Předchozí kapitola Předchozí podkapitola Obsah kapitoly Příklady Průvodce Následující podkapitola Následující kapitola


5.7 Zjednodušení soustav sil působících na tuhé těleso

V článku 5.3 jsme ukázali, že věta o hybnosti soustavy (5,33) , případně její úprava (5,35) a věta o momentu hybnosti soustavy (5,49) jsou výchozími rovnicemi dynamiky tuhého tělesa. V těchto rovnicích je silové působení na tuhé těleso vystiženo výslednicí vnějších sil působících na těleso

rovnice (5,32) (5,32)

a výsledným momentem vnějších sil působících na těleso

rovnice (5,48). (5,48)

Různé soustavy vnějších sil působících na těleso, jejichž výslednice a výsledný moment vzhledem k témuž bodu jsou stejné, mají stejný dynamický účinek na těleso. O takových soustavách sil říkáme, že jsou dynamicky ekvivalentní.

Nejprve ukážeme, jak závisí výsledný moment vnějších sil na volbě bodu, vůči kterému jej počítáme. Budeme předpokládat, že moment je vyjádřen výrazem a je tedy počítán vůči počátku souřadnicové soustavy. Počátek souřadnicové soustavy, v které je počítán moment , označíme O (viz obr.49). Nyní posuneme počátek soustavy souřadné o vektor tak, že nový počátek se nachází v místě O. Určíme vztah výsledného momentu vnějších sil působících na soustavu počítaného vůči bodu O, k výslednému momentu vnějších sil počítanému vůči bodu O . Mezi polohovými vektory hmotných bodů v soustavě souřadné s počátkem v bodě O a polohovými vektory v soustavě souřadné s počátkem v bodě O platí vztah

rovnice (5,96). (5,96)

Vektor je dán vztahem (5,48) , ,vektor rovnicí

rovnice (5,97). (5,97)

Dosadíme-li do (5,97) za z (5,96) , dostáváme postupně

rovnice .

S přihlédnutím k rovnicím (5,32) a (5,48) můžeme výsledek stručně zapsat jako

rovnice (5,98) (5,98)

a získáváme tak hledaný vztah mezi a .

Změníme-li počátek souřadnicové soustavy, vůči kterému počítáme výsledný moment vnějších sil působících na těleso, musíme od původního momentu odečíst vektorový součin vektoru , o který jsme počátek posunuli, a výslednice vnějších sil , abychom dostali vyjádření výsledného momentu vnějších sil v nové soustavě souřadnic. Změna počátku neovlivní výslednici vnějších sil .

5.7.1 Způsoby stanovení výsledné síly a výsledného momentu sil

Mějme tuhé těleso a na něj v místech (i= 1, 2, ,N) působící vnější síly . Přímý a často také nejjednodušší postup jak zjistit dynamický účinek těchto sil je vypočítat dle (5,32) výslednici sil a dle rovnice (5,48) výsledný moment sil vzhledem k zvolenému počátku souřadnicové soustavy. Jelikož stanovení účinku sil působících na těleso má řadu technických aplikací, především při řešení statických úloh, kde často není třeba řešit problém stanovení a v plné obecnosti, rozvinula se řada metod, jak nahrazovat složitější systémy sil působících na těleso dynamicky ekvivalentními soustavami jednoduššími. S těmito metodami jste se již seznámili v dřívějším studiu (viz [1]) a podrobně bývají popsány v technicky zaměřených učebnicích mechaniky. Zde objasníme jen některé nejdůležitější postupy.

Působí-li v místě A o polohovém vektoru na těleso síla , lze ji přenést do libovolného jiného působiště podél přímky p, která prochází bodem A ve směru vektoru síly (viz obr.50). Pro přímku p užíváme označení vektorová přímka. Účinek síly na těleso se nemění, když její působiště posuneme podél vektorové přímky. Síla v bodě A´ o polohovém vektoru , přispěje do součtu sil (5,32) a do součtu momentů sil (5,48) stejně jako síla v bodě A o polohovém vektoru (původní působiště síly). Vektor je v obou polohách stejný a platí i rovnost momentů

rovnice (5,99). (5,99)

Vektory a leží v jedné rovině, vektory jsou rovnoběžné. Posunutím vektoru po přímce p se nemůže změnit smysl vektorového součinu, a proto vektory mají nejen stejný směr, ale i stejný smysl. Velikosti vektorů a jsou stejné, jak bylo ukázáno při definici (3,32) momentu síly. Velikost momentu je rovna velikosti síly násobené kolmou vzdáleností bodu, vůči kterému moment počítáme, od přímky, v které působí síla . V našem případě je uvažovanou vzdáleností vzdálenost bodu O od přímky p, a ta je pro oba momenty stejná. Tedy vskutku platí vektorová rovnost (5,99) .

Na obr.51 je znázorněna další často uvažovaná konstrukce pro skládání dvou sil působících na těleso, jejichž vektorové přímky  a jsou různoběžné. Síly a působící v bodech A a B můžeme, jak bylo ukázáno, posunout do průsečíku P jejich vektorových přímek  a . V průsečíku P síly vektorově složíme, získáme sílu , kterou může-me libovolně posunout podél její vektorové přímky p např. do bodu C, který je naznačen na obr.51. Nahradíme-li síly a silou , nemá tato záměna zřejmě žádný vliv na součet (5,32) . Moment síly , je-li síla v bodě A, je stejný jako moment síly v bodě P, jak jsme již zdůvodnili u rovnosti (5,99) . Obdobně moment . Jelikož pro vektorový součin platí distributivní zákon,

rovnice .

Posuneme-li sílu do bodu C, musí znovu platit

rovnice .

Shrneme-li získané výsledky, dostáváme

rovnice .

Součet momentů sil v bodě A a v bodě B vůči bodu O je stejný jako monet síly v místě C vůči témuž bodu O. Nahrazení dvou sil a jednou silou postupem naznačeným na obr.51 nemá tedy žádný vliv ani na součet momentů sil (5,48) . Síla v bodě C a dvě síly v bodě A a v bodě B jsou dynamicky ekvivalentní. Podobným způsobem lze vysvětlit oprávněnost dalších vám známých (viz [1]) konstrukcí, např. konstrukce pro skládání dvou souhlasně a nesouhlasně rovnoběžných sil.

Konstrukčně neřešitelný případ skládání dvou sil nastane, je-li třeba složit dvě stejně velké síly stejného směru, ale opačného smyslu (nesouhlasně rovnoběžné) působící v různých místech tuhého tělesa (viz obr.52). Při konstrukci nahrazujeme dvě síly a jednou, vhodně položenou silou , která je rovna součtu sil .

Jsou-li dvě síly stejně velké a nesouhlasně rovnoběžné, je jejich součet nulový, a obvyklý konstrukční postup nelze provést. Takové dvě síly, nepůsobí-li podél stejné vektorové přímky p, jsou nejjednodušší soustavou sil, pro kterou součet sil (5,32) je nulový, ale součet momentů (5,48) je nenulový. Působí-li taková soustava sil znázorněná na obr.52 na těleso, říkáme, že na těleso působí dvojice sil. Spočteme příspěvek dvojice sil do součtu momentů (5,48) . Nachází-li se síla v místě A o polohovém vektoru , její moment vůči počátku O soustavy souřadnic je a obdobně moment síly působící v bodě B je (viz obr.53). Tyto dva sčítance přispívají do součtu (5,48) výrazem

rovnice ,

který nazveme momentem dvojice sil . Vektor označíme . Vektor spojuje působiště obou sil, přičemž jeho smysl volíme tak, aby směřoval k působišti té z obou sil, s níž vektorovým násobením v pořadí

rovnice (5,100) (5,100)

vytvoří moment dvojice sil. Změníme-li počátek soustavy souřadné, tj. zaměníme-li bod O nějakým jiným bodem O , vektor ani vektor se nezmění. Na rozdíl od momentu síly nemusíme u momentu silové dvojice uvažovat o bodu, vůči kterému je počítán. Analogicky důkazu (viz čl.3.7), že velikost momentu síly je rovna velikosti síly násobené kolmou vzdáleností její vektorové přímky od bodu, vůči kterému moment počítáme, lze dokázat, že velikost momentu je rovna součinu velikosti F jedné ze sil tvořící dvojici a kolmé vzdálenosti rovnoběžných vektorových přímek obou sil,

rovnice (5,101). (5,101)

Po zavedení pojmu moment dvojice sil můžeme vyslovit další pravidlo o skládání sil působících na těleso:

Přeneseme-li sílu z bodu A do bodu B, její dynamický účinek na těleso se nezmění, přidáme-li k síle v bodu B silovou dvojici o momentu .

Na obr.54 a) je znázorněna síla v bodě A, na obr. 54 b) síla v bodě B a dvojice sil kompenzující přenesení síly z bodu A do bodu B. Výsledný příspěvek soustavy na obr.54 a) k výslednici sil (5,32) je stejný jako příspěvek soustavy z obr.54 b) a rovná se . K výslednému momentu vnějších sil (5,48) přispívá soustava z obr.54 a) výrazem a soustava z obr.54 b) výrazem, který lze rozepsat jako součet momentu dvojice sil a momentu síly v bodě B. Protože vektorový součin je distributivní, zřejmě platí, že oba výrazy jsou stejné ;

rovnice .

Soustavy na obr.54 a) a 54 b) přispívají stejně jak k výslednici sil (5,32) , tak i k výslednému momentu sil (5,48) , a jsou tedy dynamicky ekvivalentní. K tomuto závěru lze dojít přímo z názoru, neboť síly a v bodě B se ruší a s nulovou silou v bodě B je soustava 54 b) zřejmě stejná jako soustava 54 a).

Právě probraným postupem můžeme přenést všechny síly působící na těleso do hmotného středu tělesa. Působí-li v místech na těleso vnější síly , bude po přenesení v hmotném středu, jehož polohový vektor označíme , působit všech N sil . Pro kompenzaci přenesení musíme připojit N momentů dvojic sil . Přenesením sil se zřejmě nezmění jejich součet , a tedy výslednice vnějších sil působících na soustavu (5,32) je pro původní i konečnou soustavu stejná. Součet momentů dvojic sil nazveme momentem výsledné silové dvojice. Můžeme jej vyjádřit jako

rovnice .

Uvědomíme-li si, že je součet (5,48) , tj. výsledný moment vnějších sil působících na těleso, a že se nesčítá přes , můžeme poslední rovnici upravit na tvar

rovnice (5,102). (5,102)

Na základě rovnice (5,102) můžeme říci, že výsledný moment vnějších sil působících na soustavu je roven momentu výsledné dvojice sil zvětšenému o moment výslednice vnějších sil umístěné v hmotném středu soustavy. Tedy přenesením sil do hmotného středu a přidáním kompenzujících momentů silových dvojic se nezmění výsledný moment (5,48) vnějších sil působících na soustavu. Jelikož jsme již ukázali neměnnost součtu (5,32) , dokázali jsme, že nová soustava po přidání momentu výsledné silové dvojice je dynamicky ekvivalentní s původní soustavu, kdy síly se nacházely v místech .

Posuneme-li bod, vůči kterému počítáme výsledný moment vnějších sil působících na soustavu, do hmotného středu soustavy, dostáváme dle (5,98)

rovnice (5,103) (5,103)

a porovnání rovnic (5,103) a (5,102) dá výsledek

rovnice (5,104). (5,104)

Výsledný moment vnějších sil působících na těleso počítaný vůči hmotnému středu soustavy je roven momentu výsledné silové dvojice působící na těleso. Je-li speciálně výsledná vnější síla působící na těleso rovna nule, je dle (5,98) výsledný moment vnějších sil nezávislý na volbě bodu, vůči kterému je počítán a dle rovnice (5,102) je roven momentu výsledné dvojice sil.

5.7.2 Proč se hmotnému středu říká těžiště

Ukážeme, proč se pro hmotný střed tělesa užívá též názvu těžiště. Mějme soustavu hmotných bodů (5,1) v tíhovém poli (viz čl.4.2). Potom na každý hmotný bod soustavy působí jeho tíha jakožto jediná vnější síla . Výsledná vnější síla působící na soustavu

rovnice (5,105) (5,105)

je rovna tíze celé soustavy (M je celková hmotnost soustavy). Výsledný moment vnějších sil působících na soustavu

rovnice .

Výraz je však dle definice (5,7) hmotného středu soustavy roven , a tedy

rovnice (5,106). (5,106)

Výsledný moment tíhových sil působících na soustavu hmotných bodů (těleso) je roven momentu tíhy celé soustavy (tělesa), předpokládáme-li, že tíha se nachází v hmotném středu soustavy. Soustavu sil působící na tuhé těleso v tíhovém poli lze tedy nahradit jedinou silou tíhou tělesa umístěnou v hmotném středu tělesa.

Hmotný střed bývá nazýván těžištěm, protože je působištěm síly, která na těleso působí v tíhovém poli.


Předchozí kapitola Předchozí podkapitola Obsah kapitoly Příklady Průvodce Následující podkapitola Následující kapitola