---

---

6.1 Otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy

V čl. 5.2 jsme nazvali otáčením tuhého tělesa kolem pevné osy pohyb, při kterém jedna přímka pevná v tělese zachovává po celou dobu pohybu stálou polohu v prostoru. Této přímce říkáme osa otáčení. Pohyb tělesa otáčejícího se kolem osy je popsán, když je známa časová závislost úhlu zavedeného v čl. 5.2. Najdeme rovnici, dle níž lze neznámou funkci určit, tj. pohybovou rovnici tělesa, které se otáčí kolem pevné osy.

6.1.1 Pohybová rovnice pro otáčení kolem osy, moment setrvačnosti vůči ose

Vyjdeme z rovnice (5,49) . Pravotočivou kartézskou soustavu souřadnic pevnou v prostoru zvolíme tak, že její počátek bude ležet na ose otáčení a třetí osa bude mít směr osy otáčení. Hledanou pohybovou rovnici získáme úpravou třetí složky

(6,1)

rovnice (5,49) . Dle definice (5,47) je třetí složka celkového momentu hybnosti soustavy součtem třetích složek jednotlivých bodů soustavy, tj. součtem třetích složek vektorových součinů ;

.

(6,2)

Rozepíšeme třetí složku vektorového součinu ;

.

(6,3)

Stejně jako v článku 5.1 píšeme pořadová čísla i bodů soustavy u souřadnic a složek rychlostí hmotných bodů nahoře a dole píšeme číslo souřadnice. Na obr.60 je pohled ve směru a proti smyslu třetí osy souřadnic. Je na něm znázorněn hmotný bod , jeho souřadnice , složky jeho rychlosti , vzdálenost bodu od osy otáčení a úhel , který svírá s kladným smyslem osy (jedná se zpravidla o úhel mimobě-žek). Vzdálenost je též poloměrem kružnice, po které se hmotný bod pohybuje. Zřejmě

.

(6,4)

Jelikož těleso nahrazujeme tuhou soustavou hmotných bodů, je konstantní a složky rychlosti i-tého hmotného bodu jsou

.

(6,5)

Výraz je úhlová rychlost otáčení i-tého hmotného bodu. U tuhé soustavy hmotných bodů jsou však úhlové rychlosti všech bodů stejné, tuhá soustava otáčející se kolem osy má jednu úhlovou rychlost . Platí

,

(6,6)

kde je hledaná funkce charakterizující otáčení soustavy, za kterou můžeme volit např. některou z funkcí . Funkce se vzájemně liší o konstantní hodnoty odpovídající různým polohám bodů na počátku pohybu, tj. v čase . Užijeme-li rovnic (6,4) a (6,6) , můžeme výraz (6,3) postupně upravit

.

Pro třetí složku celkového momentu hybnosti danou rovnicí (6,2) tak dostaneme vyjádření

.

(6,7)

Hodnota součtu závisí pouze na hmotnostech jednotlivých hmotných bodů soustavy a na jejich vzdálenostech od osy otáčení. Pro tuhou soustavu hmotných bodů, která se otáčí kolem pevné osy, je uvažovaný součet konstantní a nazýváme jej momentem setrvačnosti J. Definiční rovnici momentu setrvačnosti

(6,8)

převedeme, dle analogie, která byla vysvětlena při úpravě rovnice (5,9) na rovnici (5,10) , pro tuhé těleso na tvar

.

(6,9)

Integrálem (6,9) je zaveden moment setrvačnosti tuhého tělesa vůči pevné ose. Integruje se přes objem tělesa V, R je proměnná vzdálenost jednotlivých bodů tělesa od osy otáčení a obecně proměnná hustota tělesa. Je-li těleso homogenní, hustota nezávisí na souřadnicích určujících polohu bodu v tělese; hustota je konstantní, . Příklady výpočtu a hodnoty momentů setrvačnosti homogenních těles význačného tvaru vůči význačným osám jsou udány např. v , kap.7.

Se zavedeným pojmem momentu setrvačnosti můžeme rovnicí (6,1) s přihlédnutím k (6,7) psát ve tvaru

.

(6,10)

Složku výsledného momentu vnějších sil do směru osy otáčení nazýváme výsledným momentem vnějších sil vůči ose a budeme ji označovat . Otáčí-li se těleso kolem třetí souřadnicové osy, je třetí složka výsledného momentu vnější síly výsledným momentem vnějších sil vůči ose, můžeme ji označit a rovnici  (6,10) psát jako

.

(6,11)

Moment setrvačnosti J tuhého tělesa a tuhé soustavy hmotných bodů nezávisí na čase. Rovnici (6,11) můžeme tedy psát i takto:

.

(6,12)

Rovnice (6,11) a (6,12) jsou dva ekvivalentní tvary hledané pohybové rovnice.

Pohybová rovnice tuhého tělesa, které se otáčí kolem pevné osy udává, že součin momentu setrvačnosti J tělesa vůči ose otáčení a úhlového zrychlení tělesa je roven výslednému momentu vůči ose vnějších sil působících na těleso.

Všimneme si analogie mezi rovnicí (2,1) a rovnicí (6,12) . Obě mají tvar:

(6,13)

V rovnici (2,1) konstantní vlastností hmotného objektu je hmotnost m, v rovnici (6,12) moment setrvačnosti J. Charakteristikou pohybu v rovnici (2,1) je zrychlení , v rovnici (6,12) úhlové zrychlení . Silové působení v rovnici (2,1) je dáno přímo silou , v rovnici (6,12) momentem síly vůči ose . Rovnice (2,1) je vektorovou rovnicí a rovnice (6,12) rovnicí skalární, ale tento rozdíl není pro uvažovanou analogii podstatný.

Pohybová rovnice (6,12) (dle (6,6) je ) je diferenciální rovnicí pro určení neznámé funkce . Moment setrvačnosti J je konstantní a lze jej pro dané těleso a pro danou osu stanovit dříve, než začneme vyšetřovat pohyb tělesa. Výsledný moment vnějších sil vůči ose určíme tak, že vypočteme výsledný moment vnějších sil působících na těleso

(5,48)

vůči počátku soustavy souřadnic, který volíme na ose otáčení a získaný vektor vynásobíme skalárně jednotkovým vektorem , jenž má směr osy otáčení, tedy

.

(6,14)

Tím, jak volíme smysl vektoru na ose otáčení, určíme, co budeme nazývat kladným smyslem otáčení. Smysl otáčení je kladný, když a k je kladná konstanta, . Uvedený postup stanovení momentu lze provést pro libovolnou orientaci osy otáčení vůči soustavě souřadnic. Pro výše uvažované otáčení kolem třetí souřadnicové osy má jednotkový vektor ve směru osy složky , zvolíme-li smysl shodný s kladným smyslem třetí souřadnicové osy. Z rovnice (6.14) pak dostáváme

,

což je vztah, který jsme již uvažovali při odvození rovnic (6,11) a (6,12) .

V jednoduchých případech bývá výhodnější stanovit moment konstrukčně než právě uvedeným analytickým postupem. Uvažujme těleso, které se otáčí kolem třetí souřadnicové osy. Vnější síla působí na těleso v bodě A, který není bodem osy otáčení. Počátek souřadnicové soustavy leží na ose otáčení a bod A má polohový vektor . Průmět síly do roviny kolmé k ose otáčení je znázorněn na obr.61a). Dle rovnic (5,48) a (6,14) příspěvek síly k výslednému momentu vnějších sil vůči ose je

(6,15)

. Průmět polohového vektoru do roviny kolmé k ose otáčení označíme . Složkami vektoru jsou prvá a druhá souřadnice bodu A a jeho velikost R je rovna vzdálenosti bodu A od osy otáčení. Pro a můžeme psát vyjádření

,

(6,16)

kde je úhel mezi vektorem a kladným smyslem osy . Označíme-li úhel mezi průmětem síly a kladným smyslem osy , složky vektoru , které jsou zároveň prvými dvěma složkami vektoru , lze vyjádřit jako

,

(6,17)

kde je velikost vektoru . Dosadíme-li vyjádření (6,16) a (6,17) do rovnice (6,15) , dostáváme

,

a tedy

.

Z obr.61a) lze vyčíst, že výraz je roven vzdálenosti d přímky p od osy otáčení, v které působí průmět síly . Příspěvek síly k momentu vnějších sil vůči ose je roven součinu velikosti průmětu síly do roviny kolmé k ose otáčení a vzdálenosti d osy otáčení od přímky p, v které průmět působí; . Na obr.61 b) je znázorněna druhá možná interpretace výrazu . Součin je roven velikosti průmětu síly do směru kolmého k vektoru , který leží v rovině kolmé k ose otáčení. Tedy sílu promítneme do popsaného směru a velikost průmětu vynásobíme vzdáleností bodu A od osy otáčení, abychom získali příspěvek síly k momentu . Získané vyjádření můžeme stručně zapsat,

.

(6,18)

Máme-li více sil , lze jejich příspěvky k výslednému momentu vnějších sil vůči ose sčítat. Musíme při tom dbát toho, aby příspěvky, které se snaží otáčet tělesem v různém smyslu, byly brány s opačným znaménkem.

Pohybová rovnice (6,12) pro otáčení tuhého tělesa kolem osy je velmi často užívána k řešení konkrétních úloh. Dva příklady jejího užití ukážeme v čl. 7.2 a 7.3. Řadu dalších lze nalézt v , kap. 7, . Zde vypočteme pohyb kladky, u které nezanedbáváme její vlastní hmotnost. Takové kladce říkáme těžká. Je znázorněna na obr.62. Na kladce o známém momentu setrvačnosti J a poloměru R jsou zavěšena dvě závaží o hmotnostech a . Úsekem vlákna, na kterém je zavěšeno závaží o hmotnosti , je přenášena síla o velikosti , druhým úsekem vlákna síla o velikosti . Moment vnějších sil vůči ose otáčení o je ; smysl otáčení, kdy závaží o hmotnosti klesá, pokládáme za kladný. Závaží o hmotnosti klesá se zrychlením a. Dle rovnice (2,1) musí platit , kde je tíha hmotnosti . Tedy . Obdobně pro hmotnost , která stoupá se zrychlením a, platí , a tedy . Dosadíme-li získanou hodnotu momentu do rovnice (6,12) , dostaneme

.

(6,19)

Úhlová rychlost kladky a postupná rychlost v závaží o hmotnosti jsou vázány vztahem . Derivujeme-li rovnici dle času t, získáme vztah mezi postupným zrychlením a bodu a úhlovým zrychlením kladky

.

Dosadíme-li za do rovnice (6,19) , dostáváme po úpravě

,

odkud

.

Zrychlení a je konstantní, tedy též úhlové zrychlení , které, jak jsme ukázali, je rovno , je konstantní. Pro časovou závislost úhlu popisujícího otáčení kladky pak integrací dostáváme

,

kde je úhlová rychlost otáčení kladky v čase a je úhel v čase .

6.1.2 Zákon zachování momentu hybnosti pro otáčení kolem pevné osy

Mějme soustavu hmotných bodů, pro které moment vnějších sil vůči jisté ose je nulový. Touto osou proložíme třetí osu soustavy souřadnic. Potom třetí složka výsledného momentu vnějších sil působících na soustavu je nulová, , a dle rovnice (6,1) také . Je-li , je třetí složka celkového momentu hybnosti soustavy konstantní,

.

(6,20)

Třetí složka momentu hybnosti je dána rovnicí (6,2) , jeden sčítanec součtu tvořícího rovnicí (6,3) . O soustavě hmotných bodů nebudeme předpokládat, že je tuhá. Souřadnice a hmotných bodů volné soustavy můžeme také vyjádřit rovnicemi (6,4)

.

(6,4)

Jelikož však soustava nemusí být tuhá, budeme pokládat za funkci času nejen , ale i vzdálenost --tého bodu od osy otáčení . Pro složky rychlosti a pak derivováním rovnic (6,4) získáme vyjádření

.

(6,21)

Dosadíme-li (6,4) a (6,21) do (6,3) , dostáváme

a dle (6,2) můžeme pak psát jako

.

(6,22)

Rovnice (6,22) je sice formálně podobná rovnici (6,7) , ale jelikož se neomezujeme na tuhou soustavu hmotných bodů, je v rovnici (6,22) obecně funkcí času a může být různé pro jednotlivé hmotné body soustavy. Uvažujeme případ (6,20) , a tedy

.

(6,23)

Rovnice (6,23) je obecnou formulací zákona zachování momentu hybnosti pro volné soustavy, které lze pokládat za soustavy otáčející se kolem pevné osy.

Dle rovnice (6,23) můžeme např. řešit pohyb soustavy, která se skládá z jednoho nebo více hmotných bodů pohybujících se vůči kotouči otáčejícímu se kolem pevné osy. Výsledný moment vnějších sil působících na kotouč a hmotné body musí být nulový. Člen součtu (6,23) odpovídající kotouči nahradíme součinem momentu setrvačnosti kotouče J a jeho úhlové rychlosti otáčení . Pokládáme-li člen odpovídající kotouči za první člen součtu (6,23) , označíme jeho rychlost a součet (6,23) můžeme psát ve tvaru

,

(6,24)

kde N je celkový počet prvků soustavy včetně kotouče. Známe-li pohyb hmotných bodů vůči kotouči, známe časovou závislost hodnot a a z rovnice (6,24) můžeme pak určit, jak se s časem změní úhlová rychlost kotouče.

Často se uvažuje příklad, kdy osoba chodí po otáčejícím se kotouči. Na přednáškách provádíme demonstrační pokus, při kterém elektrický vláček jezdí po kolejích umístěných na obvodu točny volně se otáčející v ložiskách. Na stejné točně se nechá v radiálním směru jezdit elektricky poháněný a ovládaný traktůrek. Při rozjezdu vláčku se točna začne otáčet v opačném smyslu než vláček. Při zastavení se zastaví nejen vláček, ale i točna. Když traktůrek jede ke středu otáčející se točny, otáčení se zrychluje, když jede od středu, otáčení se zpomaluje. Lze demonstrovat i další situace potvrzující zachování momentu hybnosti soustavy při prováděném pokusu.

Ze zákona zachování momentu hybnosti nikterak neplyne, že je splněn též zákon zachování energie. Pohybuje-li se na otáčejícím se kotouči osoba z okraje do středu, musí překonávat odstředivou sílu a koná tedy prácí. Práce se projeví zvýšením kinetické energie (6,70) soustavy (na vodorovném kotouči se potenciální energie nemění).

Někdy lze uvažovanou volnou soustavu hmotných bodů v určitých fázích pohybu pokládat za tuhou soustavu. Nechť osoba sedící na otáčivé židli rozpaží ruce, v kterých má činky. Před rozpažením rukou můžeme osobu, činky a židli pokládat za tuhou soustavu otáčející se společnou úhlovou rychlostí . Při rozpažování rukou není soustava tuhá. Má-li již osoba rozpaženo, znovu můžeme soustavu pokládat za tuhou s úhlovou rychlostí otáčení . Obecně, můžeme-li na počátku pohybu soustavu pokládat za tuhou, jsou v součtu (6,22) všechna konstantní a pro všechny body stejné. Společnou hodnotu označíme a součet píšeme jako

.

(6,25)

Konstantní hodnotu ve shodě s (6,8) pokládáme za moment setrvačnosti soustavy. Lze-li po přeskupení bodů soustavu znovu pokládat za tuhou soustavu otáčející se okolo původní osy otáčení, můžeme výraz přepsat na tvar

,

(6,26)

kde je nová úhlová rychlost otáčení a nový moment setrvačnosti soustavy. Dle rovnice (6,23) musí se výrazy (6,25) a (6,26) sobě rovnat, tedy

.

(6,27)

Poslední rovnice je obvyklou formulací zákona zachování momentu hybnosti (5,61) pro soustavu, kterou lze v právě vyloženém smyslu chápat jako soustavu otáčející se kolem pevné osy.

Opakujeme, že podmínkou platnosti rovnice (6,27) je nulová hodnota výsledného momentu vnějších sil vůči ose otáčení. Dle rovnice (6,27) lze např. vysvětlit zmenšení úhlové rychlosti otáčení, rozpaží-li osoba na otáčivé židli ruce nebo zvětšení úhlové rychlosti otáčení krasobruslaře při piruetě. Osoba s rozpaženýma rukama má větší moment setrvačnosti , než je její moment setrvačnosti , má-li ruce připažené. Z rovnice (6,27) pak plyne že pro je . Řadu příkladů na právě probraný zákon zachování momentu hybnosti lze nalézt. v , kap.6.

---

---