---

---

4.8 Skládání kmitů

Rovnici (4,122) pro vynucený harmonický kmit napíšeme v poněkud pozměněné a obecnější formě

.

(4,192)

Na pravé straně rovnice (4,192) je obecná funkce udávající časový průběh síly a konstanty h a k mají obvyklý význam daný rovnicemi (4,68) a (4,69) . Je-li funkce řešením rovnice (4,192) pro zadanou sílu a funkce řešením téže rovnice pro sílu , je funkce řešením rovnice (4,192) pro zadanou sílu . Sečteme-li rovnice

a

,

vyjadřující, že a jsou pro a řešením rovnice (4,192) , dostaneme

,

a tím je dokázáno shora vyslovené tvrzení. Říkáme, že pro pohyb hmotného bodu, který je popsán rovnicí (4,192) , platí princip superpozice. Princip superpozice je těsně svázán s linearitou rovnice (4,192) . Nahradíme-li v ní např. člen kx členem ,tedy uvažujeme-li rovnici

,

(4,193)

lze se snadno přesvědčit, že princip superpozice neplatí. Je-li funkce řešením rovnice (4,193) pro sílu a funkce řešením téže rovnice pro sílu , není funkce řešením rovnice (4,193) pro sílu .

Principy superpozice jsou často užívány v různých oblastech fyziky a vždy úzce souvisejí s linearitou sledovaných problémů. Obecně lze jejich obsah vyslovit tak, že dva podněty při společném působení vyvolávají reakci rovnou součtu reakcí, jaké by podněty dávaly při samostatném působení. První podnět nesmí systém dostat do stavu, kdy na další podněty reaguje jinak než v neporušeném stavu. Poslední tvrzení je vyjádřením lineární odezvy systému na podnět ; velikost přírůstku lineární funkce odpovídající stejnému přírůstku nezávisle proměnné je stejná pro všechny hodnoty této funkce. V reálných systémech je linearita splněna jen v určitých oborech velikostí podnětů a princip superpozice platí jen v těchto oborech. Příkladem může být nastupování cestujících do autobusu. Je-li např. autobus určen pro 50 cestujících, první až asi sedmdesátý cestující nastupují stejným způsobem. Linearita a princip superpozice jsou splněny. Když se však snaží do autobusu dostat např. devadesátý cestující, způsob nastupování je již zcela jiný, linearita ani superpozice není splněna..

4.8.1 Skládání kmitů stejného směru

Platí-li pro rovnici (4,192) princip superpozice, je snadné dokázat, že platí i pro rovnici (4,122) . Řešením rovnice (4,122) v ustáleném případě jsou harmonické kmity. Působí-li na hmotný bod dvě různé vynucující síly

,

které samostatně vyvolávají v ustáleném případě harmonické kmity

,

jejich společným působením vznikne dle principu superpozice pohyb daný rovnicí

.

(4,194)

Funkce daná rovnicí (4,194) vznikne sečtením dvou kmitů probíhajících podél jedné přímky. Říkáme, že rovnice (4,194) popisuje skládání dvou kmitů stejného směru. S úlohou skládat kmity se nesetkáváme jenom při vyšetřování pohybu hmotného bodu, ale též, když skládáme elektrické kmity, když vyšetřujeme interferenci vlnění v jednom místě prostoru a v řadě dalších případů. I na tyto případy lze aplikovat, ověříme-li platnost příslušných superpozičních principů, výsledky, které dále odvodíme pro skládání kmitů hmotného bodu.

Určíme tvar funkce dané rovnicí (4,194) pro dva speciální případy. Nejprve složíme dva kmity

,

které mají stejnou frekvenci , různou amplitudu a různou fázi (pro fázové konstanty platí nerovnost ). Dostáváme

,

a tedy dle vztahů (1,30)

,

kde

(4,195)

a

.

(4,196)

Složením dvou kmitů stejné frekvence vznikne kmit téže frekvence, jehož amplituda je dána rovnicí (4,195) a fázová konstanta rovnicí (4,196) . Je-li , má výsledný kmit amplitudu rovnu součtu amplitud výchozích kmitů a fázovou konstantu , jak plyne v tomto speciálním případě z rovnic (4,195) a (4,196) . Nulovou hodnotu amplituda A daná rovnicí (4,195) bude mít pouze, když , tedy když , kde k je celé číslo, a . Skládají-li se dva kmity stejné amplitudy s rozdílem fázových konstant a rovným např. , žádná výchylka nenastane, kmity se vzájemně ruší.

Jako druhý vyšetříme případ skládání dvou kmitů, které nemají stejnou frekvenci. Obecný případ daný rovnicí (4,194) zjednodušíme předpokladem o rovnosti amplitud obou kmitů . Potom a použijeme-li vzorec pro součet dvou sinů různých úhlů

,

dostáváme

.

(4,197)

Liší-li se značně a , je výraz (4,197) nepřehledný. Jsou-li však frekvence kmitů a blízké (budeme předpokládat ), je frekvence podstatně nižší než frekvence . Na výraz (4,197) lze pak pohlížet jako na harmonický kmit

(4,198)

o frekvenci , kde místo amplitudy je časově proměnná funkce

.

(4,199)

Frekvence je střední frekvence kmitů a , jejichž složením pohyb (4,198) vznikl a . Funkce da-ná rovnicí (4,199) je harmonickou funkcí o frekvenci rovné poloviční hodnotě rozdílu frekvencí a kmitů a . Na obr.32 jsou znázorněny původní kmity a a výsledná funkce . Obálku tvoří funkce a . Pokládáme-li, jak již bylo výše řečeno, funkci přibližně za kmit s proměnnou amplitudou, můžeme vyslovit závěr. Složením dvou kmitů blízké frekvence vznikne kmit střední frekvence, jehož amplituda se mění s rozdílovou frekvencí

(4,200)

obou původních kmitů. Funkce na rozdíl od skutečné amplitudy může být kladná i záporná. Maximální amplituda kmitu x daného rovnicí (4,198) nastane v okolí (časovém) jak největší kladné tak i záporné hodnoty funkce (4,199) . Frekvence změny amplitudy kmitu (4,198) je tedy a ne , jak by naznačoval zběžný pohled na rovnici (4,198) (viz též obr.32). Říkáme, že složením dvou kmitů blízké frekvence vznikají rázy o frekvenci rázů dané rovnicí (4,200) . Pro lineární frekvenci

,

(4,201)

kde a jsou lineární frekvence kmitů a .

Vznik rázů lze pozorovat např. při současném znění dvou blízkých akustických tónů. Čím bližší tóny, tím je frekvence rázů nižší. Při rovnosti frekvencí obou tónů rázy vymizí. Tohoto jevu se užívá při ladění hudebních nástrojů. Obdobně lze sledovat frekvence dvou generátorů střídavých elektrických napětí. Přivedeme-li např. napětí ze dvou generátorů přibližně stejné frekvence na svislé vychylující destičky osciloskopu, získáme na obrazovce obraz odpovídající funkci znázorněné na obr.32. Při slaďování frekvence se prodlužují vzdálenosti mezi uzlovými body obálky funkce . Dalším slaďováním dochází na obrazovce již pouze k pomalému pulzování amplitudy kmitů o frekvenci a úplné sladění by se projevilo klidným obrazem kmitů o frekvenci .

4.8.2 Skládání vzájemně kolmých kmitů

Když jsme ukázali, jak lze skládat kmity působící podél jedné přímky, přistoupíme nyní ke skládání kmitů vzájemně kolmých. Koná-li hmotný bod ve směru  x -ové osy kartézské soustavy souřadnic kmit

(4,202)

a ve směru y-ové osy kmit

,

(4,203)

jsou rovnice (4,202) a (4,203) parametrickými rovnicemi pohybu hmotného bodu, je-li splněn princip superpozice. Princip superpozice v tomto případě musí zabezpečit, aby pohyby hmotného bodu ve směru osy x podél úseček , byly stejné pro všechna C z intervalu , tj. aby pohyb podél všech těchto úseček mohl být popsán stejnou rovnicí kmitu (4,202) . Obdobná podmínka musí být splněna i pro pohyb ve směru osy y v pásmu . Je-li splněn princip superpozice, úloha najít kmit daný složením kmitů (4,202) a (4,203) se redukuje na úlohu stanovit dráhu parametricky zadaného pohybu, tj. úlohu, která se řešila v 1. kapitole. Aby nedošlo k záměně se skládáním dvou rovnoběžných kmitů a , které bylo probráno v minulé stati, budeme v této stati značit kartézské souřadnice v rovině x a y namísto v kapitole 1 užívaného označení .

Nejprve složíme dva kmity stejné frekvence

(4,204)

neboli

.

Právě napsané rovnice lze pokládat za dvě rovnice pro neznámé funkce a . Jejich řešením dostaneme

.

(4,205)

Je-li , což nastane pro , kde k je celé číslo, dostáváme přímo z rovnic (4,204)

(4,206)

pro nebo k sudé a

,

(4,207)

když k je liché číslo. Rovnice (4,206) a (4,207) jsou rovnicemi úseček, neboť x se v nich mění pouze v intervalu .

Pro ostatní hodnoty rozdílu získáme křivku složených kmitů, umocníme-li  rovnice (4,205) na druhou a sečteme je. Po úpravě dostaneme

.

(4,208)

Rovnice (4,208) je rovnicí kuželosečky a jelikož z rovnice (4,204) je zřejmé, že hodnoty x a y jsou omezené, jedná se o rovnici elipsy. Vynásobíme-li konstantu  stojící u x² v rovnici (4,208) konstantou u y² a od součinu odečteme čtverec poloviční hodnoty konstanty u xy, dostaneme

.

(4,209)

Výraz (4,209) je s výjimkou již dříve vyloučeného případu kladný a jeho kladná hodnota je dalším důkazem (viz např. , kap.5), že rovnice (4,208) je rovnicí elipsy.

Elipsa daná rovnicí (4,208) je obsa-žena v obdélníku , , ale její osy neleží v souřadnicových osách (viz obr.33). Nalezneme kartézskou soustavu souřadnic , v které osy elipsy leží v souřadnicových osách . Transformační rovnice mezi soustavami a jsou (srov. rovnici (2,17) )

a inverzní transformace

,

(4,210)

kde je úhel mezi kladnými směry os x a . Počátek obou souřadnicových soustav je společný.

Když do rovnic (4,208) dosadíme za x a y dle (4,210) , dostaneme

a po úpravě

.

(4,211)

V soustavě souřadnic, v níž osy elipsy jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami, musí být možno napsat rovnici elipsy v tvaru

.

(4,212)

Aby rovnici (4,211) bylo možno převést na tvar (4,212) , je nutné a stačí, aby koeficient u byl roven nule, tedy

neboli

.

Z poslední rovnice plyne podmínka pro hledaný úhel natočení hlavní osy elipsy k ose x původní soustavy souřadnic (viz obr.33)

.

(4,213)

Je-li úhel dán rovnicí (4,213) , velikost poloos elipsy a a b lze určit, když v rovnici (4,211) položíme členy u a vydělené výrazem rovny a .

Složením dvou vzájemně kolmých kmitů téže frekvence vznikne elipsa s výjimkou degenerovaných případů (4,206) a (4,207) . Úhel natočení os elipsy vzhledem ke směru původních kmitů závisí, jak plyne z rovnice (4,213) , na amplitudách a fázovém posunutí kmitů. Výsledek složení vzájemně kolmých kmitů při konstantních hodnotách amplitud a je pro několik hodnot rozdílu fázových konstant znázorněn na obr.34. V obecném případě, kdy frekvence a kmitů (4,202) a (4,203) nejsou stejné, vznikne jejich slože-ním křivka omezená na obdélník SETEQS2('knihI44do_soubory/eq0144M.gif','knihI44do_soubory/eq0145M.gif','',',
','.','1.13','.34');

Jsou-li frekvence a v poměru malých celých čísel m a n

,

(4,214)

vzniknou uzavřené křivky, které mají pro jednotlivé hodnoty poměru (4,214) charakteristický tvar. Tyto křivky nazýváme Lissajousovými obrazci. Na obr.35 jsou nakresleny Lissajousovy obrazce pro hodnoty poměru (4,214) a . Pro každý poměr je uvažováno několik hodnot rozdílu fázových konstant . Všimněme si, že poměr počtu míst, v kterých se na vzájemně kolmých stranách Lissajousův obrazec dotýká opsaného obdélníka, odpovídá poměru (4,214) .

---

---