Předchozí kapitola Předchozí podkapitola Obsah kapitoly Příklady Průvodce Následující podkapitola Následující kapitola

6.6 Těžký setrvačník

V čl. 6.4 jsme zavedli název těžký setrvačník pro těleso otáčející se v tíhovém poli kolem bodu, který není hmotným středem tělesa. Přehled případů, kdy lze podat přesné řešení pohybu těžkého setrvačníku, je podán v [14]. Nejčastěji je uvažován pohyb těžkého symetric-kého setrvačníku, jehož pevný bod leží na ose symetrie setrvačníku. Přesné řešení problému lze nalézt v [11], [12], [14]; zde se omezíme na přibližné řešení.

Budeme předpokládat, že se setrvačník velmi rychle otáčí kolem své osy symetrie. Druhým předpokladem přibližného řešení bude, že moment setrvačnosti vůči ose symetrie je podstatně větší než druhý hlavní moment setrvač-níku. V minulém článku jsme ukázali, že osa otáčení volného setrvačníku, který se otáčí kolem některé ze svých hlavních os setrvačnosti, zachovává v tělese i v prostoru svou polohu. Dále jsme ukázali (viz rovnici (6,96) ), že pro symetrický setrvačník za předpokladu je rotace kolem osy symetrie setrvačníku energeticky stabilní. Při rychlém otáčení je stabilita natolik velká, že v dobrém přiblížení lze pokládat osu symetrie setrvačníku za osu otáčení v tělese pevnou, i když na setrvačník působí nepříliš velký moment vnějších sil.

Na obr.76 je znázorněn těžký symetrický setrvačník s podepřeným bodem na ose symetrie setrvačníku. Pro rychle se otáčející setrvačník můžeme moment tíhových sil působící na těleso pokládat za nepříliš velký moment vnějších sil. Potom dle učiněných předpokladů moment hybnosti a úhlová rychlost otáčení mají směr osy symetrie setrvačníku, kterou jako třetí osu soustavy souřadnic spjaté se setrvačníkem značíme . Dle druhé věty impulsové (5,49) je

rovnice (5,49). (5,49)

Jak jsme ukázali v čl. 5.7, silové působení na těleso v tíhovém poli lze vystihnout tíhou tělesa umístěnou v jeho hmotném středu S. Výsledný moment vnějších sil působících na těleso je tedy

rovnice (6,98). (6,98)

V rovnici (6,98) je označen polohový vektor hmotného středu setrvačníku. Počátek soustavy souřadné pevné v prostoru i soustavy souřadné pevné v tělese pokládáme do pevného bodu setrvačníku O. Dosadíme-li za ze (6,98) do (5,49) , dostáváme

rovnice (6,99). (6,99)

Dle rovnice (6,99) je kolmé k a k . Uvážíme-li, že je rovnoběžné s , je jeho časová změna kolmá též k celkovému momentu hybnosti setrvačníku. Jak jsme již uvažovali v rovnici (6,91) i zde časová změna je kolmá k , a tedy velikost B momentu hybnosti zůstává zachována, s časem se mění pouze směr vektoru . Má-li být kolmé k a také k , musí se pohybovat po plášti kužele naznačeného na obr.76. Vzájemný vztah vektoru a je stejného druhu jako vzájemný vztah vektoru a při otáčení hmotného bodu kolem osy. Při otáčení kolem osy jsme vztah vektoru rychlosti a polohového vektoru hmotného bodu vyjádřili dle (5,13) (viz též obr.40) jako

rovnice (5,13). (5,13)

V rovnici (5,13) je vektor úhlové rychlosti otáčení hmotného bodu, tj. vektor ve směru osy, kolem které se hmotný bod otáčí (pozor na formální shodu s označením vektoru okamžité rychlosti otáčení setrvačníku). Analogicky k rovnici (5,13) můžeme pro rychlost změny vektoru psát vyjádření

rovnice (6,100), (6,100)

kde je vektor ve směru svislé osy naznačené na obr.76. Velikost vektoru je rovna úhlové rychlosti otáčení koncového bodu vektoru , a tedy i celého vektoru vůči ose . Porovnáním rovnic (6,99) a (6,100) dostáváme

rovnice (6,101). (6,101)

Vektory a jsou souhlasně a vektory a nesouhlasně rovnoběžné (viz obr.77). Rovnají-li se vektory na obou stranách rovnice (6,101) , rovnají se i jejich velikosti, tedy

rovnice .

Uvědomíme-li si (viz obr.77), že , potom a z poslední rovnice plyne vyjádření pro velikost vektoru ,

rovnice (6,102). (6,102)

Vektor se otáčí kolem svislé osy úhlovou rychlostí danou rovnicí (6,102) . Dle předpokladu o stabilitě rotace je vektor rovnoběžný s osou symetrie setrvačníku. V uvažovaném přiblížení můžeme nyní popsat pohyb těžkého symetrického setrvačníku, jehož v prostoru pevný bod O leží na ose symetrie setrvačníku:

Osa symetrie setrvačníku se otáčí kolem svislé přímky proložené pevným bodem setrvačníku úhlovou rychlostí o velikosti

rovnice (6,103). (6,103)

Úhlovou rychlost nazýváme precesní rychlostí. Jednotlivé polohy osy symetrie setrvačníku vytvářejí plášť kužele s vrcholem v pevném bodě setrvačníku a svislou osou (viz obr.76). V rovnici (6,103) je vzdálenost hmotného středu setrvačníku od pevného bodu O, M hmotnost setrvačníku, g velikost tíhového zrychlení, moment setrvačnosti vůči ose symetrie setrvačníku a velikost úhlové rychlosti otáčení setrvačníku kolem jeho osy symetrie.

V rovnici (6,103) jsme B z rovnice (6,102) nahradili výrazem , neboť předpokládáme, že je rovnoběžné s a má směr osy .

Rovnice (6,103) udává rychlost precese těžkého setrvačníku v prostoru. Vidíme, že pro daný setrvačník a způsob upevnění je precesní rychlost nepřímo úměrná rychlosti otáčení setrvačníku kolem své osy. Začne-li se setrvačník brzdit, klesá a rychlost precese stoupá. Při větším zbrzdění nemůžeme již pokládat osu otáčení setrvačníku za osu pevnou v tělese, předpoklady učiněné při právě provedeném odvození precesního pohybu přestanou platit, setrvačník se začne pohybovat složitějším pohybem, při kterém jeho osa začne periodicky měnit svou výšku v tíhovém poli a nakonec setrvačník spadne.

Naznačíme, jak se liší přesné řešení pohybu těžkého symetrického setrvačníku od výše uvažovaného přibližného řešení. Ve stati 6.5.3 při rozboru stability rotace jsme ukázali, že působením momentu síly na osu otáčení setrvačníku se poloha osy otáčení v setrvačníku změní. Začne-li na symetrický setrvačník roztočený kolem své osy symetrie působit moment síly, např. moment (6,98) tíhy setrvačníku , osa otáčení přestane mít směr osy symetrie setrvačníku. Směr osy symetrie setrvačníku se odchýlí od směru momentu hybnosti a od směru vektoru okamžité úhlové rychlosti otáčení setrvačníku. Osa symetrie setrvačníku se začne otáčet kolem směru momentu hybnosti způsobem popsaným v minulém článku při výkladu regulární precese volného setrvačníku. Precesní pohyb osy kolem směru bývá označován jako nutace osy setrvačníku. Celkový pohyb osy symetrie setrvačníku vznikne spojením nutace kolem směru a precese momentu hybnosti po kuželi naznačeném na obr.76. Myslíme-li si na ose setrvačníku bod různý od pevného bodu setrvačníku, kreslí tento bod na kulové ploše křivku analogickou cykloidě (viz obrázky v [11], [12], [14]). Pohyb těžkého setrvačníku, který se nutací osy setrvačníku liší od čisté precese, se nazývá pseudoregulární precese.

Za předpokladů učiněných na začátku tohoto článku rychlá rotace a setrvačník odpovídající hovorovému pojmu setrvačník ( ) je odchýlení osy otáčení setrvačníku od osy symetrie setrvačníku způsobené momentem tíhových sil malé. Nutaci osy setrvačníku lze pak zanedbat, pohyb těžkého symetrického můžeme pokládat za čistou precesi. Za míru pro posouzení, jak velkou odchylku od čisté precese způsobí moment tíhových sil (6,98) ,

může přibližně sloužit poměr kinetické energie setrvačníku a potenciální energie setrvačníku v tíhovém poli.

Položíme-li nulovou hladinu potenciální energie do pevného bodu O setrvačníku, je dle obr.77 potenciální energie setrvačníku . Kinetickou energii setrvačníku lze v dobrém přiblížení (viz (6,68) ) vyjádřit jako . Mějme setrvačník válcového tvaru, jehož rozměry jsou znázorněny na obr.78 a který má hmotnost . Moment setrvačnosti vůči ose symetrie

rovnice .

Předpokládáme-li, že velikost úhlové rychlosti otáčení setrvačníku , je kinetická energie setrvačníku . Uvažujeme-li největší hodnotu potenciální energie setrvačníku, tedy případ, kdy , dostaneme . Kinetická energie i při ne příliš rychlé rotaci je podstatně větší než potenciální energie .

Poměr kinetické energie a potenciální energie určuje též poměr precesní rychlosti těžkého setrvačníku a jeho rychlosti vlastní rotace . Vydělíme-li rovnici (6,103) hodnotou , dostáváme

rovnice (6,104). (6,104)

V čitateli na pravé straně rovnice (6,104) je hodnota, kterou jsme brali jako míru potenciální energie setrvačníku a ve jmenovateli je dvojnásobná hodnota kinetické energie setrvačníku. Kinetická energie musí být podstatně vyšší než potenciální energie , abychom pohyb těžkého symetrického setrvačníku mohli pokládat za čistou precesi. Z rovnice (6,104) plyne, že pro je

rovnice (6,105). (6,105)

Precese těžkého symetrického setrvačníku, pro který , je přibližné vyjádření pohybu, který setrvačník koná, je-li rychle roztočen kolem své osy symetrie . Přitom dle (6,105) je rychlost w vlastní rotace setrvačníku podstatně větší než precesní rychlost . Regulární precese volného symetrického setrvačníku popsaná v minulém článku je pohybem, který volný symetrický setrvačník koná, je-li roztočen libovolnou úhlovou rychlostí kolem některé své osy, která není hlavní osou setrvačnosti. Přitom žádná nerovnost typu (6,105) neplatí, úhlová rychlost rotace kolem osy symetrie volného setrvačníku často bývá i menší než precesní úhlová rychlost , jak plyne z rovnice (6,89) .

6.6.1 Gyroskopický efekt

Zdůrazníme charakteristický rys pohybu setrvačníků, o kterém jsme se již zmínili při vyšetřování stability rotace kolem hlavních os (viz obr.75) a při rozboru rovnice (6,99) . Mějme symetrický setrvačník, jehož moment setrvačnosti vůči ose symetrie je větší než druhý hlavní moment setrvačnosti , tedy hovorový setrvačník . Roztočíme jej rychle kolem osy symetrie a začneme na něj působit dvojicí sil , které jsou kolmé k ose symetrie setrvačníku. Moment sil je kolmý ke směru sil . Dle rovnice (5,49) a tedy změna celkového momentu hybnosti je kolmá ke směru působících sil. Jelikož předpokládáme stabilitu rotace kolem osy symetrie setrvačníku, zůstávají i při působení sil vektor , vektor úhlové rychlosti otáčení setrvačníku a směr osy symetrie setrvačníku rovnoběžné. Kolmá ke směru sil je tedy nejen změna vektoru , ale i změna vektoru a změna směru osy symetrie setrvačníku v prostoru.

Pohyb setrvačníku vyvolaný dvojicí sil , je znázorněn na obr.79. Písmenem o je označena osa, kolem které se osa symetrie setrvačníku začne otáčet, symbolem je znázor-něn jednotkový vektor ve směru osy symetrie setrvačníku. Uvedené skutečnosti jsou zákla-dem podivného chování setrvačníků. Zač-neme-li převracet setrvačník, např. rychle se otáčející kolo, které držíme za jeho osu (mezi osou a kolem jsou ložiska), necítíme odpor proti směru našeho silového působení, ale osa kola se nám snaží vyklouznout kolmo na směr, ve kterém na ni rukama působíme.

Uvažovaný efekt, říká se mu gyroskopický ( setrvačník v technických oborech bývá nazýván gyroskopem), je třeba brát v úvahu při konstrukcích strojů, v kterých jsou velké, rychle se otáčející součásti. Když je např. v letadle uložena rychle rotující součást s velkým momentem setrvačnosti s osou rotace ve směru podélné osy letadla, dochází při zatáčení letadla k zvedání nebo klesání jeho špičky podle vzájemného poměru smyslu rotace a směru zatáčky. Obdobné problémy mohou nastat i při konstrukci lodí a automobilů.

Na gyroskopickém efektu je založen i přístroj zvaný gyrokompas, kterým bývá nahrazován klasický magnetický kompas, a jemu příbuzný gyroteodolit. U těchto přístrojů gyroskopický efekt na setrvačník s velkým momentem hybnosti (velmi rychle se otáčející) vyvolá rotace Země. Slabý moment sil, kterým Země působí vůči inerciální soustavě na osu setrvačníku, stačí vyvolat gyroskopický efekt, který se projevuje snahou ztotožnit osu rotujícího setrvačníku se severojižním směrem. Gyrokompasy a gyroteodolity lze zkonstruovat tak, že jejich přesnost v určení absolutního směru na Zemi vysoce předčí klasické kompasy a buzoly.

Stabilita rotace setrvačníku kolem jeho osy symetrie bývá technicky využívána. Rychle roztočený setrvačník poháněný elektromotorem slouží jako přístroj zvaný umělý horizont k určení polohy letadla při létání za ztížené viditelnosti. Stabilita rotujících kol, ale též výše zmíněný gyroskopický efekt, umožňují jízdu na kole a na motocyklu. Střely se roztáčejí v hlavních zbraní, aby po dobu letu lépe zachovávaly směr své osy v prostoru. Do osobních námořních lodí se montují velké setrvačníky, aby udržovaly polohu lodí při vlnobití a chránily cestující před mořskou nemocí. Některé další aplikace setrvačníků spolu s podrobnějším výkladem jejich činnosti lze nalézt např. v .

Předchozí kapitola Předchozí podkapitola Obsah kapitoly Příklady Průvodce Následující podkapitola Následující kapitola