---

---

4.6 Vynucený harmonický kmit

Budeme nyní vyšetřovat případ, kdy na hmotný bod vázaný na přímku působí vedle elastické síly (4,68) a odporující síly (4,69) ještě další síla , jejíž časový průběh je dán harmonickou funkcí

.

(4,121)

Pohybová rovnice hmotného bodu o hmotnosti m je potom

,

což je lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a s nenulovou pravou stranou, kterou můžeme zapsat v tvaru

.

(4,122)

V rovnici (4,122) jsme stejně jako v rovnici (4,71) užili označení a . Podle výkladu z konce minulého článku je obecným řešením rovnice (4,122)

,

(4,123)

kde je řešení rovnice (4,122) bez pravé strany, tedy řešení rovnice (4,71) a je jedno řešení celé rovnice (4,122) .

Je-li na pravé straně rovnice (4,122) harmonická funkce s frekvencí , je řešení dáno harmonickou funkcí se stejnou frekvencí , jak ukážeme přímým výpočtem. Budeme předpokládat, že , kde

.

(4,124)

Dosadíme-li funkci spolu s její první a druhou derivaci do rovnice (4,122) , dostáváme rovnici

,

kterou, užijeme-li vzorce

,

můžeme po úpravě přepsat na tvar

(4,125)

Má-li funkce být řešením rovnice (4,122) pro všechna t, musí rovnice (4,125) být splněna pro všechna t. Jelikož funkce a jsou lineárně nezávislé, lze rovnici (4,125) splnit pro všechna t pouze tehdy, když se budou rovnat číselné koeficienty u a na obou stranách rovnice (4,125) . Tak dostáváme rovnice

.

(4,126)

Z druhé rovnice (4,126) dostáváme, předpokládáme-li , pro dosud neurčenou fázovou konstantu podmínku

.

(4,127)

Umocníme-li obě rovnice systému (4,126) na druhou a sečteme je, dostaneme po úpravě pro amplitudu A vyjádření

.

(4,128)

S hodnotami A, danými rovnicemi (4,128) a (4,127) lze splnit rovnice (4,126) , a tedy i rovnici (4,125) pro všechna t. Funkce s amplitudou A danou rovnicí (4,128) a fázovou konstantou určenou rovnicí (4,127) je tedy hledaným jedním řešením celé (tj. včetně pravé strany) rovnice (4,122) . Obecné řešení rovnice (4,122) dostaneme dosazením do jeho vyjádření (4,123)

.

(4,129)

Část řešení (4,129) , která je řešením rovnice (4,71) , jsme podrobně rozebrali v předcházejícím článku. Tam jsme ukázali, že tato část řešení konverguje k nule s rostoucím časem t (viz rovnici (4,83) ). Po dostatečně dlouhé době, neboli jak říkáme v ustáleném stavu, lze zanedbat vliv výrazu na řešení (4,129) a za řešení v ustáleném stavu pokládat pouze funkci

.

(4,130)

Zajímá-li nás pohyb hmotného bodu bezprostředně po aplikaci síly (4,121) , musíme znát jeho stav, tj. nejlépe jeho polohu a rychlost v okamžiku, kdy síla (4,121) bude aplikována. Z těchto počátečních podmínek můžeme pak určit konstanty a a získat obecné řešení (4,129) rovnice (4,122) . Najdeme-li takové řešení, které zřejmě pro přechází v řešení (4,130) , říkáme, že jsme nalezli řešení v přechodovém stavu. Dále se omezíme na vyšetřování pohybu hmotného bodu v ustáleném stavu.

4.6.1 Rezonance

Amplituda A (4,128) ustáleného řešení (4,130) rovnice (4,122) je přímo úměrná výrazu , tj. amplitudě S vynucující síly (4,121) připadající na jednotku hmotnosti pohybujícího se hmotného bodu. Budeme-li dále pokládat veličiny za konstanty, zjistíme, že amplituda A podstatným způsobem závisí na frekvenci W. Již zběžný pohled na rovnici (4,128) ukazuje, že při W blízkém , a při malé hodnotě útlumové konstanty veličina A může nabývat značných hodnot. Jev, kdy malá budící veličina způsobí velkou odezvu jiné veličiny, nazýváme rezonancí. Ve zde uvažovaném případě se jedná o rezonanci výchylky (4,130) způsobené budící silou (4,121) . Rozebereme závislost amplitudy A na frekvenci W danou rovnicí (4,128) podrobněji

.

(4,131)

Hodnota , ke které se blíží amplituda A pro malé hodnoty budicí frekvence W, je rovna výchylce hmotného bodu z rovnovážné polohy, když na něj působí síla S stálé velikosti a elastická síla (4,68) . Výrazu (4,131) budeme říkat statická výchylka. Extrém funkce nastane, když

.

(4,132)

Uvažujeme-li podle povahy veličiny pouze , je podmínka (4,132) splněna pro

,

(4,133)

(4,134)

.

(4,135)

Frekvencím a odpovídá extrémní hodnota vždy. Extrém funkce pro hodnotu nastane pouze tehdy, je-li hodnota reálná, tedy, je-li splněna podmínka

.

(4,136)

Hodnota je reálná i pro , ale v tom případě a splývá s .

Srovnáme velikosti a . Výraz pod odmocninou ve jmenovateli výrazu (4,128) je pro roven a v případě jej lze upravit následujícím způsobem

.

Je-li splněna podmínka (4,136) je a . Kladný jmenovatel výrazu je větší než jmenovatel výrazu , a tedy

.

(4,137)

Z rovnice (4,128) plyne

.

(4,138)

V případě , a tedy též dle (4,134) , plyne z rovnice (4,128) . Při malých hodnotách rezonanční amplituda značně převyšuje statickou výchylku (4,131) a v dobrém přiblížení platí často uvažovaný vztah, že rezonance nastává, když frekvence vynucující síly je rovna frekvenci (definice (4,99) ) vlastních kmitů soustavy, a tedy i frekvenci netlumených kmitů. Pro malá platí přibližné rovnice

,

a tedy

.

(4,139)

Při přesném výpočtu je si však nutno uvědomit, že dle (4,134)

,

(4,140)

tedy rezonanční frekvence je poněkud nižší než frekvence odpovídajících netlumených kmitů.

Po provedené analýze můžeme zakreslit funkci pro případ, kdy je splněna podmínka (4,136) , která je ostřejší než podmínka uvedená v minulém článku jako podmínka pro vznik tlumených kmitů. Křivka má tvar znázorněný pro dvě hodnoty tlumící konstanty na obr.26. Tyto křivky se nazývají rezonančními křivkami výchylky (amplitudy). Je-li splněna podmínka (4,136) , má funkce pro lokální minimum. Není-li splněna podmínka (4,136) , má funkce pro maximum, jak je znázorněno na obr.26 křivkou označenou ( ).

Budeme nyní sledovat, jak závisí fázová konstanta stanovená rovnicí

(4,103)

na frekvenci při konstant-ních hodnotách a . Pro plyne z rovnice (4,127) , a tedy , kde Přihlédneme-li k rovnicím (4,126) , z kterých byla rovnice (4,127) odvozena, zjistíme, že lichá n v rovnici musíme vypustit, protože první z rovnic (4,126) by pro ně přiřazovala kladnému S záporné A, což neodpovídá pojetí amplitudy jako kladné veličiny. Hodnota a sudé hodnoty n odpovídají fyzikálně stejnému případu , kdy výchylka

(4,130)

a síla

(4,121)

jsou ve fázi. V dalším se omezíme na případ , tedy pro , položíme

.

(4,141)

Pro frekvenci z oboru je dle (4,127) , a tedy vzhledem k volbě (4,141) fázová konstanta v intervalu . V tomto oboru leží, je-li splněna podmínka (4,136) i rezonanční frekvence , pro kterou dosazením (4,134) do (4,127) zjistíme, že , tedy

.

(4,142)

Pro plyne z (4,127) , tedy

.

(4,143)

Pro výraz je výraz (4,127) kladný. Uvážíme-li volbu oboru (viz (4,141) ) fázové konstanty , musíme hodnotám přiřadit z intervalu . Pro je , a tedy

.

(4,144)

Průběh funkce je pro tři různé hodnoty tlumicí konstanty znázorněn na obr. 27.

Popíšeme kvalitativně výsledky získané při sledování vztahu mezi vynucující silou (4,121) a vynuceným kmitem v ustáleném stavu (4,130) , je-li tlumení malé. Při malých frekvencích vynucující síly ve srovnání s frekvencí hmotný bod se pohybuje přibližně ve fázi s vynucující silou a amplituda jeho kmitů je blízká statické výchylce (4,131) . Lze říci, že elastická síla (4,68) je rozhodující pro průběh pohybu v tomto oboru frekvencí. V oblasti rezonance, tj. pro frekvence , se výchylka fázově zpožďuje o za budicí silou . Budicí síla je přibližně ve fázi s rychlostí pohybu hmotného bodu a urychluje jej v nejvhodnější fázi pohybu. Tím lze vysvětlit velké hodnoty amplitudy kmitu při rezonanci. Je-li frekvence vysoká ve srovnání s frekvencí , fázové zpoždění výchylky za budicí silou se blíží a amplituda kmitů klesá k nule. Velikost zrychlení harmonického kmitu je dle (1,32) úměrná a amplitudě kmitu. Vynucující síla, jejíž amplitudu S pokládáme za frekvenčně nezávislou, je schopna realizovat jen omezené hodnoty zrychlení hmotného bodu o nenulové hmotnosti m. Klesání amplitudy A vynucených kmitů se vzrůstající frekvencí k nule, je takto zcela pochopitelné.

Při rezonanci je fázové posunutí mezi vynucující silou a ustálenou výchylkou x blízké . Když síla je maximální, výchylka je minimální a jejich součin udávající práci dodanou systému je malý. K udržení velkých rezonančních výchylek v ustáleném stavu stačí, aby vynucující síla dodávala jen minimální práci (úměrnou odchylce fázového posunutí od ) na kompenzování ztrát systému. Velké rezonanční výchylky vznikají postupnou akumulací práce dodané systému v přechodovém stavu, kdy se rezonance ustaluje.

4.6.2 Komplexní symbolika

Řešení rovnice (4,122) v ustáleném stavu lze nalézt rychleji, užijeme-li reprezentace kmitů komplexními čísly. Harmonický kmit lze reprezentovat komplexním číslem , stručně zapíšeme

.

(4,145)

Komplexní číslo má reálnou i imaginární část rovnu harmonickému kmitu

.

(4,146)

V reprezentaci (4,145) můžeme pravou stranu rovnice (4,122) nahradit komplexním číslem ,

.

(4,147)

Ustálené řešení rovnice (4,122) , které jsme hledali v tvaru (4,124) , budeme v komplexní reprezentaci hledat v tvaru ;

.

(4,148)

Dosadíme-li komplexní výrazy spolu s jejich derivacemi a do rovnice (4,122) , dostaneme místo rovnice (4,125) rovnici

.

Ta po vydělení výrazem a vytknutí A přejde na tvar

.

(4,149)

Komplexní číslo v závorce na levé straně rovnice (4,149) označíme , tedy

(4,150)

a užijeme-li zápisu komplexního čísla v tvaru

,

(4,151)

kde

(4,152)

a

,

(4,153)

můžeme rovnici (4,149) přepsat na tvar

.

(4,154)

Z rovnice (4,154) , jelikož A, a S/m jsou reálná čísla, plyne

(4,155)

a

,

odkud

.

(4,156)

Rovnice (4,156) je shodná s rovnicí (4,127) a rovnice (4,155) s rovnicí (4,128) . Tyto rovnice udávají, vrátíme-li se v reprezentaci (4,148) zpět k reálné funkci , hledané hodnoty A a . Uvědomíme-li si, že rovnice (4,150) a (4,154) jsou elementární rovnice algebry komplexních čísel, je nalezení hodnot A a při užití komplexní reprezentace snazší, než při výše uvedeném přímém postupu.

Ustálené řešení rovnice (4,122) přiřazuje harmonickému kmitu na pravé straně rovnice harmonický kmit téže frekvence, ale jiné amplitudy a jiné fáze. Vidíme, že při výše prováděných reprezentacích nebyl výraz pro hledané řešení podstatný. Máme-li rovnici typu rovnice (4,122) s pravou stranou rovnou harmonické funkci , tj. rovnici

,

(4,122´)

můžeme parametry jejího ustáleného řešení hledat tak, že jak funkci tak i ustálenému řešení známého tvaru přiřadíme neproměnná komplexní čísla a . Přiřazení provedem následujícím způsobem:

,

(4,157)

.

(4,158)

Komplexní čísla a jsou na obr.28 znázorněna v rovině komplexních čísel. Jejich vzájemný vztah lze vyjádřit tak, že pokládáme komplexní číslo za násobek komplexního čísla ;

.

(4,159)

Hodnotu komplexního čísla lze získat řešením rovnice (4,122´) ; postupem stejným, jakým bylo určeno komplexní číslo při řešení rovnice (4,122) . Dostaneme tak vyjádření analogické rovnici (4,150) :

.

(4,160)

Hodnota závisí pouze na konstantách , z rovnice (4,122´) a na frekvenci . Řešením algebraické rovnice (4,159) lze pak rychle, ze známé pravé strany rovnice (4,122´) , určit její řešení pro různé frekvence a případně hledat, jak řešení závisí na konstantách , . Někdy též dle rovnice (4,159) určujeme neznámé  ke známému .

Pro konkrétní řešení problémů rozepíšeme rovnici (4,159) na rovnici

,

(4,161)

která platí mezi absolutními hodnotami komplexních čísel a na rovnici

,

(4,162)

která platí mezi argumenty komplexních čísel . Rozepíšeme-li totiž rovnici (4,159) , dostáváme

a jelikož dle (4,161) , zřejmě neboli a přechod k rovnici (4,162) je již triviální.

Hodnotu v rovnici (4,161) získáme jako absolutní hodnotu komplexního čísla (4,160) a argument stanovíme z rovnice , která vyjadřuje známou skutečnost, že tangens argumentu komplexního čísla je poměrem jeho imaginární a reálné části.

V konkrétním případě rovnice (4,122) je komplexní číslo reálné, tedy . Komplexní číslo (je-li , je dle (4,162) ) a komplexní číslo je rovno číslu zavedenému rovnicí (4,150) . Rovnice (4,159) dává v tomto konkrétním případě

,

(4,163)

což je rovnice shodná s rovnicí (4,149) , uvědomíme-li si, že v rovnici (4,163) argument má stejný význam jako argument v rovnici (4,149) . Postup, jak z rovnice (4,149) byly získány rovnice (4,155) pro amplitudu ustálených kmitů a rovnice (4,156) pro fázové posunutí vynucující síly a vynuceného kmitu, ukazuje, jak se získávají z rovnice (4,159) rovnice potřebné pro konkrétní řešení problémů.

Řada fyzikálních problémů vede na řešení rovnice typu (4,122´) . Máme-li např. obvod střídavého proudu s odpory, indukčnostmi a kapacitami, budicí funkcí na pravé straně rovnice (4,122´) je střídavé napětí a na levé straně rovnice místo výchylky x vystupuje proud protékající obvodem. Hodnoty konstant a jsou dány způsobem řazení a velikostmi odporů, indukčností a kapacit. Komplexní číslo se v tomto případě nahradí obdobně zavedenou komplexní impedancí obvodu . Podrobněji se lze o řešení sítí střídavého proudu komplexní metodou poučit např. v . Komplexní čísla k charakteristice systémů podrobené harmonické budící funkci se užívají též při řešení viskoelastických problémů, kde zavádíme komplexní elastické moduly, při vyšetřování dielektrických vlastností látek ve střídavých elektrických polích, pro jejichž charakteristiku zavádíme komplexní permitivitu a v řadě dalších případů (viz např. , 2. díl).

Ve všech uvedených případech mohou vzhledem ke stejnému charakteru rovnic s podrobně vyšetřovaným mechanickým případem nastat rezonanční jevy. Nejznámější jsou rezonanční jevy v elektrických obvodech střídavého proudu, kde při určitém seskupení indukčností a kapacit nastávají při vhodných frekvencích rezonance proudu nebo napětí. Rezonanční jevy se projevují také ve složitějších mechanických systémech, než je ten, který je popsán rovnicí (4,122) . Máme-li nějakou složitější mechanickou konstrukci, např. nějaký dopravní prostředek, může být určitá část této konstrukce vybuzena slabou vnější silou vhodné frekvence k velikým výchylkám. Omezit takové, většinou nežádoucí, rezonance, je úkolem konstruktérů. Při konstrukci dopravních prostředků, na které z vnějšku i od pohybujících se součástí motoru působí budicí síly nejrůznějších frekvencí, bývá takový úkol dosti obtížný.

---

---