1.2 Vlnová rovnice
Šíření světla, které je speciálním případem elektromagnetických vln, popisuje vlnová rovnice, která plyne z Maxwellových rovnic. Připomeňme si nyní, jak z Maxwellových rovnic vlnovou rovnici dostaneme a jaký má tvar pro různá prostředí. V tomto kontextu lze prostředí rozdělit na prostředí homogenní, nehomogenní, izotropní, anizotropní, vodivá a nevodivá. Homogenní prostředí jsou taková, jejichž vlastnosti jsou ve všech místech stejné, nezávisí na prostorové souřadnici. V prostředích nehomogenních naopak na prostorové souřadnici závisí. Izotropní látky mají vlastnosti nezávislé na směru (šíření světla, polarizace apod.), v anizotropních jsou jejich vlastnosti na směru závislé. Rozdělení látek na vodivé a nevodivé je obvyklé v učebnicích o elektřině a magnetismu, kde se mluví zpravidla o dielektrikách a vodičích. Vyjdeme z Maxwellových rovnic
![image002.png](optika_01_soubory/image002.png) |
(1.1) |
![image004.png](optika_01_soubory/image004.png) |
(1.2) |
![image006.png](optika_01_soubory/image006.png) |
(1.3) |
![image008.png](optika_01_soubory/image008.png) |
(1.4) |
a obvyklých materiálových vztahů
![image010.png](optika_01_soubory/image010.png) |
(1.5) |
![image012.png](optika_01_soubory/image012.png) |
(1.6) |
![image014.png](optika_01_soubory/image014.png) |
(1.7) |
Zde je použité běžné značení veličin:
je intenzita elektrického pole,
je elektrická indukce,
je magnetická intenzita,
magnetická indukce,
elektrická polarizace,
hustota elektrického proudu, ρ hustota elektrického náboje, μ je magnetická permeabilita, ε0 permitivita vakua a σ elektrická vodivost. Budeme se zabývat šířením světla v látkách nemagnetických, tedy
. Ve většině případů (kromě 16. kapitoly) budeme také předpokládat lineární závislost polarizace na elektrickém poli, tedy
![image030.png](optika_01_soubory/image030.png) |
(1.8) |
kde
je elektrická susceptibilita (obecně tenzor) a odkud je
![image034.png](optika_01_soubory/image034.png) |
(1.9) |
Permitivita
je obecně tenzorová veličina závislá na prostorových souřadnicích. Výraz v kulatých závorkách v (1.9) definuje relativní permitivitu,
.Vlastnosti permitivity podle typu prostředí jsou shrnuty v tab. 1.2. 1
|
homogenní
|
nehomogenní
|
izotropní
|
|
|
anizotropní
|
|
|
Tabulka 1.2 Přehled klasifikace prostředí a odpovídající charakter permitivity
Nyní se budeme zabývat pouze izotropními prostředími, šíření světla anizotropními prostředími budeme podrobně zkoumat v kapitole 13. Aplikujeme-li operátor
na rovnici (1.1) a uvážíme-li, že můžeme zaměnit pořadí derivací podle času a souřadnice, dostaneme po dosazení z rovnice (1.2)
![image052.png](optika_01_soubory/image052.png) |
(1.10) |
Můžeme nyní použít vektorovou identitu
![image054.png](optika_01_soubory/image054.png) |
(1.11) |
Obvykle se dále předpokládá, že
![image056.png](optika_01_soubory/image056.png) |
(1.12) |
To je splněno například pro homogenní izotropní prostředí bez volného náboje, jak plyne přímo z rovnice (1.3), nebo v dobrých vodičích, kde je amplituda jakéhokoliv náboje v objemu rychle tlumena.2
Platí-li (1.12) a výše uvedené materiálové vztahy, dostáváme vlnovou rovnici ve tvaru (
je Lapalceův operátor)
![image060.png](optika_01_soubory/image060.png) |
(1.13) |
Odtud můžeme získat známé tvary vlnové rovnice. Například pro šíření světla ve vakuu je
a
. Pro homogenní izotropní dielektrikum (
), pro které platí (1.8), máme
![image066.png](optika_01_soubory/image066.png) |
(1.14) |
tedy fázová rychlost šíření je
![image068.png](optika_01_soubory/image068.png) |
(1.15) |
V optice se zavádí veličina index lomu prostředí, jako poměr rychlosti světla ve vakuu k rychlosti světla v daném (nemagnetickém) prostředí,
![image070.png](optika_01_soubory/image070.png) |
(1.16) |