Vypočteme nejprve celkovou mechanickou energii
hmotného bodu o hmotnosti m,
který koná harmonický kmit
(1,25)
, tj. pro který výchylka
![]() |
(1,25) |
Uvážíme-li, že rychlost pohybu
(1,25)
je
, dostáváme pro kinetickou energii
hmotného bodu
![]() |
(4,164) |
Síla F působící harmonický pohyb
(1,25)
je rovna
, kde dle
(1,33)
, tedy
![]() |
(4,165) |
V druhé části rovnice
(4,165)
jsme ve shodě s rovnicí
(2,12)
položili
. Použijeme-li rovnici
(3,13)
k výpočtu potenciální energie hmotného bodu
v místě x silového pole
(4,165)
, dostáváme
![]() |
Integrační proměnnou jsme označili
, aby nedošlo k záměně s výchylkou x
hmotného bodu. Položíme-li
pro
, dostáváme
, odkud plyne
, a tedy
![]() |
(4,166) |
Výsledek
(4,166)
lze též získat rychleji, položíme-li bod,
vůči kterému potenciální energii počítáme do rovnovážné polohy
kmitu
(1,25)
a potenciální energii
v tomto bodě pokládáme za nulovou. Potom přímo
![]() |
(4,166) |
Na obr.29 je znázorněna funkce
(4,166)
, tj. závislost potenciální energie příslušné silovému poli
(4,165)
,
v kterém hmotný bod koná harmonický kmit. Závislost je kvadratická,
grafické znázornění je parabola s vrcholem v bodě
,
. Dosadíme-li do
(4,166)
za
z
(1,25)
,
![]() |
(4,167) |
Uvědomíme-li si, že
a dosadí-me
dle
(4,164)
, dostáváme pro celkovou mechanickou energii
hmotného bodu konajícího harmonický kmit vyjádření
![]() |
Tedy
![]() |
(4,168) |
Pohybuje-li se hmotný bod o známé hmotnosti m
v silovém poli
(4,165)
se zadanou konstantou k,
je rovnicí
(2,12)
určena frekvence
jeho kmitu. Amplituda A
kmitu je dána celkovou mechanickou energií
hmotného bodu. (V případě, že by byla zvolena nenulová potenciální energie
v rovnovážné poloze kmitu, amplituda by byla určena rozdílem energií
.)
Udáním potenciální energie silového pole a celkové mechanické energie hmotného
bodu je určen harmonický kmit hmotného bodu až na fázovou konstantu
, která těmito údaji určena není. Na obr.29 je znázorněna celková mechanická energie
a jí odpovídající amplituda kmitů A.
V okamžiku, kdy je celková energie
rovna potenciální energii
, je kinetická energie, a tím i rychlost hmotného bodu nulová a hmotný bod
zaujímá svou maximální výchylku amplitudu A.
Z výrazu (4,168) je zřejmé, že celková mechanická energie harmonického kmitu je konstantní na čase nezávislá veličina. Takovýto závěr nelze vyslovit pro celkovou mechanickou energii tlumeného harmonického kmitu
![]() |
(4,103) |
Vypočteme úbytek celkové mechanické energie
hmotného bodu o hmotnosti m
konajícího pohyb
(4,103)
za dobu kmitu T.
Průchody hmotného bodu rovnovážnou polohou, které při vyjádření kmitu rovnicí
(4,103)
nastávají vždy, když
, následují po sobě v časových intervalech
. Srovnáme energii hmotného bodu ve dvou za čas T
po sobě následujících průchodech rovnovážnou polohou. Potenciální
energie v rovnovážné poloze je vždy stejná (zpravidla ji pokládáme za
nulovou) a rozdíl
je dán rozdílem kinetických energií
hmotného bodu v obou uvažovaných
průchodech rovnovážnou polohou
![]() |
(4,169) |
Rychlost tlumeného harmonického kmitu je dána výrazem
![]() |
(4,104) |
V rovnovážné poloze je
, a tedy dle
(4,103)
. Potom ovšem
a rychlost v rovnovážné poloze dle
(4,104)
je dána jednoduchým výrazem
![]() |
(4,170) |
a pro
dostáváme vyjádření
![]() |
(4,171) |
V rovnici
(4,171)
je
rychlost při prvním průchodu rovnovážnou
polohou v čase
a
rychlost při druhém průchodu v čase
; při vyjádření
(4,171)
pokládáme
za kladnou veličinu. Použijeme-li
přibližného vyjádření (první dva členy Taylorova rozvoje)
![]() |
(4,172) |
které platí pro malé hodnoty
, k úpravě pravé strany rovnice
(4,171)
a výsledek dosadíme do rovnice
(4,169)
, můžeme pro úbytek mechanické energie hmotného bodu během jednoho kmitu
psát vyjádření
![]() |
(4,173) |
Tento úbytek závisí na čase
, kdy jej uvažujeme. Dle rovnice
(3,11)
přírůstek kinetické energie hmotného bodu
je roven práci vnějších sil působících na
hmotný bod. V uvažovaném případě práce elastické síly
(4,68)
během jednoho cyklu je nulová, a proto
přírůstek kinetické energie musí být roven práci odporující disipativní síly
(4,69)
, tedy
![]() |
(4,174) |
O tom, že integrál
dává výraz
(4,171)
se lze přesvědčit přímým výpočtem.
Pro charakteristiku kmitajících systémů, v kterých
dochází k rozptylu (disipaci) energie, se užívá činitel jakosti Q,
který se zavádí jako
násobek poměru průměrné energie
kmitu k energii
rozptýlené při tomto kmitu, tedy
![]() |
(4,175) |
Vypočteme přibližné vyjádření činitele jakosti Q
pro tlumený harmonický kmit. Za průměrnou energii
položíme hodnotu odpovídající výrazu
(4,168)
, kam za amplitudu kmitu v čase
dosadíme dle
(4,103)
výraz
, tedy
![]() |
(4,176) |
Pro
(zde a dále v tomto článku vynecháme
index M u celkové mechanické energie; tedy
) použijeme přibližné vyjádření
(4,173)
. Potom
![]() |
a dosadíme-li dle
(4,105)
, dostáváme pro činitel jakosti přibližné vyjádření
![]() |
(4,177) |
platné pro slabě tlumené kmity.
Vypočteme energii rozptýlenou během jednoho cyklu u vynuceného harmonického kmitu
![]() |
(4,130) |
v ustáleném stavu. V případě ustálených vynucených
harmonických kmitů je energie rozptýlená vlivem odporující disipativní síly
(4,69)
doplněna prací vykonanou na hmotný bod vynucující silou
(4,121)
. Celková energie hmotného bodu konajícího kmit
(4,130)
zůstává tak zachována.
Energii
rozptýlenou během jednoho kmitu vypočteme jednak jako záporně vzatou práci vykonanou silou
, tedy dle rovnice
(4,174)
,
![]() |
(4,178) |
jednak jako práci vykonanou na hmotný bod během jednoho cyklu silou
, tj.
![]() |
(4,179) |
Derivace kmitu
(4,130)
je
a jelikož
(viz text k rovnici
(4,71)
), dostáváme
z rovnice
(4,178)
![]() |
a protože
, je
![]() |
(4,180) |
Průměrný výkon
rozptylující síly
je, uvědomíme-li si, že výraz
jsme počítali pro záporně vzatou sílu
,
![]() |
(4,181) |
Vypočteme-li
z rovnice
(4,179)
, dostáváme
![]() |
Protože
a
, je
![]() |
(4,182) |
Jelikož
(viz obr.27) a ostatní veličiny v
(4,182)
jsou kladné, je
dané rovnicí
(4,182)
nezáporné. Pro průměrný výkon
vynucující síly dostáváme z
(4,182)
![]() |
(4,183) |
Použijeme-li trigonometrického vztahu
a pro
vyjádření
(4,127)
, je
![]() |
(4,184) |
a vyjádříme-li amplitudu kmitu A
dle
(4,128)
, můžeme po dosazení do
(4,183)
pro
napsat
![]() |
(4,185) |
Dosadíme-li stejné vyjádření
(4,128)
amplitudy kmitu A
do výrazu
(4,181)
pro výkon
dostáváme
![]() |
(4,186) |
Tedy, jak jsme již výše kvalitativně
naznačili, výkon vynucující síly
a odporující síly
je stejně velký ale opačného znaménka.
Vyšetříme závislost výkonu
na frekvenci kmitů W. Přihlédneme-li k rovnici
a porovnáme výraz
(4,181)
s výrazem
(4,168)
pro energii kmitů
, vidíme, že tvar závislosti
a
bude stejný. Funkce
daná rovnicí
(4,185)
je nulová pro
a pro
. Položíme-li derivaci funkce rovnu nule, zjistíme, že další extrém nastane pro
. Vzhledem k tomu, že funkce
(4,185)
je vždy kladná, je tento extrém maximem. Pro
nastane maximum funkce
, a tedy též maximum funkce
. Funkce
, jelikož
, má pro
minimum. Křivky
a
pro
,
,
a
jsou znázorněny na obr.30. Nazývají se
rezonančními křivkami absorbovaného výkonu a energie. Rezonance celkové
mechanické energie kmitajícího hmot-ného bodu a absorbovaného výkonu nastává
nezávisle na velikosti tlumení přesně, když
![]() |
(4,187) |
na rozdíl od rezonance výchylky, která nastává při
![]() |
(4,135) |
Činitel jakosti kmitajícího systému, který koná vynucený
harmonický kmit, nelze počítat dle vztahu
(4,175)
při libovolné frekvenci.
Výsledek, který jakožto cha-rakteristika kmitajícího systému má být shodný s
(4,177)
, dostaneme pouze, když frekvence vynuceného kmitu je shodná
s vlastní frekvencí
systému, tedy při rezonanci energie
(4,187)
.
Dosadíme-li dle
(4,168)
za průměrnou energii kmitu
(4,130)
![]() |
a za energii rozptýlenou během jednoho kmitu výraz (4,180) , výraz (4,175) pro zavedení činitele jakosti dává
![]() |
Zkrátíme-li poslední výraz a dosadíme za dobu kmitu T
při rezonanci výraz
, dostaneme pro činitel jakosti vyjádření
![]() |
(4,188) |
Dostali jsme tak rovnici (4,177) jako přesnou rovnici, odvozenou bez jakýchkoli zanedbání. U vynucených kmitů je energie rozptýlená během jednoho cyklu hned doplněna vnější vynucující silou, hmotný bod koná čistý harmonický kmit a výpočet Q je formálně jednodušší než u tlumených kmitů.
Celkovou energii E kmitu při rezonanci můžeme dle (4,175) psát jako
![]() |
(4,189) |
uvědomíme-li si, že u vynucených kmitů
. Celková energie E kmitu je dle
(4,189)
při velké hodnotě Q,
která je u řady kmitajících systémů běžná, podstatně větší než energie
dodávaná kmitu během jednoho cyklu. Velkou
celkovou energii získá kmit postupně v přechodové době, kdy kmitání se
dostává do ustáleného stavu. Možnost udržovat vysokou energii E
systému kmitajícího v rezonanci malou dodávanou energií
je často technicky využívána. Provedená úvaha nám objasňuje, proč veličina Q
se nazývá činitelem jakosti kmitajícího systému.
Kmitající systém se stejnou vlastní frekvencí
a menším tlumením má užší rezonanční křivku
a vyšší činitel jakosti. Ukážeme, jaký vztah platí mezi šířkou rezonanční
křivky absorbovaného výkonu
(obr.30) v její poloviční výšce a činitelem jakosti Q. Při rezonanci, když
, je dle
(4,185)
![]() |
Poloviční hodnoty nabude funkce
pro frekvence
splňující podmínku
![]() |
kterou můžeme dále upravovat
![]() |
![]() |
![]() |
Užijeme přibližného vyjádření
platného pro nepříliš široké rezonanční
křivky a
označíme
. Poslední rovnici potom můžeme přepsat na tvar
![]() |
neboli
![]() |
a pro činitel jakosti daný rovnicí (4,188) potom dostáváme
![]() |
(4,190) |
Výraz
je šířka rezonanční křivky
v její poloviční výšce, jak je znázorněno na obr.31. Na témž obrázku jsou také naznačeny obě frekvence
a
, pro které je splněna rovnice
. Známe-li šířku rezonanční křivky
v poloviční výšce, lze dle rovnice
(4,190)
přímo stanovit činitel jakosti kmitajícího systému a zřejmě platí výše
zmíněná nepřímá úměrnost mezi šířkou rezonanční křivky a činitelem jakosti.
Povšimneme si ještě jednoho významu činitele jakosti Q.
Udává poměr amplitudy
vynuceného harmonického kmitu při rezonanci
energie (a tedy též absorbovaného výkonu), tj. amplitudy při frekvenci
, k statické výchylce (amplitudě)
dané rovnicí
(4,131)
. Pro amplitudu
dle
(4,128)
máme
a statická amplituda dle
(4,131)
, tedy
![]() |
(4,191) |