1.2 Vlnová rovnice

Šíření světla, které je speciálním případem elektromagnetických vln, popisuje vlnová rovnice, která plyne z Maxwellových rovnic. Připomeňme si nyní, jak z Maxwellových rovnic vlnovou rovnici dostaneme a jaký má tvar pro různá prostředí. V tomto kontextu lze prostředí rozdělit na prostředí homogenní, nehomogenní, izotropní, anizotropní, vodivá a nevodivá. Homogenní prostředí jsou taková, jejichž vlastnosti jsou ve všech místech stejné, nezávisí na prostorové souřadnici. V prostředích nehomogenních naopak na prostorové souřadnici závisí. Izotropní látky mají vlastnosti nezávislé na směru (šíření světla, polarizace apod.), v anizotropních jsou jejich vlastnosti na směru závislé. Rozdělení látek na vodivé a nevodivé je obvyklé v učebnicích o elektřině a magnetismu, kde se mluví zpravidla o dielektrikách a vodičích. Vyjdeme z Maxwellových rovnic

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

a obvyklých materiálových vztahů

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Zde je použité běžné značení veličin:

je intenzita elektrického pole,

je elektrická indukce,

je magnetická intenzita,

magnetická indukce,

elektrická polarizace,

hustota elektrického proudu, ρ hustota elektrického náboje, μ je magnetická permeabilita, ε₀ permitivita vakua a σ elektrická vodivost. Budeme se zabývat šířením světla v látkách nemagnetických, tedy

. Ve většině případů (kromě 16. kapitoly) budeme také předpokládat lineární závislost polarizace na elektrickém poli, tedy

(1.8)

kde

je elektrická susceptibilita (obecně tenzor) a odkud je

(1.9)

Permitivita

je obecně tenzorová veličina závislá na prostorových souřadnicích. Výraz v kulatých závorkách v (1.9) definuje relativní permitivitu,

.Vlastnosti permitivity podle typu prostředí jsou shrnuty v tab. 1.2. ¹

	homogenní	nehomogenní
izotropní
anizotropní

Tabulka 1.2 Přehled klasifikace prostředí a odpovídající charakter permitivity

Nyní se budeme zabývat pouze izotropními prostředími, šíření světla anizotropními prostředími budeme podrobně zkoumat v kapitole 13. Aplikujeme-li operátor na rovnici (1.1) a uvážíme-li, že můžeme zaměnit pořadí derivací podle času a souřadnice, dostaneme po dosazení z rovnice (1.2)

(1.10)

Můžeme nyní použít vektorovou identitu

(1.11)

Obvykle se dále předpokládá, že

(1.12)

To je splněno například pro homogenní izotropní prostředí bez volného náboje, jak plyne přímo z rovnice (1.3), nebo v dobrých vodičích, kde je amplituda jakéhokoliv náboje v objemu rychle tlumena.²

Platí-li (1.12) a výše uvedené materiálové vztahy, dostáváme vlnovou rovnici ve tvaru ( je Lapalceův operátor)

(1.13)

Odtud můžeme získat známé tvary vlnové rovnice. Například pro šíření světla ve vakuu je

. Pro homogenní izotropní dielektrikum (

), pro které platí (1.8), máme

(1.14)

tedy fázová rychlost šíření je

(1.15)

V optice se zavádí veličina index lomu prostředí, jako poměr rychlosti světla ve vakuu k rychlosti světla v daném (nemagnetickém) prostředí,

(1.16)