---

---

5.2 Kinematika tuhého tělesa

Kinematiku bodu jsme probrali v kapitole 1. Tam jsme ukázali, že pohyb je určen, jsou-li dány tři parametrické rovnice (1,2) , tj. rovnice udávající časovou závislost souřadnic bodu. Tři parametrické rovnice odpovídají třem stupňům volnosti hmotného bodu. Chceme-li popsat pohyb volné soustavy hmotných bodů, musíme znát pohyb všech jejích bodů, tj. časový průběh všech N polohových vektorů

(5,11)

popisujících dle (5,1) soustavu. Znát (5,11) znamená znát 3N funkcí parametrických rovnic

(i=1, 2, ,N; j= 1, 2, 3) udávajících časový průběh všech souřadnic všech bodů soustavy.

Tuhá soustava hmotných bodů a tuhé těleso mají pouze šest stupňů volnosti, jak bylo ukázáno v předchozím článku. Jejich poloha je stanovena udáním šesti souřadnic. Zjistíme-li časovou závislost šesti souřadnic, určíme tím pohyb tuhého tělesa nebo tuhé soustavy hmotných bodů. Budeme hledat vhodnou volbu těchto souřadnic. Myslitelné by bylo stanovit časovou závislost polohy tří bodů užívaných k určení polohy tuhého tělesa v předcházejícím článku. Znamenalo by to stanovit časovou závislost polohových vektorů , a . Počet nezávisle volitelných funkcí by byl redukován z devíti na šest tím, že by musely být dodrženy vztahy (5,2) , kde vzdálenosti jsou s časem konstantní. Takový postup se však pro jeho nepřehlednost zpravidla v kinematice tuhého tělesa neužívá.

Místo stanovení polohy tří pevných bodů v tělese, vázaných relacemi (5,2) lze stanovit polohu tělesa v prostoru i jinými šesti údaji. Pro východisko kinematických úvah je nejvhodnější, když stanovíme polohu jednoho bodu, tímto bodem procházející osy a určíme natočení tělesa vůči této ose. Postup je znázorněn na obr.39, kde bod je označen A, osa o a natočení je charak-terizováno úhlem j mezi přímkou pevnou v tělese značenou plně a přímkou pevnou v prostoru značenou čárkovaně. Obě přímky tvořící úhel j jsou kolmé k ose o. Poloha bodu A je určena třemi údaji (např. kartézskými souřadnicemi bodu A), směr osy je určen dvěma údaji (např. složkami jednotkového vektoru ve směru osy o, mezi kterými platí vztah redukující počet nezávislých údajů na dva) a úhel j representuje jeden údaj. Dohromady máme opět šest údajů odpovídajících šesti stupňům volnosti tělesa.

Přejdeme od stanovení polohy k vyšetřování pohybu tělesa. Nejprve vyšetříme speciální případ, kdy bod A a osa o jím procházející zachovávají po celou dobu pohybu v tělese i v prostoru stálou polohu. Pak jedinou časově proměnou veličinou je úhel j a udáme-li jeho časovou závislost

,

(5,12)

bude pohyb plně kinematicky určen. Popsaný pohyb se nazývá otáčení (rotace) tuhého tělesa kolem pevné osy. Otáčení kolem osy lze popsat jedinou parametrickou rovnicí (5,12) . Je to pohyb s jedním stupněm volnosti. Otáčí-li se těleso kolem pevné osy, konají všechny jeho body (s výjimkou klidných bodů na ose) v rovině kolmé k ose o kruhový pohyb popsaný rovnicemi (1,42) . Všechny body mají společnou úhlovou rychlost . Zavedeme vektor úhlové rychlosti (viz též rovnici (2,24) ) jakožto vektor velikosti , jehož směr je shodný se směrem osy otáčení. Pak můžeme rychlost libovolného bodu tělesa otáčejícího se kolem osy vyjádřit jako

(5,13)

kde je vektor vedený z jednoho pevného bodu na ose otáčení (např. z bodu A) do místa, v němž se nachází bod, jehož rychlost chceme určit. Aby výraz (5,13) byl správný, je nutno ještě předpokládat, že smysl vektoru na ose o  byl zvolen tak, že vektory v uvedeném pořadí tvoří pravotočivý systém, což lze vyjádřit také tak, že při pohledu ve směru a smyslu vektoru probíhá pohyb ve směru otáčení hodinových ručiček. Vektory , přímka p pevná v prostoru a proměnný úhel jsou znázorněny na obr.40. Pro velikost v vektoru rychlosti dostáváme z (5,13) , kde a je úhel mezi vektory . Výraz je však roven kolmé vzdálenosti od osy otáčení bodu, v němž rychlost počítáme. Tato vzdálenost je poloměrem kružnice, po které se zmíněný bod otáčí, a na obr.40 je označena R. Pro velikost rychlosti kruho-vého pohybu pak dostáváme z (5,13) již dříve (viz (1,37) ) známé vyjádření

(5,13´) kde podobně jako v nerovnoměrném kruhovém pohybu je obecnou funkcí času .

Dále vyšetříme pohyb tělesa, při kterém jeden jeho bod můžeme si jej představit jako bod A z obr.39 zachovává po celou dobu pohybu v tělese i prostoru stálou polohu. Takový pohyb nazveme otáčení tuhého tělesa kolem pevného bodu.

V průběhu času se mění jak poloha osy otáčení v prostoru a v tělese tak i velikost rychlosti otáčení kolem osy. Rychlost libovolného bodu tělesa otáčejícího se kolem pevného bodu lze pak vyjádřit vzorcem (5,13)

kde však nyní nejen velikost vektoru , ale i jeho směr se s časem mění, tedy celý vektor úhlové rychlosti

(5,14)

je funkcí času.

Právě vyslovené tvrzení je obsahem Eulerovy věty, jejíž důkaz může čtenář najít např. v [11], [14], [16].

Pro pohyb, při kterém v každém okamžiku všechny body tělesa mají stejný vektor rychlosti , užíváme ně-kterého z názvů posuvný, postupný pohyb nebo translace. Jelikož časový průběh rychlosti všech bodů tělesa je stejný, mají trajektorie všech bodů při posuvném pohybu shodný tvar a liší se pouze v důsledku různé počáteční polohy bodů. Trajektorie několika bodů tuhého tělesa konajícího posuvný pohyb jsou znázorněny na obr.41.

Libovolný pohyb tuhého tělesa lze složit z posuvného pohybu (translace) a otáčení (rotace) kolem pevného bodu. Toto tvrzení bývá nazýváno Chaslesovou větou (např. [11]). Rychlost libovolného bodu tuhého tělesa určíme jako součet rychlosti jed-noho libovolně zvoleného bodu tělesa A a rychlosti otáčení kolem tohoto zvole-ného bodu. Rychlost bodu A pokládá-me za rychlost posuvného pohybu tělesa a rychlost rotace kolem bodu A určíme dle vzorce (5,13) , stejně jako v případě rotace kolem pevného bodu. Pro rychlost libo-volného bodu tělesa tak dostáváme vyjádření

,

(5,16)

kde je vektor vedený z bodu A do bodu, jehož rychlost určujeme (viz obr.42). Popis pohybu, jak je formulován rovnicí (5,16) , vychází z určení polohy tuhého tělesa způsobem naznačeným na obr.39. Určíme rychlost pohybu bodu A a rotaci kolem osy o. Osu o však v rovnici (5,16) nevolíme libovolně jako při určení polohy tělesa, ale je to okamžitá osa otáčení tělesa. Osa otáčení je význačná tím, že zachovává svou polohu v prostoru i v tělese. Okamžitá osa otáčení je v rovnici (5,16) uvažována jako osa procházející pohyblivým bodem A. Nemůžeme tedy mluvit přímo o zachování polohy v prostoru, ale v diferenciálním časovém intervalu zachovává osa svůj směr v prostoru.

Zjistíme, jak závisí vyjádření rychlosti libovolného bodu tělesa na volbě bodu A. Zvolíme v tělese dva body: bod A, který se pohybuje rychlostí a bod A´, který se pohybuje rychlostí (obr.43). Určíme rychlost libovolného bodu tělesa, který je na obr.43 označen X. Pokládáme-li bod A za bod, vůči kterému je uvažována rotace tělesa, je

.

(5,16)

Pokládáme-li bod A´ za střed rotace, dostáváme pro rychlost vyjádření

.

(5,17)

V rovnici (5,17) je vektor s počátkem v bodě A´ a koncem v bodě X a vektor úhlové rychlosti rotace tělesa vůči bodu A´. Vyjádříme rychlost bodu A´ dle vzorce (5,16) , dostáváme

.

(5,18)

Vektor má počátek v bodě A a konec v bodě A´. Mezi vektory platí vztah

.

(5,19)

Dosadíme-li vyjádření vektoru dle (5,19) do rovnice (5,16) , dostáváme

.

Dle (5,18)

,

a tedy

.

(5,20)

Porovnáním rovnic (5,20) a (5,17) dostáváme důležitou rovnost

.

(5,21)

Rovnice (5,16)

(5,16)

je základní rovnicí kinematiky tuhého tělesa. Určuje významnou kinematickou veličinu rychlost libovolného bodu tuhého tělesa z časového průběhu dvou vektorových funkcí

.

(5,22)

V tomto smyslu jsou rovnice (5,22) analogické kinematickým rovnicím (1,3) , resp. (1,4) , hmotného bodu. Analogie však není úplná. Rovnice (1,3) , resp. (1,4) , určují trajektorii hmotného bodu, tj. časovou závislost jeho polohy. Rovnice (5,16) určuje pouze rychlost libovolného bodu tuhého tělesa v jednom okamžiku a ne jeho trajektorii.

Trajektorie jednotlivých bodů tuhého tělesa nelze snadno stanovit, i když známe funkce (5,22) . Pomineme-li potíže při integraci rovnice (5,16) , podstatnou překážkou stanovení trajektorií je určení vektoru , který vystupuje v rovnici (5,16) . V soustavě souřadné pevné v prostoru nelze jednoduše stanovit určitý bod tuhého tělesa. Pokládáme-li za vektor stálý v prostoru, budou se v jeho koncovém bodě v průběhu času nacházet různé body tuhého tělesa. Budeme-li pokládat vektor za vektor, jehož koncový bod se nachází ve zcela určitém bodu tuhého tělesa, stává se rovnice (5,16) neurčitou. Časovou závislost vektoru pevného v tělese neznáme totiž dříve, než určíme trajektorie bodů tuhého tělesa. Některé způsoby řešení uvedeného problému ukážeme v kapitole 6.

V minulém odstavci jsme ukázali nedostatky rovnice (5,16) . Přesto je tato rovnice nejpřehlednějším závěrem kinematiky tuhého tělesa. Naznačuje hlavní úkol dynamiky tuhého tělesa, kterým je stanovení dvou vektorových funkcí (5,22) ze znalosti sil působících na těleso.

---

---