V předcházející stati jsme ukázali, že znalost tenzoru setrvačnosti v daném bodě znamená možnost stanovení momentu setrvačnosti vůči libovolné ose procházející daným bodem. V tuhém tělese taková znalost dokonce znamená možnost stanovit moment setrvačnosti vůči libovolné ose procházející tělesem, známe-li jeho celkovou hmotnost a polohu jeho hmotného středu. Momenty setrvačnosti vůči rovnoběžným osám jsou totiž vázány jednoduchým vztahem, který se nazývá Steinerova věta. Uvedeme její znění:

Moment setrvačnosti J tělesa vůči libovolné ose o je roven součtu momentu setrvačnosti vůči ose procházející hmotným středem tělesa rovnoběžně s osou o a součinu hmotnosti tělesa M se čtvercem vzdálenosti d obou os;

.	(6,61)

Z věty bezprostředně plyne, že znalost tenzoru momentu setrvačnosti v hmotném středu (těžišti) tělesa umožní spočítat moment setrvačnosti tělesa vůči libovolné ose. Nejprve dle vzorce (6,60) spočítáme moment setrvačnosti vůči ose procházející hmotným středem tělesa rovnoběžně s osou, vůči které chceme moment setrvačnosti spočítat, a potom dle Steinerovy věty spočítáme hledaný moment setrvačnosti. Vztah mezi momenty setrvačnosti vůči libovolným rovnoběžným osám najdeme porovnáním čtverců jejich vzdáleností od hmotného středu. Ze Steinerovy věty vyplývá, že směry hlavních os setrvačnosti jsou ve všech bodech tuhého tělesa stejné.

Nyní dokážeme platnost Steinerovy věty. Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic s počátkem v hmotném středu S soustavy a třetí osou ve směru

. První souřadnico-vou osu zvolíme tak, aby protínala osu o. Pohled ve směru a proti smyslu třetí souřadnicové osy je na obr.67. V obrázku je znázorněn i-tý bod

tuhé soustavy hmot-ných bodů, která reprezentuje těleso. Jsou znázorněny souřadnice

bodu

, vzdálenost

bodu

od osy o a vzdálenost

bodu

od osy

. Zřejmě platí

Dle definiční rovnice (6,8) moment setrvačnosti J tělesa vůči ose o je dán výrazem

. Dosadíme-li do tohoto vyjádření za

dle (6,63) , dostáváme

První člen na pravé straně rovnice (6,64) lze s přihlédnutím k rovnici (6,62) psát jako

a je to tedy moment setrvačnosti

tělesa vůči ose

;

V druhém členu na pravé straně rovnice (6,64) je

konstantní veličina a můžeme ji ze součtu vytknout,

. Jelikož

je celková hmotnost tělesa M, lze psát

Třetí člen na pravé straně rovnice (6,64)

. Výraz

je dle (5,7´) roven první souřadnici

hmotného středu tělesa násobené hmotností M tělesa.

Počátek soustavy souřadnic, v které je prováděn výpočet, je však zvolen v hmotném středu tělesa, a proto všechny souřadnice hmotného středu jsou nulové, speciálně

. Tedy

Užijeme-li rovnice (6,65) , (6,66) a (6,67) , můžeme moment setrvačnosti J daný rovnicí (6,64) zapsat jako

což je znění Steinerovy věty (6,61) , a tedy důkaz její platnosti je proveden..

Známe-li tensor momentu setrvačnosti pro hmotný střed tělesa, můžeme dle rovnice (6,60) určit moment setrvačnosti vůči libovolné ose procházející hmotným středem tělesa. Dle Steinerovy věty můžeme pak najít moment setrvačnosti vůči libovolné ose procházející tělesem. K určení momentu setrvačnosti tělesa vůči libovolné ose stačí znát šest konstant, šest složek symetrického tensoru

momentu setrvačnosti pro hmotný střed tělesa. Znalost šesti složek tensoru momentu setrvačnosti lze též nahradit znalostí hlavních momentů setrvačnosti

a směrů hlavních os pro hmotný střed. K určení směru hlavních os je třeba tří údajů a spolu s hodnotami

máme tak znovu šest konstant pro určení momentu setrvačnosti tělesa vůči libovolné ose.

6.3.1 Kinetická energie otáčejícího se tělesa

V článku 5.5 jsme odvodili Königovu větu (5,74) , dle níž kinetickou energii

soustavy hmotných bodů lze rozložit na člen

odpovídající pohybu hmotného středu soustavy a na vnitřní kinetickou energii soustavy

. Pro tuhou soustavu hmotných bodů a tuhé těleso lze rychlost

i-tého bodu vůči hmotnému středu psát dle (5,69) jako

kde

je okamžitý vektor úhlové rychlosti otáčení tělesa a

vektor určující polohu i-tého bodu vůči hmotnému středu tělesa. Dle (5,21) úhlová rychlost otáčení nezávisí na bodu, vůči kterému ji uvažujeme, a proto otáčení tělesa určené vektorem

můžeme pokládat za otáčení kolem osy procházející hmotným středem tělesa.

Směr osy je dán směrem vektoru

. Velikost rychlosti

je rovna součinu vzdálenosti

i-tého hmotného bodu od uvažované okamžité osy otáčení tělesa a velikosti w úhlové rychlosti otáčení;

Při rotaci kolem bodu se okamžitá osa otáčení s časem mění a změní se tedy jak

tak

. Chceme-li vnitřní kinetickou energii

mít vyjádřenu pouze v závislosti na změně vektoru úhlové rychlosti, musíme časově proměnné

vyjádřit dle časově neproměnných složek

tensoru momentu setrvačnosti pro hmotný střed tělesa. Dle (6,60)

a dosadíme-li toto vyjádření za

do (6,68) , dostáváme

Čtverec

velikosti úhlové rychlosti otáčení je veličina nezávislá na volbě soustavy souřadné, tedy

, kde

jsou složky vektoru úhlové rychlosti

v souřadnicové soustavě spjaté s tělesem. Veličinu

můžeme tedy dále upravit

Poslední rovnice je již hledaným vyjádřením vnitřní kinetické energie

pro otáčivý pohyb tělesa kolem hmotného středu. Rovnici (6,69) můžeme rozepsat a jelikož

, dostaneme

Zvolíme-li soustavu souřadnic v tělese tak, že její osy splývají se směrem hlavních os tensoru momentu setrvačnosti tedy hlavní soustavu souřadnic, rozpis

má jednodušší tvar

Analogicky jako v rovnici (6,60) i zde jsme užili zkráceného označení

pro hlavní momenty setrvačnosti. Zde jsou to hlavní momenty setrvačnosti vůči hlavním osám setrvačnosti procházejícím hmotným středem tělesa.

Je-li hmotný střed tělesa rotujícího kolem bodu v klidu, je energie

celkovou kinetickou energií tělesa

. Pro těleso, které se otáčí kolem pevné osy procházející hmotným středem, lze tuto energii dle (6,68) vyjádřit jako

kde J je moment setrvačnosti tělesa vůči ose otáčení. Tento výsledek plyne bezprostředně z rovnice (5,74) , neboť rychlost hmotného středu

, a potom

Když se těleso otáčí kolem osy, která neprochází jeho hmotným středem, je celková kinetická energie

tělesa dle Königovy věty (5,74) dána součtem

Hmotný střed S tělesa je pevně svázán s tělesem, a tedy jeho rychlost při otáčení kolem osy je dána výrazem

, kde

je vzdálenost hmotného středu S od osy otáčení a

úhlová rychlost otáčení, tedy

. Vnitřní kinetická energie je dle (6,68)

; moment setrvačnosti uvažovaný pro vnitřní kinetickou energii je momentem setrvačnosti vůči ose procházející hmotným středem tělesa. Výraz (5,74) můžeme tak přepsat na tvar

Moment setrvačnosti

je momentem setrvačnosti vůči ose, která prochází hmotným středem tělesa rovnoběžně s uvažovanou pevnou osou otáčení tělesa, která v právě uvažovaném případě neprochází hmotným středem,

je vzdálenost obou os. Dle Steinerovy věty (6,61) je výraz

roven momentu setrvačnosti J kolem osy otáčení tělesa.

V původní formulaci Steinerovy věty (rov. (6,61) je moment setrvačnosti vůči hmotnému středu tělesa označen J_S. Protože jsme v dalším rozboru uvažovali celý tenzor momentu setrvačnosti, museli jsme index S vystěhovat nahoru, aby se nepletl s indexy tenzoru. Proto je zde místo značení J_S užito značení.

Kinetická energii tělesa, které se otáčí kolem pevné osy, vůči které má těleso moment setrvačnosti J, je dána výrazem

.	(6,70)

Pro platnost tohoto vztahu (6,70) není důležité, zda osa otáčení prochází či neprochází hmotným středem tělesa. Z praktického hlediska je však nutno oba případy ostře odlišovat. Prochází-li osa otáčení hmotným středem (těžištěm) tělesa, má těleso charakter zobecněného kola, neprochází-li jím, jedná se o fyzické kyvadlo (viz čl. 7.2). Jak se vyvažováním snažíme zajistit, aby na osu kola nepůsobily při roztočení přídavné síly, jsme již probrali v stati 6.2.4.

6.3 Steinerova věta

6.3.1 Kinetická energie otáčejícího se tělesa