---

---

7.1 Srážky těles, ráz těles

Jako ráz těles můžeme též hovořit o srážkách těles se označuje krátkodobý děj interakce dvou těles, při kterém dochází k náhlým změnám vektorů rychlostí hmotných středů obou těles i vektorů jejich úhlových rychlostí. Interakční síly, říkáme jim v této souvislosti též nárazové síly, odpovídají rychlým změnám vektorů rychlosti, tj. velkým zrychlením, a jsou tedy velké. Detailní průběh těchto sil závisí na reologických (viz II.2) vlastnostech těles, jejich tvaru a způsobu, jakým ke střetu došlo. Pro předávání momentů hybnosti jsou navíc důležité i kluzné (třecí) vlastnosti povrchů. Při rázu těles často dochází k nevratným změnám jejich tvaru, takže potom i aproximace děje představou střetu dvou tuhých těles selhává. Pro nalezení hlavních charakteristik rázů je tedy nutné děje vhodným způsobem schematizovat a teprve tato zjednodušená schémata podrobit analýze.

Předpokládáme, že tělesa se na počátku rázu dotknou v jediném bodě, který se nazývá bod rázu. Tímto bodem vedeme společnou tečnou rovinu obou těles a bodem rázu kolmici (normálu) k této rovině Leží-li hmotné středy obou těles na této kolmici, nazývá se ráz středový, v opačném případě se jedná o ráz výstředný. Jsou-li obě tělesa účastnící se rázu homogenní koule, je zaručeno, že ráz bude středový. Pohybují-li se těžiště obou těles před rázem po normále k budoucímu bodu rázu, je ráz přímý, pro opačný případ se užívá označení ráz šikmý.

Reologické chování (viz II.2) těles při rázu se schematizuje dvěma krajními modely, tělesa se pokládají buď za dokonale pružná nebo za dokonale nepružná. Uvažuje se i případ mezi těmito krajními modely, kdy tělesa jsou nedokonale pružná. Dokonale pružný ráz užívá se i zkrácené označení pružný ráz se uvažuje jako ráz, v jehož průběhu se kinetická energie těles zachovává, tedy součet kinetických energií těles před rázem je roven součtu kinetických energií těles po rázu. Dokonale nepružný ráz užívá se též zkrácené označení nepružný ráz se uvažuje jako ráz, v jehož průběhu se obě tělesa spojí a po rázu se pohybují jako jedno těleso, jehož hmotnost je rovna součtu hmotností původních dvou těles. Při nedokonale pružném rázu se tělesa při rázu od sebe odrazí, ale součet jejich kinetických energií po rázu je menší než před rázem.

Při vyšetřování rázu těles nesledujeme detailní průběh interakčních sil, ale určujeme pouze jejich výsledný impuls, který zjistíme z rozdílu hybností jednotlivých těles před rázem a po rázu. Z takto zjištěného impulsu interakční síly můžeme určit její průměrnou velikost, když známe dobu trvání rázu.

Interakční síly jsou vnitřními silami soustavy těles účastnících se rázu, a proto jejich působením se celková hybnost a celkový moment hybnosti soustavy nemění. Pro ráz tedy platí jak zákon zachování hybnosti (5,52) tak zákon zachování momentu hybnosti (5,61) . Pro ráz dvou těles můžeme tyto zákony (když zanedbáme vzhledem ke krátkému působení rázu nepatrný impuls vnějších sil, např. tíhy), vyslovit v tvaru:

1. Vektorový součet hybností obou těles po rázu je roven jejich vektorovému součtu před rázem.

2. Vektorový součet momentů hybnosti soustavy obou těles po rázu je roven vektorovému součtu momentů hybnosti soustavy těles před rázem.

V druhém zákonu si však musíme jasně uvědomit, že vektorový součet momentů hybnosti soustavy dvou těles se skládá ze čtyř členů: dvou momentů hybnosti těles vůči svým těžištím (vlastních momentů hybnosti těles) a dvou momentů hybnosti těžišť těles vůči bodu, ke kterému moment hybnosti počítáme. Tento bod musí být stejný pro výpočet momentu hybnosti soustavy před rázem a po rázu. Můžeme za něj volit např. bod rázu.

Z uvedeného vyplývá, že i tělesa, která se před rázem netočí (mají nulový vlastní moment hybnosti), se po rázu obvykle roztočí, když před rázem součet momentů hybnosti jejich těžišť vůči bodu rázu je nenulový. Taková situace často nastane při srážce aut.

Vyslovené dva zákony určují šest z dvanácti stupňů volnosti pohybu dvou těles po rázu. Je-li ráz dokonale pružný, přibude ještě jedna rovnice určující zákon zachování mechanické energie, ale stejně zůstane úloha o rázu v přiblížení srážky dvou tuhých těles úlohou neurčitou, která k jednoznačnosti řešení potřebuje udání ještě dalších podmínek.

Obvykle při vyšetřování schémat rázu uvažujeme pouze postupný pohyb. I potom však zákon zachování hybnosti určí pouze tři ze šesti stupňů volnosti postupného pohybu dvou tuhých těles po rázu a i pro dokonale pružný ráz, kde přibude určení jednoho stupně volnosti ze zákona zachování mechanické energie, zůstane úloha bez udání dalších podmínek neurčitou. Některé obecné zákonitosti však o takových rázech lze vyslovit. Podrobnější rozbor tohoto typu rázu, kterým se mimo jiné popisují srážky elementárních částic, podáme ve stati 7.1.1.

Jednoznačně lze vyřešit nepružný ráz a pružný ráz vázaný na přímku v přiblížení postupného pohybu, tedy jako srážky dvou hmotných bodů. Řešení nedokonale pružných rázů a rázů s uvážením rotace těles je obtížné. Některé závěry lze nalézt v učebnici [3], jejíž hlavní autor prof. Horák se problematikou rázů podrobně zabýval.

7.1.1 Pružné srážky částic

Při vyšetřování srážek elementárních částic pokládáme tyto částice za hmotné body

V čl.5.4 jsme probrali některé zvláštní případy srážek dvou hmotných bodů, na které nepůsobí vnější síly. Odvodili jsme i základní rovnici

(5,54)

vyjadřující zákon zachování hybnosti uvažované izolované soustavy dvou hmotných bodů. Vyšetřovali jsme však jen takové srážky, kdy celý pohyb bylo možno redukovat na jednorozměrný problém.

Nyní rozšíříme úvahy na trojrozměrný případ. Mějme dva hmotné body , které se do oblasti vzájemného působení (interakce) na obr. 80 označené jako O blíží rychlostmi . Po vzájemném působení (srážce) se hmotné body rozletí rychlostmi . Dále budeme předpokládat, že se srážkou nezmění celková mechanická energie soustavy dvou hmotných bodů. V prostoru mimo oblast vzájemného působení můžeme mechanickou energii soustavy pokládat za součet kinetických energií obou hmotných bodů. Podmínka zachování mechanické energie je pak vyjádřena rovnicí

.

(7,1)

Jak jsme uvedli v úvodu článku, srážce, při které se zachovává mechanická energie soustavy, říkáme pružná srážka.

Známe-li pohyb hmotných bodů před srážkou, jsou rovnicemi (5,54) a (7,1) stanoveny čtyři podmínky pro šest stupňů volnosti pohybu dvou hmotných bodů po srážce. Rovnicemi (5,54) a (7,1) nelze tedy problém pružné srážky dvou hmotných bodů zcela rozřešit. K úplnému řešení je třeba znát kromě pohybu hmotných bodů před srážkou i charakter sil, kterými body na sebe působí v interakční oblasti O. Pružná srážka dvou hmotných bodů je podmínkami (5,54) a (7,1) natolik omezena, že některé obecné závěry o jejím výsledku můžeme zjistit, aniž známe průběh silového působení v oblasti O.

Těžišťová soustava souřadná
Nejsnáze lze srážku dvou hmotných bodů popsat v soustavě souřadné, v níž těžiště hmotných bodů je v klidu takové soustavě souřadné říkáme těžišťová. Soustavu hmotných bodů pokládáme za izolovanou; hmotný střed soustavy je buď v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu. Těžišťová soustava souřadná je tedy jednou z inerciálních soustav souřadných a můžeme ji užít k popisu pohybu, aniž bychom museli uvažovat o působení nějakých zdánlivých sil. V těžišťové soustavě souřadné je hybnost soustavy (viz rovnici (5,73) ) hmotných bodů nulová. Rychlosti hmotných bodů v těžišťové soustavě před srážkou označíme a po srážce . V těžišťové soustavě souřadné nejen platí rovnice typu (5,54) , ale navíc obě strany rovnice jsou nulové, tedy

.

(5,54)

Rovnice, která vyjadřuje zachování mechanické energie soustavy, má v těžišťové soustavě souřadné tvar

.

(7,1)

Výraz má obecně jinou hodnotu než výraz . Z rovnice (5,54´) plyne, že jak hybnosti hmotných bodů před srážkou, tak hybnosti hmotných bodů po srážce jsou stejně velké, stejného směru a opačného smyslu. Hybnosti směřují k oblasti interakce (srážky) O, hybnosti míří od oblasti O (viz obr.81). Z rovnice (5,54´) pro absolutní hodnoty hybností plynou rovnice

,

a tedy

.

Dosadíme-li právě získané vyjádření do rovnice (7,1) , dostáváme po úpravě

,

odkud plyne

.

(7,2)

Velikost rychlosti hmotného bodu před srážkou je rovna velikosti jeho rychlosti po srážce. Podobně lze dokázat, že i velikost rychlosti druhého hmotného bodu se srážkou nezmění, tedy

.

(7,3)

Z rovnic (5,54) , (7,2) a (7,3) plyne, že všechny hybnosti mají stejnou velikost, jak již bylo zakresleno na obr.81. Velikosti rychlostí hmotných bodů po srážce jsou tedy podmínkami (5,54) a (7,1) určeny. Zbývá určit jejich směr.

Jak je naznačeno na obr.81, v obecném případě se hmotné body před interakcí pohybují po dvou rovnoběžkách. Rovnoběžky určují rovinu a směr pohybu hmotných bodů před interakcí (srážkou). Je třeba určit pohyb bodů po srážce, jak vzhledem k této rovině, tak i vzhledem k původnímu směru pohybu hmotných bodů. K tomu je třeba dvou údajů (úhlů), jak odpovídá dvěma dosud neurčeným stupňům volnosti pohybu hmotných bodů po srážce. Zpravidla předpokládáme, že působení mezi hmotnými body je dáno centrálními silami a potom, jak jsme ukázali v článku 4.3 (viz též čl.5.6), zůstává zachována rovina pohybu. Obrázek 81 lze pak chápat jako rovinný obrazec a k určení pohybu po srážce stačí udat úhel , kte-rý svírá přímka h s přímkou p. Přímka p je přímka prolo-žená hmotným středem S ve směru pohybu hmotných bodů před srážkou a přímka h je proložená hmotným středem ve směru pohybu hmotných bodů po srážce. V přibližném vyjádření, kdy oblast O poklá-dáme za bodovou, předpo-kládáme, že body před sráž-kou se pohybují přesně podél přímky p a po srážce podél přímky h. V tomto přiblížení také stačí udání úhlu mezi přímkami h a p určení pohybu hmotných bodů po srážce. Dále budeme vždy předpokládat srážky takového druhu, kdy úhel plně určuje směr pohybu hmotných bodů po srážce.

Známe-li centrální síly působící mezi hmotnými body, lze řešením problému dvou těles (viz čl.5.6) stanovit úhel v závislosti na vzdálenosti hmotných bodů od přímky p před srážkou. Důležitou úlohou je stanovit průměrné rozdělení úhlu , dopadá-li více hmotných bodů, nebo jak v této souvislosti říkáme částic, na zvolený hmotný bod. Mluvíme pak o rozptylu částic. Stanovení úhlů i jejich rozdělení pro různé druhy centrálních silových polí je diskutováno např. v [11], [12].

Zde rozebereme pouze závěry, které lze o pružné srážce dvou hmotných bodů učinit, neznáme-li úhel . V článku 5.6 jsme ukázali (viz rovnici (5,83) ), že rychlosti dvou hmotných bodů tvořící soustavu lze v těžišťové soustavě souřadné vyjádřit dle jejich vzájemné rychlosti. Můžeme tedy psát

,

kde je vzájemná rychlost hmotných bodů před srážkou a jejich vzájemná rychlost po srážce. Z rovnic (7,2) a (7,3) , uvážíme-li, že jak rychlosti , tak i rychlosti mají stejný směr a opačný smysl, plyne rovnost velikosti vektorů ;

(7,6)

Rychlosti hmotných bodů po srážce můžeme pak vyjádřit jako

.

(7,7)

V rovnicích (7,7) je jednotkový vektor ve směru pohybu hmotných bodů po srážce; smysl vektoru je shodný se smyslem vektoru . Těžišťová soustava souřadná se vůči původní soustavě souřadné pohybuje rychlostí

,

(7,8)

tj. rychlostí, jakou má hmotný střed v původní soustavě souřadné (viz například rovnici (5,54) ). Vztah mezi rychlostmi hmotných bodů v původní a těžišťové soustavě je dán rovnicemi

.

(7,9)

Pro rychlosti získáme pak dle (7,9) , (7,7) a (7,8) vyjádření

.

(7,10)

Rovnice (7,10) určují rychlosti hmotných bodů po srážce na základě údajů, které s výjimkou směru lze určit z rychlostí hmotných bodů před srážkou. Rovnice (7,10) platí v libovolné inerciální soustavě souřadné, která se vůči těžišťové soustavě pohybuje rychlostí . Přitom rychlost určená rovnicí (7,8) je pro různé soustavy souřadné různá.

Abychom mohli snáze podat geometrickou interpretaci rovnice (7,10) , převedeme ji na rovnici mezi hybnostmi hmotných bodů před srážkou a hybnostmi hmotných bodů po srážce. Vynásobíme-li první z rovnic (7,10) hmotností prvého hmotného bodu a druhou z rovnic (7,10) hmotností druhého hmotného bodu, dostaneme

.

(7,11)

V rovnici (7,11) jsme výraz který dle (5,88) nazýváme redukovanou hmotností, označili . Vektor

(7,12)

má konstantní velikost a libovolný směr. Umístíme-li počátek vektoru do středu S kružnice, leží jeho konec na kružnici (viz obr.82). Vektor je součtem vektoru a vektoru

.

(7,13)

Umístíme-li konec vektoru do středu S kružnice, vektor míří od počátku vektoru ke konci vektoru . Vektor získáme, odečteme-li vektor od vektoru

,

(7,14)

což lze graficky provést, položíme-li počátek vektoru do středu S kružnice a spojíme konce vektorů a . Vektory jsou zřejmě rovnoběžné.

Obě popsané konstrukce jsou souhrnně znázor-něny na obr.82. Obrázek 82 tak dává rychlou grafickou metodou, dle níž lze pro libovolně zvolený směr určit hybnosti hmotných bodů po srážce při známých hybnostech hmotných bodů před srážkou.

Laboratorní soustava souřadná
Mezi netěžišťovými souřadnými soustavami je významná soustava, v níž jeden z hmotných bodů je před srážkou v klidu. Takové soustavě souřadné říkáme laboratorní, neboť zpravidla ji užíváme k vyšetřování srážek, při kterých bod před srážkou klidný je též klidný vůči laboratoři. Takové omezení není obecně nutné a laboratorní soustavu souřadnou lze nalézt pro každou srážku dvou izolovaných hmotných bodů, neboť existuje neinerciální soustava souřadná, v které jeden z hmotných bodů (můžeme si dokonce vybrat, kterému z hmotnému bodu chceme laboratorní soustavu přiřadit) je před srážkou v klidu.

Dále budeme předpokládat, že v laboratorní soustavě souřadné je před srážkou v klidu druhý hmotný bod . Označíme-li veličiny vztahující se k laboratorní soustavě indexem L, budeme tedy předpokládat, že hybnost . Z rovnice (7,14) potom plyne, že vektor má v laboratorní soustavě souřadné velikost

.

V laboratorní soustavě souřadné velikost vzájemné rychlosti částic je rovna velikosti rychlosti první částice . Rozepíšeme-li výraz pro redukovanou hmotnost,

,

dostáváme potom z rovnice (7,12) pro velikost vektoru v laboratorní soustavě souřadné vyjádření

,

a tedy

.

(7,15)

V laboratorní soustavě souřadné nejen bod C, ale i bod B leží na kružnici v grafickém vyjádření daném obrázkem 82.

Obrázek 82 pro speciální případ laboratorní soustavy souřadné je zakreslen na obr.83. Vektor

(7,16)

a vektor

.

(7,17)

V laboratorní soustavě jsou vektory rovnoběžné, a proto úhel naznačený na obr.83 je úhlem z obr.81, tj. úhlem, o který se srážkou změní směr pohybu hmotných bodů v těžišťové soustavě souřadné. Na obr.83 je znázorněn též úhel , o který se odchýlí po srážce směr pohybu prvého hmotného bodu od jeho směru před srážkou a úhel , který svírá směr pohybu druhého hmotného bodu po srážce se směrem pohybu prvního hmotného bodu před srážkou.

Význam úhlů zřetelně plyne z obrázku 84, na kterém je zakreslena srážka odpovídající případu znázorněnému na obr.83. Vektory jsou dle (7,16) a (7,17) rovnoběžné s vektorem . Aby obrázek 84 nemusel být příliš veliký, jsou na něm velikosti vektorů čtyřikrát zmenšeny oproti grafu 83. Porovnáním rovnic (7,16) a (7,17) zjistíme, že velikosti vektorů jsou v poměru a obr.83 tedy odpovídá případu, kdy . V tomto případě úhel nemůže nabýt libovolných hodnot. Jeho maximální hodnota je dána podmínkou

,

(7,18)

jak lze snadno vyčíst z obr.83.

Má-li hmotný bod, který je před srážkou v klidu vůči laboratorní soustavě souřadné, menší hmotnost než dopadající hmotný bod, může se dopadající hmotný bod odchýlit od směru své původní dráhy nejvýše o úhel daný rovnicí (7,18) . Toto tvrzení můžeme vyslovit, aniž známe charakter sil působících mezi oběma hmotnými body. Má-li před srážkou klidný bod větší hmotnost než dopadající hmotný bod, tedy platí-li nerovnost , žádné omezení typu (7,18) pro úhel neplatí. Bod A na grafu 83 leží uvnitř kružnice, jak plyne z úměry

,

když . Najdeme vztah mezi úhly a úhlem . Z obr.83 lze vyčíst, že

.

Dle (7,15) a dosadíme-li za dle (7,17) a (7,16) , dostaneme

.

(7,19)

Trojúhelník BSC z obr.83 je rovnoramenný, a tedy

.

(7,20)

Je-li , je vždy , když a , když (viz též obr.83). Pro centrální síly nastává případ , když hmotné body se před srážkou pohybují přesně ve směru své spojnice Po srážce zachovávají oba hmotné body původní směr pohybu. Hmotný bod , který je před srážkou v klidu, se po srážce pohybuje ve stejném smyslu jako hmotný bod před srážkou. Bod se po srážce pohybuje ve stejném smyslu jako před srážkou, když a v opačném smyslu než před srážkou, když . Pružnou srážku dvou hmotných bodů, které před srážkou se pohybují podél přímky a zůstanou v pohybu podél této přímky i po srážce, lze úplně rozřešit elementárními prostředky. Pro jedno-rozměrný případ jsou totiž rovnice (5,54) a (7,1) dvěma rovnicemi k určení dvou stupňů volnosti, které mají hmotné body po srážce.

Vyšetříme nyní v laboratorní soustavě souřadné pružnou srážku dvou stejně těžkých hmotných bodů. Z podmínky plyne dle (7,16) a (7,17) , že velikosti vektorů jsou stejné, tedy . Na kružnici grafu 83 leží nejen body C a B, ale i bod A, jak je naznačeno na obr.85. Užitím elementárních geometrických vztahů plyne z obrázku 85, že

.

(7,21)

Takto probíhá srážka s výjimkou případu, kdy . Je-li , musí se hmotné body po srážce pohybovat ve stejné přímce jako bod před srážkou. Rovnice (5,54) a (7,1) mají pro laboratorní soustavu souřadnou tvar:

a

.

V uvažovaném jednorozměrném případě srážky dvou hmotných bodů o stejné hmotnosti můžeme rovnice zjednodušit a dostaneme

.

(7,22)

V první rovnici jsou vektory rychlosti v přímce, tedy veličiny, které mohou být jak kladné tak záporné. Umocníme-li první z rovnic (7,22) na druhou a odečteme druhou rovnici, získáme podmínku

(7,23)

0 . Z podmínky (7,23) plyne, že rovnice (7,22) mohou společně platit pouze, když bude nulové. Položíme-li , je dle první rovnice (7,22) , což odpovídá případu, kdy k žádné srážce nedojde. Zbývá tedy položit . Pak z první rovnice (7,22) dostáváme . Po srážce se první hmotný bod zastaví a druhý se pohybuje dále stejnou rychlostí, jakou měl první hmotný bod před srážkou. Říkáme, že hmotné body si vymění rychlosti. Uvedený výsledek je ve shodě s grafem 85.

Výměnu rychlostí lze dobře demonstrovat při srážce stejně těžkých homogenních koulí, z nichž jedna je původně v klidu. Musíme však zajistit, aby hmotný střed narážející koule se před srážkou pohyboval po přímce, která prochází hmotným středem klidné koule a nesmíme připustit rotaci koulí.

---

---