 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mějme izolovanou soustavu hmotných bodů, které všechny mají stejnou rychlost
a jejichž celková hmotnost je M. Část soustavy o hmotnosti
se za čas
oddělí působením vnitřních sil soustavy a získá rychlost
různou od rychlosti
. Uvažovaný děj vznikne působením vnitřních sil soustavy, soustava jako celek
zůstává izolovanou soustavou hmotných bodů a její hybnost se nemění (viz
čl.5.6).
Celková hybnost soustavy hmotných bodů, dokud se všechny
body pohybují společnou rychlostí
, je
 , |
(7,48) |
kde M je celková hmotnost soustavy. Po rozdělení
soustavy část o hmotnosti
má hybnost
. Hmotnost zbytku soustavy, který se nyní pohybuje společně rychlostí
, se změní o
, neboť celková hmotnost soustavy se nemění. Hybnost zbytku (zbytek zde však je
mnohem větší než oddělená část, protože diferenciál dM
budeme pokládat za malou veličinu) soustavy je
. Hybnost celé soustavy i s oddělenou
zapíšeme v tvaru
 . |
(7,49) |
Dle zákona zachování hybnosti izolované soustavy musí být (7,48) rovno (7,49) , tedy
 |
(7,50) |
Zanedbáme-li nekonečně malou veličinu druhého řádu
, můžeme rovnici
(7,50)
přepsat na tvar
 . |
(7,51) |
Změny hmotnosti a času vztáhneme k časovému intervalu dt, za který se udály, dostaneme
 . |
(7,52) |
Rychlost
je relativní rychlost oddělené hmotnosti
vůči části soustavy, která se společně se pohybuje rychlostí
. Relativní rychlost
označíme
, zrychlení
společně se pohybující části soustavy označíme
. S těmito symboly můžeme rovnici
(7,52)
přepsat na tvar
 . |
(7,52) |
Rovnici
(7,52)
jsme zatím odvodili pro případ, kdy ubývá
hmotnosti společně se pohybující části soustavy. Derivace
, a tedy relativní rychlost
a zrychlení
mají opačný smysl.
Rovnice
(7,52)
však platí i pro případ, kdy
, tj. pro případ, kdy hmotnost části soustavy se společnou rychlostí roste.
V tomto případě uvažujeme izolovanou soustavu, která na začátku
diferenciálního časového intervalu dt
se skládá z elementární hmotnosti dM
o rychlosti
a z části o hmotnosti M
pohybující se rychlostí
a na konci časového intervalu dt
se celá hmotnost soustavy M+dM
pohybuje společnou rychlostí
. Ze zákona zachování hybnosti plyne v tomto případě rovnice
 , |
která je stejná jako rovnice
(7,50)
. Úprava na rovnici
(7,52)
je pak již shodná s úpravou provedenou v předcházejícím
případě, kdy bylo
.
Rovnice
(7,52)
umožňuje zjistit (ovšem musíme řešit diferenciální rovnici) zrychlení
části soustavy, která má rychlost
, když známe počáteční hmotnost
této části soustavy, rychlost
, jakou se její hmotnost mění a relativní rychlost
, jakou ji ubývající hmotnost opouští či jakou se k ní přidává. V rovnici
(7,52´)
se vyskytují pouze veličiny, které se vztahují k společně se
pohybující části uvažované soustavy hmotných bodů.
Rovnici
(7,52´)
lze užít k řešení takových problémů,
jako je stanovení pohybu rakety, pohybu kapky padající v prostředí, kde
její hmotnost se zvětšuje kondenzací par, pohybu nádob s vytékající
kapalinou apod. Relativní rychlost
je rychlost, jakou vystřelené plyny
opouštějí raketu počítaná vůči raketě. U kapky je to rychlost, jakou se kapka
pohybuje vůči prostředí, z kterého na ní kondenzují páry. U nádoby
s kapalinou je to výtoková rychlost kapaliny počítaná vůči nádobě.
Společně se pohybující část
soustavy hmotných bodů je v uvedených příkladech lokalizovaná
v jednou místě. Budeme ji nazývat
systémem s proměnnou hmotností
. Když na takový systém působí ještě vnější síla
, zrychlení systému
způsobené touto silou,
, se přičte k zrychlení
danému rovnicí
(7,52)
. Označíme-li výsledné
zrychlení
písmenem
, dostáváme pohybovou rovnici systému s proměnou hmotností, tzv.
rovnici Meščerského:
Výraz
v rovnici
(7,53)
bývá uvažován jako
síla a jedná-li se o případ, kdy
, bývá tato síla nazývána reaktivní silou.
U raket se používá též názvu tažná síla.
Uvedeme některé závěry o pohybu raket. Pro jednoduchost
zanedbáme vliv vnější síly
, vyjdeme tedy z rovnice
(7,52)
. Předpokládáme-li stálou rychlost úbytku
hmotnosti
a stálou relativní rychlost
zplodin hoření vystřelovaných z rakety,
plyne z rovnice
(7,52´)
, že
, kde
je konstantní vektor. Jelikož hmotnost rakety
s časem ubývá, zrychlení rakety
za uvedených podmínek s časem roste.
Vyjdeme-li z rovnice
(7,52)
, přesněji z původního tvaru
(7,51)
,
můžeme určit velikost konečné rychlosti rakety
, známe-li hmotnost
rakety před startem, velikost relativní rychlosti u
vystřelovaných plynů a konečnou hmotnost
rakety po vyhoření veškerého paliva.
Podrobný výpočet provedený např. v [20], kap.6 dává
 . |
(7,54) |
Poměr
, na kterém dosažená konečná rychlost rakety podstatně závisí, se nazývá
Ciolkovského číslo.
Rovnice
(7.54)
platí i pro výpočet zvýšení rychlosti
vyhořením
-tého stupně vícestupňové rakety. Stačí nahradit výraz
na levé straně rovnice
(7.54)
rozdílem rychlostí
. Hmotnost
v tomto případě značí hmotnost před
zažehnutím uvažovaného stupně rakety a
hmotnost po jeho vyhoření.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.