---

---

5.4 Věty o zachování hybnosti a momentu hybnosti soustavy

Uvažujme nyní soustavu hmotných bodů (5,1) , pro kterou výslednice vnějších sil působících na soustavu

.

(5,51)

Z věty o hybnosti (5,33) pro takovou soustavu plyne , a tudíž

,

(5,52)

kde je konstantní vektor.

Celková hybnost soustavy hmotných bodů zachovává v průběhu času svou velikost, směr a smysl, když výslednice vnějších sil působících na soustavu je nulová. Vyslovená věta se nazývá věta o zachování hybnosti soustavy a platí zřejmě pouze v případě, když výslednice vnějších sil působících na soustavu je nulová; .

Tato věta je z elementárního výkladu známá pro případ dvou hmotných bodů, na které nepůsobí vnější síly. Užívá se pro ni název zákon zachování hybnosti. Rozepsáním rovnice (5,52) pro dva body dostáváme

,

(5,53)

kde je s časem t proměnná hybnost prvého hmotného bodu a s časem t proměnná hybnost druhého hmotného bodu.

Nejčastěji se rovnice (5,53) užívá k vyšetřování případů, kdy v nějakém časovém intervalu dochází k interakci mezi hmotnými body a mimo tento interval vzájemné působení hmotných bodů je zanedbatelné. V době před časovým intervalem, v kterém dochází k interakci, jsou pak rychlosti prakticky konstantní a zavedeme pro ně označení . Rychlosti hmotných bodů po interakci označíme . Protože dle (5,53) a stejnému konstantnímu vektoru je roven i výraz , dostáváme

.

(5,54)

V elementárním výkladu zvláštní pozornost je věnována případu, kdy před interakcí jsou oba hmotné body v klidu, tedy , a tudíž i . Potom pro rychlosti z rovnice (5,54) plyne

,

tedy

.

(5,55)

Dva hmotné body, jež jsou původně v klidu, se po interakci rozletí stejným směrem v opačném smyslu a velikost jejich rychlosti je v opačném poměru než velikost jejich hmotností.

.

(5,56)

Z rovnice (5,55) plyne totiž pro velikosti vektorů rovnice a z té pak již zřejmým způsobem rovnice (5,56) . Lze udat řadu příkladů ilustrujících právě probraný případ:

Stojím-li na vozíku, který je v klidu a posléze z něj vyskočím, rozjede se vozík na opačnou stranu, než na kterou jsem vyskočil. Velikost mé rychlosti k rychlosti vozíku je v opačném poměru než velikost mé hmotnosti k hmotnosti vozíku. Při stejném impulsu síly, který vynaložím na své rozběhnutí, dosáhnu tím větší rychlosti vůči podlaze, na kterou skočím, čím větší bude hmotnost vozíku.

Při výstřelu z pušky střela o hmotnosti se pohybuje rychlostí . Dle rovnice (5,55) by se puška měla pohybovat rychlostí , kde je hmotnost pušky. Puška se skutečně po výstřelu hodlá pohybovat udanou rychlostí proti smyslu výstřelu, je však držena střelcem, který tento pohyb zmaří za cenu nepříjemného úderu do ramene, známého pod názvem zpětný náraz. Podobně při výstřelu z děla hlaveň koná zpětný pohyb (zákluz), který je na určité dráze brzděn a přenášen na podvozek (lafetu) děla. Kromě právě uvedených existují i zbraně odlišné konstrukce, tzv. bezzákluzové. U těchto zbraní je hlaveň na obou koncích otevřená a střela získá svou hybnost na úkor plynů spálených při výstřelu, které se stejně velkou hybností jako střela opustí hlaveň opačným směrem. Podobný princip je užíván i při pohonu raket, kde však na rozdíl od bezzákluzových zbraní vypouštění spáleného paliva zvyšující hybnost rakety probíhá po delší dobu. Raketový pohyb bude rozebrán v článku 7.4.

Kromě případu, kdy na začátku děje jsou oba hmotné body v klidu, je často také elementárně sledován případ, kdy jeden např. první hmotný bod je před interakcí v klidu a druhý se pohybuje rychlostí a po interakci se oba body spojí. Z rovnice (5,54) dostáváme pro tento případ rovnici

,

(5,57)

kde společnou rychlost obou hmotných bodů po interakci jsme označili . V uvažovaném případě se po interakci oba hmotné body pohybují stejným směrem i smyslem jako hmotný bod před interakcí, přičemž, jak plyne z rovnice (5,57) , velikost společné rychlosti

.

(5,58)

Zasáhne-li střela dřevěný blok, který do zásahu byl v klidu, a uvízne v něm, lze dle vzorce (5,58) vypočítat rychlost bloku poté, kdy v něm střela uvízla. Musíme ovšem znát hmotnost a rychlost střely i hmotnost bloku a zanedbat vnější síly působící na blok. Zpravidla se zanedbání vnějších sil působících na blok vztahuje pouze na dobu, po kterou se střela v bloku brzdí a rychlost se pokládá za počáteční rychlost pohybu bloku po zásahu střelou. Většinou při sledovaném ději nebývá počítána rychlost , ale rychlost střely (viz např. [20] , kap.6, [17], čl. 2.2.1.2). Často bývá blok, do kterého se střílí zavěšen tak, že tvoří kyvadlo. Zařízení se nazývá balistické kyvadlo a rychlost střely se určuje z maximální výchylky (amplitudy kyvu), kterou kyvadlo po zásahu střelou dosáhne. Kyvadlo se pohybuje podstatně pomaleji než střela a výchylka se dá snadno změřit. V analogii s balistickým kyvadlem se nazývají balistické i další metody užívané v měrné fyzice, při nichž se rychle probíhající děje transformují na pomalejší snadněji měřitelné děje.

V obecném případě, kdy se dva hmotné body před interakcí i po ní pohybují samostatně, nestačí rovnice (5,54) na úplné řešení problému. Některé závěry týkající se tohoto obecného případu probereme v článku 7.1.

Z rovnice (5,35) pro soustavu hmotných bodů, pro kterou výslednice vnějších sil působících na soustavu je nulová, plyne

,

(5,59)

a tedy hmotný střed takové soustavy má nulové zrychlení . Formulujeme tedy pro tento případ následující závěr:

Mějme soustavu hmotných bodů (5,1) , pro které vzhledem k nějakému bodu A výsledný moment vnějších sil působících na soustavu je nulový,

.

(5,60)

Potom dle rovnice (5,49) a celkový moment hybnosti soustavy vzhledem k bodu A je konstantní,

.

(5,61)

V rovnici (5,61) je označen konstantní vektor. Závěr můžeme formulovat jako větu o zachování momentu hybnosti soustavy:

Konkrétní důsledky plynoucí z této věty pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy probereme v čl. 6.1 a pro případ rotace kolem bodu v čl. 6.5.

---

---