---

---

7.2 Kyvadlo

Mějme těleso, které se v tíhovém poli otáčí kolem pevné vodorovné osy neprocházející jeho hmotným středem. Takovému tělesu říkáme fyzické kyvadlo. Jako pro těleso otáčející se kolem pevné osy platí pro jeho pohyb rovnice (6,12)

.

(6,12)

Moment vnějších sil vůči ose vytváří tíhové pole, moment setrvačnosti J je momentem setrvačnosti kyvadla vůči ose otáčení. Na obr.86 je schematicky znázorněn pohled na fyzické kyvadlo ve směru osy otáčení O. Hmotný střed kyvadla je označen S a jeho vzdálenost od osy otáčení r. Svislá přímka vedená osou otáčení je značena p . Dle výsledku uvedeného na konci čl.5.7 lze silové působení na těleso v tíhovém poli nahradit tíhou tělesa umístěnou v hmotném středu (těžišti) tělesa, a tedy velikost momentu síly vůči ose

.

(7,24)

V rovnici (7,24) jsme označili úhel mezi svislou přímkou p a kolmicí spuštěnou z hmotného středu S tělesa na osu otáčení O. Úhel je tedy úhlem mezi přímkou pevnou v prostoru a přímkou pevnou v tělese, jakým se zpravidla popisuje pohyb tělesa otáčejícího se kolem pevné osy. Úhlová rychlost otáčení kyvadla je . Dosadíme-li do rovnice (6,12) za a za výraz (7,24) , dostáváme

.

(7,25)

Znaménko minus v rovnici (7,25) vyjadřuje skutečnost, že moment tíhové síly se snaží tělesem otáčet v opačném smyslu, než je smysl úhlu (předpokládáme ). Rovnice (7,25) je diferenciální rovnice pro neznámou funkci . Funkce řešící rovnici (7,25) není žádná z běžných funkcí. Její hodnoty mohou být udány tabulkou nebo je možno funkci vyjádřit ve tvaru nekonečné řady (např. [5]). Omezíme-li se na malé velikosti úhlu , můžeme použít přibližné rovnosti a rovnici (7,25) přepsat na tvar

.

(7,26)

Rovnice (7,26) je rovnice formálně shodná s pohybovou rovnicí (2,10) harmonického kmitu. Řešením rovnice (7,26) je tedy funkce

,

(7,27)

kde

.

(7,28)

Konstanty z rovnice (7,27) je nutno určit z počátečních podmínek pohybu. Úhel určuje maximální velikost (amplitudu) úhlu a úhel hodnotu úhlu v čase . Je-li malé, jsou po celou dobu pohybu, tj. pro všechna splněny podmínky pro platnost přibližné rovnice užité při odvození pohybové rovnice (7,26) . Rovnovážná poloha fyzického kyvadla nastane zřejmě (viz též čl.5.8) pro .

Při malých výchylkách z rovnovážné polohy je úhel určující pohyb fyzického kyvadla dán harmonickou rovnicí (7,27) . Kyvadlo kmitá kolem své rovnovážné polohy frekvencí danou rovnicí (7,28) . Je třeba dobře rozlišovat konstantní frekvenci kmitů a proměnou úhlovou rychlost , jakou se kyvadlo otáčí kolem osy. Stejně tak je si třeba uvědomit, že primární harmonicky proměnou veličinou při pohybu kyvadla je úhel a ne nějaká veličina s délkovým fyzikálním rozměrem. Takovou veličinou může být průmět polohy hmotného středu S do vodorovné roviny. Pro tento průmět, kterým se často při elementárním výkladu [1] pohyb kyvadla vyjadřuje, přibližně také pro malé výchylky platí harmonická závislost na čase, ale jedná se o zprostředkovanou (sekundární) závislost.

Dobou kmitu T nazýváme časový interval, po kterém se celý pohyb kyvadla opakuje. Dle rovnic (7,27) a (7,28) zřejmě

.

(7,30)

Doba kmitu fyzického kyvadla je přímo úměrná odmocnině z momentu setrvačnosti J kyvadla vůči ose otáčení a nepřímo úměrná odmocnině ze součinu hmotnosti M kyvadla, velikosti tíhového zrychlení g a vzdálenosti r hmotného středu kyvadla od osy otáčení.

Porovná-li se řešení (7,27) rovnice (7,26) s řešením přesné rovnice (7,25) , lze zjistit, že doba kmitu kyvadla je dána výrazem (7,30) s přesností lepší než 0,1%, když amplituda úhlu nepřesáhne hodnotu 5^o. Výraz (7,30) je s touto přesností na amplitudě nezávislý. Doba kmitu odpovídající řešení přesné rovnice (7,25) na amplitudě závisí, její hodnotu lze udat ve tvaru nekonečné řady [3], [14] s prvním členem rovným výrazu (7,30) .

7.2.1 Matematické kyvadlo

Předpokládáme-li, že těleso má celou svou hmotnost M soustředěnou v bodě, jehož vzdálenost od osy otáčení je , moment setrvačnosti tělesa vůči ose otáčení je a vzdálenost hmotného středu tělesa od osy otáčení . Pro dobu kmitu takového tělesa, které nazýváme matematickým kyvadlem, dostáváme dosazením do vzorce (7,30) vyjádření

.

(7,31)

Matematické kyvadlo přibližně realizujeme, zavěsíme-li v tíhovém poli těžkou kouli na lehké vlákno, a počáteční podmínky pohybu volíme tak, aby koule a její závěs se stále pohybovaly v jedné svislé rovině (viz obr.87). Koule (hmotný bod) na lehkém (nehmotném) závěsu může však konat i celou řadu pohybů, které nelze popsat funkcí (7,27) a dobou kmitu (7,31) . Nemusí např. zachovávat rovinu kyvu, což při aplikaci rovnice (7,27) na pohyb matematického kyvadla předpokládáme. Složitější pohyby matematického kyvadla jsou rozebrány např. v [14].

7.2.2 Reverzní kyvadlo

Výraz

(7,32)

z rovnice (7,30) má rozměr délky a bývá nazýván redukovanou délkou fyzického kyvadla. Užijeme-li v rovnici (7,30) označení (7,32) , dostáváme pro dobu kmitu fyzického kyvadla výraz

,

který je formálně shodný s rovnicí (7,31) . Fyzické kyvadlo s redukovanou délkou má tedy dobu kmitu stejnou jako matematické kyvadlo délky .

Zjistíme, kolem kterých os mají malé kmity fyzického kyvadla stejnou dobu kmitu. Na obr.88 je naznačen hmotný střed S tělesa, průměty dvou rovnoběžných os 0 a 0´ a vzdálenosti r´ a r os od hmotného středu. Doba kmitu T pro osu 0 je dána výrazem (7,30) , dobu kmitu pro osu 0´ zapíšeme ve tvaru

,

kde J´  je moment setrvačnosti tělesa vůči ose 0´. Mají-li být doby kmitu T a stejné, musí platit relace

.

(7,33)

Dle Steinerovy věty (6,61) můžeme psát

, když moment setrvačnosti vůči ose procházející hmotným středem S tělesa rovnoběžně s osami O a O´ označíme . Zavedeme-li toto vyjádření do rovnice (7,33) , dostáváme

.

(7,34)

Po algebraických úpravách můžeme rovnici (7,34) napsat jako kvadratickou rovnici pro neznámou délku ;

.

(7,35)

Jedním řešením rovnice (7,35) je , jak lze přímo zjistit z rovnice (7,33) a (7,34) . Fyzické kyvadlo kývá se stejnou dobou kmitu kolem všech rovnoběžných os stejně vzdálených od hmotného středu. Označíme-li druhý kořen rovnice (7,35) , z teorie kvadratických rovnic (součet kořenů je roven koeficientu u lineárního členu) plyne

.

Jelikož , poslední rovnice udává, že součet je roven redukované délce (7,32) kyvadla, tedy

.

(7,36)

Uvažujeme-li pouze osy O a O´ takové, že hmotný střed S tělesa leží v rovině jimi určené, plyne z rovnice (7,36) , že kyvadlo kýve se stejnou dobou kmitu též (kromě výše uvedeného symetrického případu) kolem dvou os, jejichž vzdálenost je rovna redukované délce kyvadla.

Jak lze této skutečnosti užít k změření hodnoty tíhového zrychlení g reverzním kyvadlem, je popsáno např.v [17], čl.2.2.2.4. Některé další experimentální aplikace fyzického kyvadla jsou uvedeny v [3].

---

---