---

---

6.2 Tenzor momentu setrvačnosti, Eulerovy pohybové rovnice

Rovnicí (6,8) , respektive (6,9) jsme zavedli moment setrvačnosti jako charakteristiku rozložení hmotnosti tělesa která určuje průběh jeho otáčení kolem pevné osy. Po zavedení momentu setrvačnosti se nám podařilo přepsat větu (5,49) na tvar (6,13) . Rozšíříme nyní pojem momentu setrvačnosti tak, aby vystihoval vlastnosti tělesa při otáčení kolem pevného bodu. Zkusíme, zda je možno přepsat rovnici (5,49) na tvar (6,13) i pro otáčení tělesa kolem pevného bodu.

Počátek souřadnicové soustavy vložíme do bodu, kolem kterého se těleso reprezentované tuhou soustavou hmotných bodů otáčí. Potom dle (5,13) rychlost i-tého bodu soustavy

,

(6,28)

kde je okamžitá úhlová rychlost otáčení tělesa a je polohový vektor i-tého bodu soustavy. Dosadíme-li vyjádření rychlosti (6,28) do (5,47) , dostáváme pro celkový moment hybnosti soustavy vyjádření

.

(6,29)

Rovnici (6,29) rozepíšeme do složek, přičemž pořadové číslo i jednotlivých hmotných bodů budeme u jejich souřadnic psát nahoře. Vypočteme-li složky dvojitého vektorového součinu , dostáváme

.

Po vytknutí složek vektoru úhlové rychlosti , který je společný pro celé těleso, můžeme poslední rovnici přepsat na tvar

.

(6,30)

Koeficienty u složek vektoru úhlové rychlosti mají rozměr shodný s rozměrem momentu setrvačnosti, označíme je

.

(6,31)

Se zavedeným označením můžeme rovnice (6,30) přepsat na tvar

.

(6,31)

Ve složkové symbolice zapíšeme rovnice (6,32) stručně jako

a užijeme-li sumačního (sčítacího) pravidla (viz dodatek D.1), můžeme celou soustavu (6,32) vystihnout jednoduchým zápisem

.

(6,33)

Dosadíme-li za výraz (6,33) do rovnice (5,49) , dostáváme

.

(6,34)

Rovnice (6,34) formálně poněkud připomíná rovnici (6,11) . Analogie však nemá hlubší smysl. Rovnice (6,34) platí v inerciální souřadné soustavě. V té se však s časem mění souřadnice jednotlivých bodů otáčejícího se tělesa a koeficienty dané rovnicemi (6,31) obecně mění svou velikost s časem. (Moment setrvačnosti vůči pevně dané ose užívaný v předcházejícím článku závisí pouze na vzdálenostech bodů tělesa od osy, což je neproměnná veličina nezávislá na volbě soustavy souřadné, a proto i moment setrvačnosti je s časem konstantní.) Kromě toho výrazy jsou součtem tří sčítanců. Rovnici (6,34) nelze upravit na tvar (6,13) , který má pohybová rovnice (2,1) hmotného bodu i pohybová rovnice (6,12) pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy a na který se nám podařilo upravit větu (5,33) o hybnosti soustavy jejím převedením na tvar (5,35) . Rovnici tvaru (6,13) pro otáčení tuhého tělesa kolem bodu napsat nelze. Rozbor pohybu se tím stává značně obtížný.

Rovnici (6,29) pro určení momentu hybnosti nemusíme chápat jen jako rovnici určující v inerciální soustavě souřadné nebo jak budeme dále říkat pevné v prostoru, ale i jako výraz, kterým můžeme určit vektor v soustavě souřadné spjaté s otáčejícím se tělesem. Jedná se o prosté vyjádření vektoru definovaného v inerciální soustavě souřadné v jiné soustavě souřadné. Jinak by totiž, vzhledem k tomu, že rychlosti jednotlivých bodů tělesa vůči soustavě pevně spjaté s tělesem musí být nulové, moment hybnosti definovaný vůči soustavě souřadné spjaté s tělesem neměl smysl. V soustavě souřadné spjaté s tělesem označíme , , složky vektoru , složky polohového vektoru a složky vektoru úhlové rychlosti . Nahradíme-li v rovnici (6,30) a , dostaneme

.

(6,35)

Koeficienty u označíme nyní , tedy

.

(6,36)

Potom rovnice (6,35) můžeme stručně zapsat jako

.

(6,37)

V soustavě souřadné spjaté s tělesem (tuhou soustavou hmotných bodů) jsou souřadnice s časem stálé, a tedy i koeficienty na rozdíl od koeficientů jsou s časem stálé neboli konstantní veličiny. Koeficientům budeme říkat složky momentu setrvačnosti. Výraz je roven čtverci vzdálenosti i-tého hmotného bodu od osy . Kdyby se těleso otáčelo kolem osy , která by byla v tělese i v prostoru pevná, složka momentu setrvačnosti

by byla rovna rovnicí (6,8) zavedenému momentu setrvačnosti. Obdobný význam mají složky a pro otáčení tělesa kolem druhé a třetí souřadnicové osy pevně spjaté s tělesem. Složky se shodnými indexy budeme nazývat momenty setrvačnosti vůči souřadnicovým osám a složky se smíšenými indexy nazveme deviační momenty setrvačnosti.

6.2.1 Převedení 2. věty impulsové do soustavy souřadné spjaté s tělesem

Převedeme rovnici (5,49) vyjadřující větu o momentu hybnosti soustavy, tj. druhou větu impulsovou, do soustavy souřadné spjaté s tělesem. Budeme předpokládat, že soustava souřadná pevná v tělese a soustava souřadná pevná v prostoru mají společný počátek v bodě, kolem kterého se těleso otáčí nebo v hmotném středu tělesa. Vektor převedeme do soustavy souřadné spjaté s tělesem jednoduše tak, že v této soustavě vyjádříme jeho složky; označíme je . Chceme-li vyjádřit časovou změnu vektoru vůči soustavě souřadné spjaté s tělesem , je vyjádření této derivace pomocí derivace vektoru vůči soustavě souřadné pevné v prostoru obtížnější. V následujícím odstavci si ukážeme na příkladu převodu vektoru rychlosti mezi oběma soustavami, jak to lze udělat.

Polohový vektor určitého pevného bodu tělesa je v soustavě souřadné spjaté s tělesem konstantní vektor. Polohový vektor téhož bodu v prostoru se s časem mění. Rychlost bodu vůči soustavě souřadné spjaté s tělesem je nulová. Rychlost bodu vůči soustavě souřadné pevné v prostoru je dána výrazem (5,13)

.

(5,13)

Tedy derivace polohového vektoru vůči soustavě souřadné spjaté s tělesem a derivace téhož vektoru vůči soustavě souřadné pevné v prostoru se liší o výraz ;

.

(6,38)

U jiných vektorů, např. u vektoru , derivace vektoru vůči tělesu nemusí být nulová. Rozdíl (6,38) mezi derivací vektoru v prostoru a derivací téhož vektoru vůči soustavě spjaté s tělesem však zůstává. Mezi oběma derivacemi platí operátorový vztah ( , čl. 4 8, , čl. 229)

.

(6,39)

Speciálně pro vektor celkové hybnosti tělesa můžeme psát a po převedení derivace na druhou stranu rovnice máme

.

(6,40)

Dosadíme-li vyjádření (6,40) do věty o momentu hybnosti soustavy (5,49) , dostáváme hledané vyjádření této věty v soustavě souřadné pevně spjaté s tělesem

.

(6,41)

6.2.2 Eulerova pohybová rovnice v libovolné soustavě souřadné spjaté s tělesem

Po rozepsání rovnice (6,41) do složek, užijeme-li označení pro složky vektoru v soustavě souřadné spjaté s tělesem a pro složky ostatních vektorů stejného označení jako v rovnici (6,35) , dostaneme

.

(6,42)

Dosadíme-li do soustavy (6,42) vyjádření složek vektoru momentu hybnosti dle rovnice (6,37) , kde jsou složky momentu setrvačnosti vyjádřené v soustavě souřadné spjaté s tělesem ( jsou konstanty), přejde první z rovnic (6,42) na tvar

.

(6,43)

Druhé dvě rovnice systému (6,43) , které lze získat analogickým způsobem, nevypisujeme. Nahrazují je tečky. Rovnice (6,43) , které, jak dále ukážeme, lze vhodnou volbou soustavy souřadné v tělese upravit na jednodušší tvar, jsou pro stanovení pohybu tuhého tělesa otáčejícího se kolem bodu vhodnější než formálně jednodušší rovnice (6,34) . V rovnicích (6,43) jsou totiž konstantní veličiny, jejichž hodnoty, při dané volbě soustavy souřadné pevné v tělese, můžeme stanovit ještě před řešením pohybové úlohy. Těchto šest čísel , , , , které v rovnicích (6,43) charakterizují vlastnosti tělesa, spočítáme dle definičních rovnic (6,36) .

Při zadaných hodnotách je soustava rovnic (6,43) soustavou tří diferenciálních rovnic pro tři neznámé funkce ; taková soustava je principiálně řešitelná. Soustava rovnic (6,43) nemá jednoduchý tvar (6,13) , přesto však je hledanou úpravou rovnice (5,49) na pohybovou rovnici tuhého tělesa, které se otáčí kolem pevného bodu. Rovnice (6,43) se nazývá Eulerova pohybová rovnice a v této stati je uvedena ve své nejobecnější formě, jakou má v libovolně volené soustavě souřadné. V souřadnicové soustavě, jejíž osy jsou rovnoběžné s hlavními směry setrvačnosti, lze Eulerovu pohybovou rovnici napsat v podstatně přehlednějším tvaru (6,43´) . Než tak učiníme, musíme si vyložit, co jsou hlavní směry setrvačnosti.

6.2.3 Moment setrvačnosti je tenzor

Složky (6,36) momentu setrvačnosti tvoří symetrický tenzor 2. řádu, pro který bývá užíván název tenzor momentu setrvačnosti.

Pojem tenzoru vznikne rozšířením pojmu vektor; vektor je tenzor 1. řádu. Vektor lze jednoduše geometricky interpretovat jako orientovanou úsečku a z této interpretace snadno najdeme složky vektoru v libovolné soustavě souřadnic jako průměty úsečky do souřadnicových os. Změníme-li souřadnicovou soustavu, v které vyjadřujeme složky vektoru, změní se tedy jeho složky zcela určitým přesně definovaným způsobem. Stejně tak složky tenzoru při přechodu od jedné soustavy souřadné k druhé se mění (transformují) zcela určitým způsobem.

Geometrická interpretace tenzoru není již tak jednoduchá jako u vektoru, protože počet jeho složek je větší, než je dimenze našeho běžného prostoru. Někdy se pro symetrický tenzor druhého řádu, takový je i tenzor momentu setrvačnosti, užívá znázornění elipsoidem. Šest nezávislých složek symetrického tenzoru druhého řádu lze přiřadit šesti volitelným prvkům elipsoidu, kterými jsou prostorová orientace os a velikosti tří vzájemně kolmých poloos elipsoidu (viz např. , ). Odvodit způsob transformace složek tenzoru druhého řádu z různých způsobů vyjádření elipsoidů v různých souřadnicových soustavách není již tak jednoduché, jako je hledání průmětů orientované úsečky do souřadnicových os, které postačí u tenzorů prvního řádu, tj. u vektorů. Odvození transformačních rovnic tenzorů vyšších řádů v případě obecných souřadnic potřebuje složitější matematický rozbor (viz např. , , kap. 8). V případě kartézských souřadnic, s kterými zde výhradně budeme pracovat, je rozšíření formálně velmi jednoduché. Složky vektorů se transformují stejně jako souřadnice (srov. vztah rovnic (2,17) a (2,17´) ), mezi složkami vektoru (tenzoru prvého řádu) v čárkované a nečárkované souřadnicové soustavě platí vztah

.

Tento vztah se pro případ tenzoru druhého řádu přirozeně rozšíří na tvar

.

(6,44´)

Čárkovaně jsou značeny složky tenzorů (vektoru a tenzoru druhého řádu) v čárkované kartézské soustavě souřadnic, bez čárky složky těchto tenzorů v nečárkované kartézské soustavě souřadnic, jsou koeficienty transformace (směrové kosiny) popisující transformaci mezi čárkovanou a nečárkovanou souřadnicovou soustavou.

Podrobněji si význam transformačních rovnic (6,44´) ukážeme na příkladu momentu setrvačnosti, jehož složky se jakožto složky tenzoru

.

(6,44)

Máme-li v tuhém tělese dvě kartézské souřadnicové soustavy znázorněné na obr.63 (pro jednoduchost volíme společný počátek obou soustav), jsou složky tenzoru momentu setrvačnosti v nečár-kované soustavě a složky téhož ten-zoru v čárkované souřadnicové soustavě vázány vztahy (6,44) . Koeficienty transformace jsou složky (k je proměnný index) jednotkového vektoru ležícího ve směru a smyslu i-té osy čárkované soustavy souřadné vyjádřené v nečárkované soustavě souřadné, neboli směrové kosiny i-té čárkované osy. Např. jsou složky v nečárkované soustavě souřadné jednotkového vektoru ležícího v první čárkované ose (vektor je na obr.63 vyznačen). V rovnici (6,44) jsou i, j volitelné indexy a k, l sčítací indexy. Rovnice (6,44) reprezentuje tedy devět rovnic a na pravé straně každé rovnice je devět sčítanců. Jelikož tenzor je symetrický, sníží se počet nezávislých rovnic i sčítanců s různými koeficienty na šest.

6.2.4 Význam deviačních momentů setrvačnosti

Známe-li tenzor momentu setrvačnosti a vektor úhlové rychlosti otáčení tělesa, můžeme dle rovnice (6,37) určit složky momentu celkové hybnosti tělesa v soustavě souřadné spjaté s tělesem. Znalost vektoru znamená, že známe směr osy otáčení v tělese a rychlost rotace kolem ní. Předpokládejme, že osou rotace proložíme třetí osu souřadnicové soustavy spjaté s tělesem. Pak , . Pro složku momentu hybnosti dostáváme dle (6,37) obecné vyjádření

,

z kterého, je-li pouze nenulové, plyne . Obdobně vypočítáme složky a momentu hybnosti a dostaneme

.

(6,45)

Jsou-li nenulové deviační složky tenzoru setrvačnosti a , má celkový moment hybnosti tělesa nejen složku do směru osy otáčení, ale i nenulové složky a . Vektor nemá tedy směr osy otáčení. V tomto případě proložení třetí osy souřadnicové soustavy pevně spjaté s tělesem osou otáčení lze učinit pouze v jednom okamžiku, v následujícím čase se okamžitá osa otáčení z třetí souřadnicové soustavy odstěhuje.

Je-li těleso upevněno na hřídeli nebo břitu, odpovídá vyšetřovaný případ rotaci kolem pevné osy, která byla podrobně probírána v minulém článku. Osou rotace o proložíme také osu souřadnicové soustavy pevné v prostoru (obr.64). To lze, neboť osa rotace je společnou přímkou obou soustav souřadnic. Moment setrvačnosti J definovaný rovnicí (6,8) je pak roven jak koeficientu definovanému příslušnou rovnicí z (6,31) tak složce tenzoru momentu setrvačnosti definované dle (6,36) ;

.

(6,46)

Rovněž složky a momentu hybnosti se sobě rovnají

.

(6,47)

Při rotaci kolem pevné osy jsou druhé dvě složky momentu hybnosti nulové v obou soustavách souřadných. Složky vypočtené rovnicemi (6,45) se sice snaží osu rotace v tělese změnit, ale upevnění hřídele (ložiska) či břit stěhování osy zabrání.

Vypočteme síly a momenty sil, kterými těleso roztočené kolem pevné osy působí na své uložení, tj. na ložiska nebo na břit. Roztočením tělesa přibudou k silám, které na uložení působí, i když těleso je v klidu (nejběžnější takovou silou je tíže tělesa), ještě odstředivá síla a momenty sil, které souvisí s výše zmíněnou snahou stěhovat osu rotace v tělese.

Odstředivá síla (soustava spojená s otáčející se soustavou je neinerciální, a proto označení odstředivá síla je správné), působí na hřídel (osu otáčení), když hmotný střed (těžiště) tělesa neleží na ose otáčení. Její velikost je , kde M je hmotnost tělesa, d vzdálenost těžiště od osy otáčení a w úhlová rychlost otáčení. Má-li těleso sloužit jako kolo, tzv. statickým vyvážením anulujeme vzdálenost d, a tím i přídavnou odstředivou sílu působící na osu otáčení.

Pro výpočet momentů sil působících při roztočení na pevnou osu otáčení procházející hmotným středem tělesa použijeme Eulerovu pohybovou rovnici (6,43) . Její aplikace na uvažovaný případ rotace tuhého tělesa kolem třetí osy ( , ) dává poměrně jednoduché rovnice

.

(6,48)

Poslední rovnice soustavy (6,48) má stejný význam jako rovnice (6,12) pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy. Dle rovnice (6,46) a jelikož třetí osy souřadnicové soustavy pevné v prostoru a souřadnicové soustavy pevné v tělese splývají, je také a . Složka má pro rotaci kolem třetí osy význam momentu síly vůči ose.

Rozborem prvních dvou rovnic soustavy (6,48) objasníme význam deviačních momentů. Jsou-li deviační momenty a nenulové, je i při rovnoměrné rotaci tělesa, tj. když , nutno na těleso působit nenulovým momentem vnějších sil o složkách a , aby se rotace kolem pevné osy udržela. Dle principu akce a reakce je potom zřejmé, že těleso rotující kolem osy, vůči níž deviační momenty nejsou nulové, působí na upevnění osy v prostoru nenulovým momentem síly o složkách , . Podrobný rozbor sil působících na ložiska, v kterých je osa rotujícího tělesa upevněna, je podán např. v , čl.220.

V technických aplikacích soustav rotujících kolem pevné osy, např. u kol, se snažíme, aby při rotaci nepřistoupila k tíze tělesa žádná další síla působící na ložiska. Proto volíme za rotační takovou osu, na které leží těžiště soustavy a vůči které deviační momenty jsou nulové. Neprochází-li osa těžištěm soustavy, působí na ní při rotaci odstředivá síla. Nejsou-li deviační momenty vůči ose, kolem které se soustava otáčí, nulové, říkáme hantýrkou, že soustava (kolo) hází. I když soustavu navrhneme tak, aby obě výše uvedené podmínky byly splněny, konečné doladění jejich přesného splnění děláme experimentálně při tzv. vyvažování soustav. Již jsme uvedli, že doladění polohy těžiště se označuje jako statické vyvažování, doladění podmínky, aby deviační momenty vymizely, nazýváme dynamickým vyvažováním. Nejčastěji se setkáme s vyvažováním kol automobilu, které se má provést po každé výměně pneumatik. Vyvažují se však i složitější soustavy, např. turbosoustrojí elektráren.

Není-li osa rotace vazbami udržována v pevné poloze, nenulové hodnoty deviačních momentů v rovnici (6,48) způsobí, že osa rotace nebude mít vůči tělesu (a také v prostoru) stálou polohu. Osa začne tělesem putovat, a to i v případě, kdy výsledný moment vnějších sil je nulový. Tento případ podrobněji probereme v čl. 6.5.

6.2.5 Hlavní osy a hlavní momenty setrvačnosti

Zodpovíme nyní otázku, zda jsou v tělese osy, vůči kterým jsou deviační momenty nulové. V předchozí stati jsme si ukázali, že pro takové osy je vektor momentu hybnosti rovnoběžný se směrem osy otáčení a tím též s vektorem úhlové rychlosti . Budeme tedy v tělese hledat osy, pro které, když jsou osami otáčení, je moment hybnosti rovnoběžný s osou otáčení. Pak vektor momentu hybnosti lze psát jako skalární násobek vektoru úhlové rychlosti otáčení , ( k je konstanta), což v soustavě souřadné spjaté s tělesem zapíšeme ve složkovém tvaru jako

.

(6,49)

V rovnici (6,49) jsme konstantu úměrnosti k označili J , neboť má rozměr momentu setrvačnosti. Dosadíme-li požadovanou vlastnost (6,49) vektoru do obecné rovnice pro jeho vyjádření (6,37) , dostáváme

.

(6,50)

Soustavu rovnic (6,50) rozepíšeme a všechny členy převedeme na levé strany rovnic, dostaneme

.

(6,51)

Rovnice (6,51) tvoří homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic pro neznámé složky vektoru úhlové rychlosti otáčení. Aby soustava rovnic (6,51) měla netriviální řešení, tj. takové řešení, kdy alespoň jedna ze složek je různá od nuly, je nutné a stačí, aby determinant soustavy byl roven nule (viz např. , kap.1, , kap.1). Tedy

.

(6,52)

Rozepíšeme-li determinant (6,52) , získáme kubickou rovnici pro neznámou konstantu J. Bez důkazu uvedeme, že pro reálné hodnoty má rovnice (6,52) všechny tři kořeny reálné, a tedy pro tři hodnoty konstant , , lze splnit rovnici (6,52) . Každé z konstant , , odpovídá jedno řešení rovnice (6,51) , tedy jedna trojice složek vektoru úhlové rychlosti otáčení. Rovnicemi (6,51) jsou však vektory určeny až na libovolnou konstantu, jak se lze přesvědčit přímým dosazením do soustavy rovnic (6,51) . (Je-li jejich řešením, je řešením také , neboť po dosazení do rovnic (6,51) lze konstantu k ve všech rovnicích soustavy zkrátit.) Jako charakteristické vektory řešení rovnic (6,51) vybereme jednotkové vektory ve směru vektorů . Vektory jsou jednotkovými vektory ve směru hledaných os otáčení. Lze ukázat, že jsou-li všechny konstanty , , od sebe různé, jsou jim odpovídající vektory vzájemně kolmé. Podmínku (6,49) , aby vektory a byly rovnoběžné, lze tedy splnit alespoň pro jednu trojici vzájemně kolmých vektorů.

Těmito osami můžeme proložit osy kartézské souřadnicové soustavy s počátkem v uvažovaném bodě. Uvažujme, že těleso rotuje kolem jedné z os takto zvolené souřadnicové soustavy. Budeme ji pokládat za třetí osu. Jelikož moment hybnosti v uvažované soustavě musí být rovnoběžný s osou otáčení, tedy s třetí osou, jsou první a druhá složka momentu hybnosti nulové, . Z prvých dvou rovnic (6,45) potom plyne, že ve zvolené soustavě souřadnic musí být . Napíšeme-li rovnice typu (6,45) pro rotaci kolem druhých dvou souřadnicových os a uvědomíme-li si, že při rotaci kolem kterékoli osy uvažované kartézské soustavy souřadnic má moment hybnosti směr osy, dostaneme podmínku rozborem rotace kolem osy a podmínku rozborem rotace kolem osy .

Proložíme-li osy kartézské souřadnicové soustavy těmi směry, ve kterých při rotaci moment hybnosti má směr os otáčení, deviační momenty vymizí. V takové souřadnicové soustavě jsou nenulové pouze složky , a tenzoru momentu setrvačnosti a jeho složky se smíšenými indexy , , vymizí. Momenty setrvačnosti vůči osám jsou rovny kořenům rovnice (6,52) ,

(6,53)

a deviační momenty jsou nulové, .

Šest údajů popisujících tenzor momentu setrvačnosti se v případě jeho popisu v souřadnicové soustavě proložené hlavními osami setrvačnosti (hlavní souřadnicové soustavě) skládá z tří údajů udávajících polohu této soustavy v tělese a tří hodnot hlavních momentů setrvačnosti, pro které se v této souřadnicové soustavě užívá jednosložkové označení , , . Je-li těleso homogenní a má-li nějaké osy symetrie, jsou tyto osy symetrie hlavními osami setrvačnosti.

Naznačili jsme, jak lze řešit rovnici (6,50) . Řešením rovnic tohoto typu, které se označují jako sekulární rovnice, určíme hlavní osy libovolného symetrického tenzoru druhého řádu. V naznačeném postupu nebylo nikde podstatné, že je tenzorem momentu setrvačnosti. Řešení sekulární rovnice je popsáno např. v , , kde jsou objasněna ta tvrzení, která zde byla uvedena bez důkazů. Pro rovinný problém, kdy tenzor druhého řádu má jen čtyři složky (2x2), předvedeme řešení sekulární rovnice na příkladu hledání hlavních směrů tenzoru napětí popisujícího smyk (II, čl.1.4). Ukážeme, že smykové napětí lze vyjádřit v hlavní soustavě souřadnic, která je proti původní otočena o 45^o, jako tah v rovině kolmé na osu původně pravého úhlu vzorku tvaru kvádru, který se deformací zmenší, a tlak v rovině na ní kolmé.

Směry hlavních os tenzoru momentu setrvačnosti pro homogenní tělesa jednoduchých geometrických tvarů procházející jejich těžištěm jsou vyznačeny na obr.65. Jelikož v rotačně  symetrickém tělese všechny osy kolmé k ose symetrie a různoběžné s ní jsou identické, momenty setrvačnosti vůči nim jsou stejné a všechny tyto osy jsou hlavními osami setrvačnosti. U homogenní koule všechny osy procházející jejím hmotným středem jsou hlavními osami setrvačnosti. Totéž platí i pro homogenní krychli. Symetrie homogenních těles umožní i v dalších případech najít směr hlavních os setrvačnosti bez obtížného řešení sekulární rovnice.

6.2.6 Eulerova pohybová rovnice v hlavní souřadnicové soustavě

Zvolíme-li souřadnicovou soustavu pevnou v tělese ve směru hlavních os tenzoru momentu setrvačnosti, tedy hlavní souřadnicovou soustavu, deviační momenty jsou nulové a rovnice (6,43) , která vyjadřuje Eulerovu pohybovou rovnici v obecné souřadnicové soustavě spjaté s tělesem, se zjednoduší na tvar

.

(6,43´)

V rovnicích (6,43´) jsme momenty setrvačnosti , , označili dle (6,53) jako , , .

Rovnice (6,43´) udávají vyjádření věty (5,49) o momentu hybnosti soustavy v soustavě souřadnic zvolené v tělese tak, že osy souřadnic splývají se směry hlavních os tenzoru momentu setrvačnosti. Název Eulerovy pohybové rovnice (Eulerova pohybová rovnice) se někdy omezuje jen na rovnice napsané v přehledném tvaru (6,43´) .

6.2.7 Stanovení momentu setrvačnosti J vůči ose

Ukážeme, jak lze určit moment setrvačnosti J vůči libovolné ose procházející bodem, známe-li pro tento bod tenzor momentu setrvačnosti. Momentem setrvačnosti J vůči ose rozumíme skalární veličinu definovanou rovnicí (6,8) . Znalost tenzoru momentu setrvačnosti znamená, že známe hodnoty jeho složek . Odvodíme vztah, který nám umožní stanovit hodnotu momentu setrvačnosti J pro libovolnou osu procházející daným bodem, známe-li směr této osy; ten určíme jednotkovým vektorem mířícím ve směru osy.

Vyjdeme z rovnice pro otáčení tělesa kolem pevné osy, která byla podrobně rozebraná v minulém článku. Tuto rovnici lze získat z rovnice (5,49)

,

vyjadřující druhou větu impulsovou. Tuto rovnici promítneme do směru osy, tj. skalárně ji vynásobíme jednotkovým vektorem ve směru osy otáčení. Dostaneme

.

Jelikož je konstantní vektor a dle (6,14) , můžeme dále psát

.

(6,54)

Porovnáme-li rovnici (6,54) s rovnicí (6,11) , dostaneme

.

(6,55)

Průmět vektoru celkového momentu hybnosti do osy otáčení je roven součinu momentu setrvačnosti J a úhlové rychlosti otáčení tělesa . Průmět momentu hybnosti do osy otáčení je stejná veličina, ať průmět popisujeme v soustavě souřadné pevné v prostoru, v níž jsme provedli předcházející úvahu, nebo v soustavě souřadné pevné v tělese. Platí tedy též

,

(6,56)

kde jsou nyní složky jednotkového vektoru ve směru osy otáčení v soustavě souřadnic spjaté s tělesem. Do rovnice (6,56) dosadíme vyjádření dle (6,37) , dostáváme

.

(6,57)

Při otáčení kolem pevné osy má vektor směr této osy, tedy

,

(6,58)

kde je stejně jako na pravé straně rovnice (6,57) úhlová rychlost rotace (vektor v přímce, ne velikost vektoru). Dosadíme-li vyjádřené dle (6,58) do rovnice (6,57) , dostaneme po přeskupení součinitelů na levé straně rovnice

.

(6,59)

Po zkrácení nenulové hodnoty v rovnici (6,59) dostáváme hledané vyjádření momentu setrvačnosti J dle složek tenzoru momentu setrvačnosti :

.

(6,60)

Dle rovnice (6,60) můžeme určit moment setrvačnosti J tělesa vůči libovolné ose o procházející bodem, pro který známe tensor momentu setrvačnosti. Na obr.66 je uvažovaný bod označen A a je do něj položen počátek soustavy souřadnic, v které vyjádříme složky tensoru setrvačnosti (obr.66 a)). Směr osy o je určen jednotkovým vektorem . Rozepsáním rovnice (6,60) dostaneme pro J vyjádření

.

(6,60´)

V rovnici (6,60´) jsme užili symetrie tensoru, tj. vztahů a pořadí sčítanců jsme oproti sledu naznačenému rovnicí (6,60) zpřeházeli.

Jak jsme ukázali ve stati 6.2.5, existuje pro bod A v tělese taková kartézská soustava souřadnic, v které deviační momenty (složky tenzoru se smíšenými indexy) jsou nulové. Je to souřadnicová soustava, jejíž osy mají směr hlavních os setrvačnosti. Tato soustava je znázorněná na obr.66 b). Symboly os této význačné souřadnicové soustavy jsou označeny pruhem nad označením osy.

Vyjádření momentu setrvačnosti J v pruhované soustavě, tj. v souřadnicové soustavě proložené hlavními osami setrvačnosti, je dáno výrazem

,

(6,60´´)

který pro tuto speciální souřadnicovou soustavu plyne z obecného vzorce (6,60) . V rovnici (6,60´´) jsme užili pro momenty setrvačnosti vůči osám zkráceného označení místo a složky jednotkového vektoru v pruhované souřadnicové soustavě jsme označili .

---

---