---

---

7.3 Valení po nakloněné rovině

Vypočteme, jak rychle se valí po nakloněné rovině homogenní rotačně symetrické těleso znázorněné v průmětu na rovinu kolmou k ose symetrie tělesa na obr.89. Předpokládáme, že valení probíhá tak, že osa rotační symetrie tělesa je rovnoběžná s průsečnicí nakloněné roviny s vodorovnou rovinou.

Valením rozumíme takový vzájemný pohyb dvou těles, při kterém jejich dotyková přímka (průmět je na obrázku označen o ) je okamžitou osou otáčení (srov. stať 6.5.2). V případě znázorněném na obr.89 to znamená, že (statický) součinitel tření (4,55) mezi rovinou a tělesem je natolik velký, aby bylo možno realizovat sílu tření nezbytnou k roztočení tělesa. Když podmínka velikosti součinitele statického tření pro daný náklon není splněna, těleso se po nakloněné rovině nevalí, ale smýká. Dotyková přímka není okamžitou pevnou přímkou v tělese, a není tedy okamžitou osou otáčení.

Hmotný střed S tělesa, který leží na ose rotační symetrie, se v případě znázorněném na obr.89 pohybuje podél nakloněné roviny ve vzdálenosti R od ní. Vnější síly působící na těleso jsou jeho tíha , reakce pod-ložky udržující těleso na nakloněné rovině (vazbová síla) a síla tření . Reakce podložky má směr kolmý k možnému směru pohybu hmotného středu tělesa, a proto pohyb neovlivňuje. Má-li se těleso po nakloněné rovině valit, musí mezi tělesem a nakloněnou rovinou působit síla smyko-vého tření . Kdyby síla tření byla nulová nebo nedostatečně velká, těleso by se po nakloněné rovině nevalilo, ale klouzalo by po ní, jak jsme již uvedli.

Dle věty (5,35) výsledná vnější síla působící na těleso je rovna hmotnosti M tělesa násobené zrychlením jeho hmotného středu;

.

(5,35)

Budeme uvažovat složku této rovnice do směru možného pohybu hmotného středu S tělesa valícího se po nakloněné rovině. Složka tíhy do uvažovaného směru, na obr.89 označená , má velikost . Síla tření leží přímo v uvažovaném směru a má opačný smysl než síla . Pokládáme-li zrychlení ve smyslu za kladné, můžeme složku rovnice (5,35) do směru pohybu hmotného středu S zapsat v tvaru

.

(7,37)

V rovnici (7,37) neznáme hodnoty . Druhou rovnici pro stanovení těchto hodnot získáme aplikací rovnice pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy (6,12) na uvažovaný příklad. Za osu otáčení tělesa pokládáme osu procházející jeho hmotným středem, tedy osu rotační symetrie tělesa. Moment setrvačnosti tělesa vůči této ose označíme J. Moment vnějších sil vůči ose vytváří pouze síla tření , kde R je vzdálenost hmotného středu S od nakloněné roviny. Pro válec nebo kouli je R jejich poloměr. Dosazením do rovnice (6,12) dostáváme

.

(7,38)

Z geometrie řešeného příkladu plyne, že rychlost hmotného středu

.

(7,39)

Derivováním rovnice (7,39) dle času t získáme vztah mezi postupným zrychlením hmotného středu a úhlovým zrychlením ;

.

Dosadíme-li za do (7,38) , dostáváme po úpravě

.

(7,40)

Dle (7,40) dosadíme za T do rovnice (7,37) , dostaneme

,

odkud

.

(7,41)

Hodnota zrychlení je konstantní. Hmotný střed tělesa, které se valí po nakloněné rovině, koná rovnoměrně zrychlený pohyb. Dosadíme-li do (7,40) hodnotu danou rovnicí (7,41) , zjistíme velikost smykového tření nezbytnou k tomu, aby se těleso po nakloněné rovině nesmýkalo, ale valilo.

Pro plyne z (7,41) , že . Výraz je známé [1] zrychlení tělesa, které se po nakloněné rovině smýká bez tření označíme je . Všechny veličiny vystupující v rovnici (7,41) jsou kladné, a tedy pro je menší než .

Výpočtem dle rovnice (6,9) lze zjistit, že moment setrvačnosti homogenního válce vůči jeho rotační ose je , kde M je hmotnost a R poloměr válce. Dosadíme-li uvedený moment setrvačnosti do rovnice (7,41) , dostaneme

.

(7,42)

Zrychlení hmotného středu homogenního válce, který se valí po nakloněné rovině, je rovno dvěma třetinám zrychlení tělesa, které se po nakloněné rovině smýká bez tření. Moment setrvačnosti koule vůči ose procházející jejím hmotným středem je . Dosadíme-li tuto hodnotu do (7,41) , dostáváme pro zrychlení hmotného středu koule vyjádření

.

(7,43)

Porovnáním rovnic (7,42) a (7,43) zjistíme, že . Vypustíme-li z jednoho místa nakloněné roviny současně válec a kouli, které pů-vodně byly v klidu, koule válec předběhne. Tento závěr platí bez ohledu na velikost koule nebo válce, ovšem jen potud, pokud pohyb není podstatně ovlivněn vnějšími vlivy, např. působením valivého tření (4,56) .

Síla tření vytváří nezbytnou podmínku pro vznik valení, ale nedisipuje žádnou energii. Proto na valení po nakloněné rovině můžeme aplikovat zákon zachování energie. Na obr.90 jsou znázorněny dvě polohy tělesa na nakloněné rovině. Označíme-li a kinetickou a potenciální energii tělesa v místě 1, a kinetickou a potenciální energii v místě 2, musí dle zákona zachování mechanické energie (5,67) platit

.

(7,44)

Potenciální energii tělesa v tíhovém poli lze (viz čl. 5.7) vyjádřit jako potenciální energii hmotného bodu o hmotnosti M celého tělesa, který je umístěn v hmotném středu tělesa. Tedy potenciální energie a potenciální energie , kde a jsou výšky v tíhovém poli, jak plyne z obr.90. Kinetickou energii vyjádříme dle Königovy věty (rovnice (5,74) ) jako součet

(7,45)

kinetické energie příslušné pohybu hmotného středu tělesa a vnitřní kinetické energie, která dle (6,68) pro těleso rotující kolem osy je . Budeme-li předpokládat, že v místě 1 je těleso v klidu, potom . Označíme-li v místě 2 postupnou rychlost hmotného středu a úhlovou rychlost , je

.

Se získanými výrazy pro má rovnice (7,44) tvar

.

(7,46)

Dosadíme-li za dle (7,39) , můžeme z rovnice (7,46) vypočítat rychlost ;

.

(7,47)

Porovnáme-li rychlost (7,47) s rychlostí (4,23) , zjistíme, že valící se těleso při pohybu po nakloněné rovině získá mezi místy se stejnou výškovou odlehlostí menší rychlost než hmotný bod, a tedy též než těleso smýkající se po nakloněné rovině bez tření. Výraz (7,47) by byl roven výrazu (4,23) pouze pro .

Budeme nyní předpokládat, že místo 2 vyznačené na obr.90 se pohybuje současně s tělesem. Provedeme-li derivaci a uvědomíme-li si, že na pravé rovnice (7,47) jedinou proměnnou veličinou je , dostáváme

.

Z geometrie příkladu (viz obr.90) zřejmě plyne , a tedy

.

Poslední výraz je shodný s vyjádřením dle rovnice (7,41) . Ukázali jsme, že oba postupy užité v tomto článku pro vyšetřování pohybu tělesa valícího se po nakloněné rovině dávají stejný výraz pro zrychlení hmotného středu tělesa.

---

---