = L, C₁ = C₂ = C, R₁ = R₂ = 0. Místo (4.81) proto máme

 

kde . Zavedeme-li veličiny I ⁽⁺⁾ = I₁ + I₂, I ^(-) = I₁ - I₂, dostaneme sečtením a odečtením posledních rovnic

 

 

v nichž jsme označili (srov. čl. 4.2.3)

 

 

Obecným řešením těchto rovnic je zřejmě

 

 

V obvodech existují tedy současně kmity o dvou frekvencích ω ₁ a ω ₂ daných vztahem (4.84) .

 

Vázané oscilační obvody tvoří elektrickou analogii vázaných mechanických oscilátorů, neboť obě soustavy jsou popsány rovnicemi stejného typu. V elektrotechnice se obou prvků, i jejich vzá­jemné kombinace, hojně využívá především ke konstrukci frekvenčních filtrů.