---

---

5.8 Rovnováha tuhého tělesa

5.8.1 Rovnováha volných těles

Obecně jsou podmínky rovnováhy tuhého tělesa formulovány takto:

Těleso je v rovnováze, když výslednice vnějších sil (5,32) , které na ně působí, je nulová;

(5,107)

a též výsledný moment vnějších sil (5,48) , které na ně působí, je nulový;

.

(5,108)

Z rovnice (5,98) plyne v případě, kdy je splněna podmínka (5,107) , že moment síly nezávisí na volbě bodu, vůči kterému je počítán. Je-li vůči některému vztažnému bodu , je vůči každému vztažnému bodu. Podmínku (5,108) můžeme tedy vyslovit bez údaje, vůči kterému bodu je moment počítán. V předcházejícím článku jsme uvedli, že při splnění podmínky (5,107) je výsledný moment vnějších sil působících na těleso roven momentu výsledné dvojice sil.

Podmínky rovnováhy můžeme pak formulovat též takto:

Jak se může chovat těleso, které je v rovnováze? Je-li před aplikací vnějších sil, které splňují podmínky (5,107) a (5,108) , v klidu, zůstane v klidu i nadále. Tento případ se někdy označuje jako statická rovnováha. Není-li těleso před aplikací sil splňujících podmínky rovnováhy v klidu, může konat řadu různých pohybů. Podmínka (5,107) , jak plyne z věty (5,35) o pohybu hmotného středu soustavy, dovoluje, aby hmotný střed tělesa byl buď v klidu nebo konal přímočarý rovnoměrný pohyb v libovolném směru. Na pohyb tělesa kolem hmotného středu nemá podmínka (5,107) žádný vliv. Podmínka (5,108) omezuje způsob otáčení tuhého tělesa kolem hmotného středu, dovoluje však řadu pohybů až po složitý pohyb volného setrvačníku, který rozebereme v čl.6.5.

Můžeme shrnout:

5.8.2 Rovnováha těles podrobených vazbám

Zatím jsme podmínky rovnováhy uvažovali pro volné tuhé těleso. Často však je těleso ve styku s jinými objekty, které omezují jeho pohyb. Říkáme, že těleso je podrobeno vazbám. Spočívá-li těleso T na podložce P způsobem naznačeným na obr.55, může se pohybovat pouze podél podložky nebo nad podložkou. Podložka P tvoří pro těleso T vazbu. V čl. 5.2 jsme popisovali otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy. Musí-li jistá osa tělesa zachovávat v prostoru pevný směr, což lze realizovat např. způsobem znázorněným na obr.56 (tyč O, která je součástí tělesa T je vedena ložisky L spojenými s tělesem P pevným v prostoru), je tím pohyb tělesa omezen. Upevnění osy představuje vazbu, které je těleso podrobeno. S klasifikací vazeb a s úpravou pohybových rovnic pro tělesa podrobená vazbám se podrobně seznámíte v teoretické mechanice (např. [11], [14], [15], [16]). Nyní si pouze naznačíme, jak vazby ovlivňují chování tělesa, pro které jsou splněny podmínky rovnováhy (5,107) a (5,108) .

Nachází-li se těleso T znázorněné na obr.55 v tíhovém poli (předpokládáme, že tíhové zrychlení je kolmé ke styčné ploše mezi T a P a míří od T k P), je tíha tělesa vyrovnána silou, kterou na něj působí podložka P. Výsledný mo-ment vnějších sil působící na těleso je také nulový. Předpokládáme, že mezi podložkou a tělesem nepů-sobí tření. Nejobecnější pohyb tělesa T v uvažova-ných podmínkách je rovno-měrný přímočarý pohyb je-ho těžiště ve vodorovné rovině spolu s rovnoměr-ným otáčením tělesa kolem svislé osy. Možný pohyb při splnění podmínek rovnováhy (5,107) a (5,108) je tedy jednodušší než rovnovážný pohyb volného tělesa.

Uvažujme, že těleso T z obr.56 se nachází v tíhovém poli a tyč O je vodorovná. Pohled na těleso ve směru tyče O je znázorněn na obr.57. Jak jsme ukázali ve stati 5.7.2, působení tíhového pole na těleso může být vystiženo tíhou tělesa umístěnou v jeho hmotném středu. V poloze znázorněné na obr.57 nejsou zřejmě podmínky rovnováhy (5,107) a (5,108) splněny, jmenovitě moment síly vůči bodu na ose O, který volíme za vztažný bod, není nulový. Má-li těleso T znázorněné na obr.57 být v rovnováze, musí jeho hmotný střed S ležet na svislé přímce s procházející osou O. Podmínky rovnováhy a vazby omezují pohyb tělesa ještě více než pro těleso znázorněné na obr.55. Dovolují mu jen klidně setrvávat v dané poloze a pouze v případě, kdy hmotný střed tělesa leží na ose otáčení, může se těleso rovnoměrně otáčet kolem osy. V prvním případě je těleso fyzickým kyvadlem (viz čl.7.2), v druhém případě kolem, které však obecně je dynamicky nevyvážené (srov. stať 6.2.4).

Na právě probraném příkladu tělesa upevněného podél osy si ukážeme tři nejčastěji uvažované druhy rovnováhy tělesa, které při splněných podmínkách rovnováhy se nachází v klidu, tj. tělesa, které se nachází ve stavu statické rovnováhy. V rozboru nám pomůže obr.58:

1) Hmotný střed S leží na přímce s od osou otáčení O (obr.58 a)). Otočíme-li poněkud tělesem tak, že hmotný střed S přejde do nové polohy S, těleso přestane být v rovnováze a vzniklý nenulový moment síly vůči ose otáčení O se snaží těleso vrátit do rovnovážné polohy. Říkáme, že rovnovážná poloha tělesa je stálá neboli stabilní.

2) Hmotný střed S leží na přímce s nad osou otáčení O (obr.58 b)). Otočíme-li poněkud tělesem, hmotný střed S přejde do polohy S, těleso přestane být v rovnováze a vzniklý nenulový moment vnější síly vůči ose otáčení O se snaží těleso dále vzdalovat od rovnovážné polohy. Říkáme, že rovnovážná poloha je vratká neboli labilní.

3) Je-li osa otáčení v tělese položena tak, že prochází hmotným středem tělesa (obr.58 c)), jsou podmínky rovnováhy (5,107) a (5,108) splněny pro každé natočení tělesa. Říkáme, že rovnovážná poloha je volná neboli indiferentní . V tomto případě se těleso při splnění podmínek rovnováhy může též rovnoměrně otáčet kolem osy, tj. otáčet se kolem ní konstantní úhlovou rychlostí .Takový případ však již není případem statické rovnováhy.

Jako další příklad rozlišení rovnovážných poloh budeme vyšetřovat polohy koule K naznačené v obr.59 na následující stránce:

1) Umístíme-li kouli K v tíhovém poli do kulové misky, je koule v rovnovážné poloze v nejnižším bodě misky (obr.59 a)). Rovnovážná poloha je stálá.

2) Je-li koule K umístěna na jiné kouli K , rovnovážné podmínky jsou splněny, když koule K stojí na nejvyšším bodě koule K (obr.59b)). Rovnovážná poloha je vratká.

3) Postavíme-li kouli K na vodorovnou podložku (obr.59c)), podmínky rovnováhy jsou splněny pro každou polohu koule na této podložce. Rovnovážná poloha je volná a koule může být v klidu. Může se však též pohybovat tak, že její hmotný střed má stálou rychlost . Je-li tření mezi koulí a podložkou nulové a koule homogenní, může koule rovnoměrně rotovat kolem libovolné osy procházející jejím středem.

Sílu působící na těleso v tíhovém poli lze nahradit tíhou celého tělesa umístěnou v jeho hmotném středu. Potenciální energie tělesa v tíhovém poli je pak dána výrazem

,

(5,109)

kde je libovolná konstantní hodnota energie a výška hmotného středu (těžiště) tělesa v tíhovém poli. Vidíme, že v uvedených příkladech stálé (stabilní) rovnovážné poloze odpovídá minimum potenciální energie a vratké (labilní) rovnovážné poloze maximum potenciální energie ve srovnání s okolními, vazbami přípustnými, polohami tělesa. Pohybuje-li se těleso v souladu s vazbami při volné rovnovážné poloze, potenciální energie se nemění.

Uvedený vztah mezi druhem rovnovážné polohy a průběhem potenciální energie v jejím okolí má obecný charakter. Často bývá rovnovážný stav různých systémů uvažován tak, že se hledá extrém jejich potenciální energie.

---

---