---

---

5.1 Popis soustavy hmotných bodů a tuhého tělesa

Soustavou hmotných bodů rozumíme více hmotných bodů. Jejich počet označíme N. Soustava je určena, známe-li hmotnosti a polohy jednotlivých jejích bodů. Polohu bodů soustavy můžeme určit např. jejich polohovými vektory Udáním hodnot

(5,1)

určíme soustavu. Ke stanovení polohy soustavy je třeba N polohových vektorů . Každý polohový vektor má tři složky souřadnice i-tého hmotného bodu.Poloha soustavy je udána 3N souřadnicemi , kde j nabývá hodnot j = 1, 2, 3 a nezávisle i hodnot i = 1, 2, , N. Pořadové číslo bodu píšeme jako vrchní index u symbolu x , číslo udávající souřadnici jako spodní index.

5.1.1 Počet stupňů volnosti mechanických objektů

Počet nezávislých souřadnic (nemusí být kartézské), kterými určíme jednoznačně polohu nějakého mechanického objektu, nazýváme počtem stupňů volnosti tohoto objektu. Jsou-li polohové vektory z (5,1) vzájemně nezávislé, nazýváme soustavu, která je jimi určena, volnousoustavou hmotných bodů. Volná soustava hmotných bodů má pak zřejmě 3N stupňů volnosti. Je-li v (5,1) N = 1, máme místo soustavy jediný bod, tj. objekt, jehož chování jsme vyšetřovali v předcházejících kapitolách. Počet stupňů volnosti hmotného bodu je tedy tři. Může-li se hmotný bod pohybovat pouze v ploše, má dva stupně volnosti a hmotný bod vázaný na křivku jeden stupeň volnosti.

Kromě volné soustavy hmotných bodů zavedeme tuhou soustavu hmotných bodů. Tuhá soustava má neproměnné vzdálenosti mezi jednotlivými hmotnými body soustavy. Na obr.37 je znázorněna soustava N hmotných bodů. Jsou-li vzdálenosti ( j a p nabývají nezávisle hodnot 1, 2, ,N, z nichž některé jsou na obrázku znázorněny, neproměnné, jedná se o tuhou soustavu hmotných bodů. Z geometrického názoru je zřejmé, že udáním polohy tří hmotných bodů tuhé soustavy, které všechny neleží v jedné přímce, je jednoznačně určena poloha všech bodů soustavy. Udání polohy tří bodů znamená stanovení hodnot tří polohových vektorů , kde jsou pevně daná, vzájemně různá, celá čísla z intervalu . Tři vektory mají devět souřadnic . Vzdálenosti

(5,2)

bodů jsou pevně dány, a proto není všech devět souřadnic nezávislých. Platí mezi nimi vztahy

,

(5,3)

které jsou do složek rozepsanými rovnicemi (5,2) . Tři rovnice (5,3) se známými hodnotami na pravé straně ukazují, že z devíti souřadnic můžeme nezávisle volit pouze šest, zbývající tři pak již určíme z rovnice (5,3) . Poloha tuhé soustavy hmotných bodů je určena udáním šesti souřadnic, její počet stupňů volnosti je 6.

5.1.2 Tuhé těleso

Důležitým objektem našich dalších úvah bude tuhé těleso. Pojem tuhé těleso vznikne abstrakcí reálného tělesa. Při této abstrakci se zachovává tvar a rozložení hmotnosti reálného tělesa, předpokládá se však, že vzájemné vzdálenosti jednotlivých bodů tělesa zůstávají neproměnné při libovolných silách působících na těleso. Abstraktní pojem tuhé těleso umožní především vyšetřit podstatné otázky svázané s rotací reálného tělesa a dále dá základní představy při vyšetřování problémů, v kterých nelze zanedbat konečné rozměry reálných těles. Obě tyto otázky nebylo možno vyšetřit, bylo-li hmotné těleso nahrazeno hmotným bodem. Avšak ani tuhé těleso nedá správný obraz o chování reálného tělesa v případech, kdy podstatnou roli hrají pružné nebo obecně reologické vlastnosti (viz II, kapitola 2) reálného tělesa.

Tuhé těleso je určeno, udáme-li jeho hustotu r jako funkci sou-řadnic ;

.

(5,4)

Hustotou r zde rozumíme limitní hodnotu poměru hmotnosti m obsažené v objemu V k objemu V, zmenšujeme-li libovolným způso-bem objem V obklopující bod, v němž hustotu chceme stanovit;

.

(5,5)

Přitom, jak bývá ve fyzice zvykem, bez důkazu předpokládáme existenci limity.

Limitu (5,5) jakožto limitu podílu lze pokládat za derivaci . Tuto derivaci můžeme přepsat jako vztah mezi diferenciály

.

(5,6)

Zadáním výrazu (5,4) je současně určena i hranice tuhého tělesa. Těleso se nachází tam, kde hustota je různá od nuly ( ). Mimo těleso je hustota rovná nule ( ).

5.1.3 Hmotný střed, těžiště

Soustava hmotných bodů je určena údaji (5,1) . Z nich výrazem

(5,7)

určíme polohu bodu, který nazveme hmotný střed soustavy hmotných bodů. Poloha hmotného středu soustavy je plně určena rozložením hmotných bodů soustavy a zpravidla nesplývá s polohou žádného bodu soustavy. Pro tuhé těleso definuje polohu hmotného středu podíl objemových integrálů

,

(5,8)

kde obor integrace zahrnuje celý objem tělesa. V tuhém tělese hmotný střed obvykle splývá s některým bodem tělesa. Dle rovnice (5,6) zřejmě , kde M je označena celková hmotnost tělesa. Taktéž v rovnici (5,7) je rovna celkové hmotnosti M soustavy hmotných bodů. Z rovnic (5,7) a (5,8) plynou pro jednotlivé souřadnice hmotného středu, které označíme , rovnice:

neboli složkově

(5,7´)

a

neboli složkově

(5,8´)

Hmotný střed tělesa je bod, který je též známý pod názvem těžiště tělesa. Důvod tohoto druhého označení bude vysvětlen v čl. 5.7.

Součet (5,7´) pro soustavu hmotných bodů je pro tuhé těleso nahrazen integrálem přes objem tělesa V. Např. diskrétní hodnoty souřadnice z první rovnice (5,7´) jsou nahrazeny v první rovnici (5,8´) spojitě proměnnou , kterou je nutno v součinu s funkcí všech tří proměnných integrovat přes celý objem tělesa V. Tento postup je typický pro přechod mezi vzorci odvozenými pro soustavu hmotných bodů a pro tuhé těleso. Výrazy pro soustavu hmotných bodů získáme ve tvaru

,

(5,9)

kde je nějaká veličina vztahující se k i-tému hmotnému bodu. Analogický výraz pro tuhé těleso má tvar integrálu přes hmotnost tělesa. Jelikož je nevhodné integrovat přes hmotnost tělesa, převede se integrál dle vztahu (5,6) na integrál

(5,10)

přes objem tělesa V.

Analogie mezi výrazy (5,9) a (5,10) , kterou zde uvádíme bez hlubšího matematického rozboru, je velmi často užívána při odvozování závěrů platných pro tuhé těleso. Většinu dalších výpočtů provedeme pro soustavu hmotných bodů a analogií (5,9) Ž (5,10) výsledky převedeme na tuhé těleso. Přitom na tuhé těleso budeme převádět jen takové závěry, které mají smysl pro tuhou soustavu hmotných bodů. Tuhá soustava hmotných bodů má stejný počet stupňů volnosti jako tuhé těleso a byla zavedena především proto, aby modelovala chování tuhého tělesa. Výpočty pro soustavu hmotných bodů se provádějí ve tvaru součtů a jsou tedy přehlednější než výpočty pro tuhé těleso, které mají integrální tvar.

---

---