---

---

4.5 Tlumený harmonický kmit a aperiodický tlumený pohyb

Budeme vyšetřovat pohyb hmotného bodu vázaného na přímku, na nějž vedle elastické síly uvažované v rovnici (2,10) působí ještě odporující síla (4,57) . Položíme-li do přímky, podél které se může hmotný bod pohybovat, souřadnicovou osu x s počátkem v místě, k němuž směřuje elastická síla, bude tato síla vyjádřena rovnicí

(4,68)

a odporující síla (4,57) rovnicí

,

(4,69)

kde k a h jsou kladné konstanty, , . (V rovnici (4,69) jsme konstantu síly (4,57) označili h, abychom ji odlišili od konstanty v rovnici (4,68) ). Pohybová rovnice hmotného bodu o hmotnosti m, na nějž působí síly (4,68) a (4,69) má tvar

.

(4,70)

Zavedeme-li označení a , lze po zřejmé úpravě přepsat rovnici (4,70) na tvar

.

(4,71)

Symbol odpovídá (viz rovnici (2,12) ) frekvenci harmonického kmitu (2,14) , který je řešením rovnice (2,10) , tj. rovnice (4,71) pro netlumený případ . Frekvenci budeme dále nazývat frekvencí netlumeného harmonického kmitu nebo též vlastní frekvencí harmonického oscilátoru . V této kapitole budeme pro kruhové (úhlové) frekvence užívat, jak je při výkladu kmitů běžné, stručného označení frekvence. Při konkrétních výpočtech je si třeba uvědomit, že takto označená frekvence je - násobkem lineární frekvence f (viz rov. (1,28) ).

Rovnice (4,71) je lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty druhého řádu. Obecné řešení takové rovnice získáme, najdeme-li dvě lineárně nezávislé funkce a , které řeší tuto rovnici, jak jsme již uvedli při řešení rovnice (2,10) . Zopakujeme tam vysvětlené pojmy. Lineárně nezávislé jsou takové dvě funkce a , kde jednu z druhé nelze získat vynásobením stejnou konstantou C pro celý obor nezávisle proměnné;

.

(4,72)

Lineární kombinací funkcí a rozumíme výraz

,

(4,73)

kde a jsou libovolné konstanty. Tvrzení, že obecným řešením rovnice (4,71) je výraz (4,73) znamená, že každou funkci , která je řešením rovnice (4,71) , lze zapsat ve tvaru (4,73) , tedy

.

(4,74)

Hodnoty konstant a lze určit z počátečních podmínek pohybu. (Meze platnosti zde uvedených tvrzení a odkazy na literaturu, v níž lze najít jejich důkazy viz , kap. 17.)

Snadno se lze přesvědčit, že řešením rovnice (4,71) je funkce

.

(4,75)

Provedeme první a druhou derivaci funkce (4,75)

a všechny tři poslední výrazy dosadíme do rovnice (4,71) . Dostaneme rovnici

,

(4,76)

kterou lze zřejmě splnit pro všechna t, lze-li splnit algebraickou rovnici

.

(4,77)

Vždy nenulový výraz je totiž možno v rovnici (4,76) zkrátit.

Rovnice (4,77) se nazývá charakteristická rovnice k rovnici (4,71) . Charakteristická rovnice (4,77) je kvadratickou rovnicí pro dosud neurčenou konstantu . Jejím řešením získáme dvě hodnoty , dané rovnicí

.

(4,78)

Funkce je řešením rovnice (4,71) , položíme-li rovné jedné z hodnot daných rovnicí (4,78) . S výjimkou případu získáme dvě lineárně nezávislé funkce a , které řeší rovnici (4,71) . Funkce a jsou lineárně nezávislé, protože nelze najít konstantu, kterou by bylo možno vynásobit funkci , abychom dostali funkci , jsou-li a dvě různé konstanty. Pro tak dostaneme obecné řešení rovnice (4,71)

.

(4,79)

Konstanty a dávají dvě nezávislá řešení charakteristické rovnice (4,77) .

V případě dá právě uvedený postup pouze jednu funkci , která řeší rovnici (4,71) . Druhou lineárně nezávislou funkcí řešící rovnici (4,71) je v případě funkce . Dosadíme-li funkci a její první i druhou derivaci do rovnice (4,71) , dostaneme

.

Když , právě zapsaná rovnice je splněna pro všechna t  a funkce je řešením rovnice (4,71) . Obecné řešení rovnice (4,71) v případě, že má tedy tvar

.

(4,80)

Pohyb hmotného bodu vázaného na přímku, na který působí síly (4,68) a (4,69) , je různý podle poměru velikosti elastické síly a odporující (tlumící) síly . Rozdělení provádíme dle konstant a , které velikosti těchto sil vyjadřují v rovnici (4,71) .

4.5.1 Aperiodický pohyb.

Jako první vyšetříme podrobněji pohyb označený v předchozí tabulce a). Jedná se o pohyb, který vznikne ve vyšetřovaném poli elastické a tlumicí síly v případě, kdy tlumení je velké, a tedy .

Je-li , je výraz pod odmocninou v rovnici (4,78) kladný. Odmocninu označíme

.

(4,81)

Výrazy a jsou pak reálná čísla a rovnici pohybu v souřadnicové ose x , tj. rovnici (4,79) , můžeme zapsat v tvaru

.

(4,82)

Jelikož jakožto poměr kladných veličin je kladné a dle (4,81) platí a , jsou konstanty i záporné, a tedy výchylka x  v rovnici (4,82) konverguje k nule pro rostoucí hodnoty času t;

.

(4,83)

Obdobně jako výchylka x  i rychlost pohybu

(4,84)

konverguje k nule pro neomezeně rostoucí t;

.

(4,85)

Hmotný bod při pohybu popsaném rovnicí (4,82) se nakonec vždy zastaví v počátku soustavy souřadnic, tj. v bodě, ke kterému směřuje elastická síla (4,68) . Nachází-li se hmotný bod v tomto bodě, říkáme, že zaujímá rovnovážnou polohu.

Typickou vlastností aperiodického pohybu je, že průchod hmotného bodu rovnovážnou polohou nastává pro konečné hodnoty času t  nejvýše jednou. Položíme-li v rovnici (4,82) , dostáváme

,

a protože pro konečná t, položíme

a odtud

.

Poslední rovnice má jedno řešení, je-li , a omezíme-li se na případ dokonce jen pro . Pro nemá žádné řešení. Je-li jedna z konstant , kladná a druhá záporná a jejich absolutní hodnoty splňují podmínku , projde hmotný bod při aperiodickém pohybu jednou rovnovážnou polohou pro konečné , jinak rovnovážnou polohu zaujme až pro . Neuvažujeme triviální případ , kdy hmotný bod je po celou dobu v rovnovážné poloze.

Ukážeme, jak vypadají řešení (4,82) pro dvě typické volby počátečních podmínek. Nejprve pro počáteční podmínky

,

(4,86)

které odpovídají případu, kdy hmotný bod vychýlíme z rovnovážné polohy a volně (bez udělení počáteční rychlosti) jej vypustíme. Potom pro počáteční podmínky

,

(4,87)

které odpovídají případu, kdy hmotný bod uvedeme do pohybu tím, že mu v rovnovážné poloze udělíme nenulovou rychlost .

Z rovnic (4,82) a (4,84) dostáváme pro počáteční podmínky (4,86) soustavu dvou algebraických rovnic (členy po dosazení dají jednotku; ):

,

(4,88)

jejichž řešením určíme konstanty a :

.

Dosazením těchto konstant do rovnice (4,82) dostáváme po úpravě rovnici aperiodického pohybu pro počáteční podmínky (4,86)

.

(4,89)

V posledním vyjádření funkce jsme užili funkce hyperbolický sinus (znak sh) a hyperbolický kosinus (znak ch), které jsou definovány následujícími vztahy

.

(4,90)

Podrobněji o hyperbolických funkcích se lze poučit v , kap. 2.

Pro počáteční podmínky (4,87) dají rovnice (4,82) a (4,84) pro určení konstant a algebraické rovnice

,

jejichž řešením dostáváme

.

Tedy pro počáteční podmínky (4,87) aperiodický pohyb je popsán funkcí

.

(4,91)

Graficky je funkce (4,89) pro hodnoty , a znázorněna jako křivka 1 na obr.23 a funkce (4,91) pro hodnoty , a jako křivka 1 na obr.24. Hodnota je pro obě funkce stejná a rovna .

4.5.2 Mezní aperiodický ohyb

Případ b) z výše uvedené tabulky, kdy , tj. mezní aperiodický pohyb je popsán rovnicí

,

(4,80)

jeho rychlost je

.

(4,92)

Z těchto rovnic plyne, že vlastnosti (4,83) a (4,85) jsou splněny i pro mezní aperiodický pohyb. Anulováním rovnice (4,80) zjistíme, že pro konečné hodnoty t projde hmotný bod rovnovážnou polohou pou-ze pro , tedy pro kladná t( ) jen když konstanty a mají opačná znaménka. Průběh pohybu se podobně jako v předcházejícím pří-padě neopakuje, proto i tento pohyb nazýváme aperiodickým.

Při počátečních podmín-kách (4,86) dostáváme z rovnice (4,80) a . Po dosazení vypočtených hodnot a do rovnice (4,80) dostáváme

.

(4,93)

Pro počáteční podmínky (4,87) z rovnic (4,80) a (4,92) dostáváme přímo hodnoty , . Pohyb je pak popsán rovnicí

.

(4,94)

Jako křivka označená číslem 2 je na obr.23 znázorněna funkce (4,93) se stejnými hodnotami , , jako má křivka 1, a s hodnotou tlumení .

Podobně křivka 2 na obr.24 od-povídá funkci (4,94) se stejnými hodnotami , , jako má křivka 1 tohoto obrázku, a s hodnotou tlumení . Rychlejší konvergence křivek 2 k rovnovážné poloze než křivek 1 je obecnou vlastností mezního aperio-dického pohybu (4,80) ve srovnání s pohybem aperiodickým (4,82) . Při porovnání předpokládáme, že frekvence netlumených harmonických kmitů obou pohybů jsou stejné, tedy předpokládáme-li stejné hmotnosti m pohybujících se hmotných bodů, musí být stejné i elastické konstanty k (viz rov. (4,68) ).

Balistická metoda
Všimneme si nyní vztahu mezi velikostí maximální výchylky pohybu (4,94) vyznačené na obr.24 a rychlostí tohoto pohybu v čase . Maximální výchylky dosáhne pohyb v čase, kdy derivace , tj. jeho rychlost

(4,95)

je nulová. Nebudeme-li uvažovat případ , výraz (4,95) bude nulový v čase . Dosadíme-li tuto hodnotu za čas t do rovnice (4,94) , dostáváme pro maximální výchylku vyjádření

.

(4,96)

Význam rovnice (4,96) tkví v tom, že umožňuje určit rychlost hmotného bodu na začátku pohybu z hodnoty maximální výchylky bodu, známe-li tlumící konstantu pohybu ; . Experimentálně bývá těžší určit rychlost na začátku pohybu než hodnotu maximální výchylky . Tlumící konstantu systému lze zpravidla stanovit nezávislým pokusem, když např. uvedeme systém do pohybu známou rychlostí nebo sledujeme jeho pohyb za jiných počátečních podmínek, než jsou podmínky (4,87) .

Základním příkladem využití rovnice (4,96) pro stanovení rychlosti je případ, kdy těleso o hmotnosti m podrobené silám (4,68) a (4,69) je vychýleno z rovnovážné polohy tím, že je zasaženo střelou pohybující se ve směru osy x rychlostí . Ze známého (viz ) zákona zachování hybnosti (viz též čl. 5.4), má-li střela hmotnost , plyne pro rychlost tělesa po zasažení střelou, . Změříme-li výchylku tělesa a známe-li tlumící konstantu systému a hmotnosti a m, můžeme stanovit jinak obtížně měřitelnou rychlost střely . Z uvedeného příkladu dostala metoda měření rychlostí na základě rovnice (4,96) jméno, nazývá se balistická metoda a výchylce se říká balistická výchylka ( , čl.2.2.1.2).

Úmyslně jsme zatím při popisu příkladu nezdůraznili pro použití rovnice (4,96) nutný předpoklad, že systém zasažený střelou bude v mezním aperiodickém stavu. Tento předpoklad není totiž pro použití balistické metody podstatný. Rovnici analogickou rovnici (4,96) lze odvodit i pro aperiodický pohyb a pro tlumený harmonický kmit. Je-li podstatně větší než , nejsou podmínky pro balistickou metodu experimentálně vhodné. Užití balistické metody při tlumených harmonických kmitech je experimentálně vhodné, pouze rovnice analogická rovnici (4,96) je složitější. Nejběžněji se balistická metoda užívá u slabě tlumených systémů balistických kyvadel, u kterých tlumení zanedbáváme a velikost výchylky počítáme z předpokladu, že kinetická energie kyvadla bezprostředně po zásahu střelou se rovná jeho potenciální energii při maximální výchylce.

Balistická metoda není ve fyzice omezena na měření rychlostí střel, ale je široce využita i v jiných oblastech, kde lze převést měření diferenciální veličiny (původně rychlosti) na integrální veličinu (původně výchylku). Rovnice analogická rovnici (4,71) popisuje pohyb cívky galvanometru. Pro měření některých elektrických veličin se užívá balistické metody na speciálně k tomu účelu upraveném balistickém galvanometru. Popis této a některých dalších balistických metod lze nalézt. v v prvním i druhém dílu.

4.5.3 Tlumený harmonický kmit

Tlumeným harmonickým kmitem nazýváme řešení (4,79) rovnice (4,71) v případě , tedy v případě označeném v tabulce na str.89 jako c). V tomto případě i získaná řešením charakteristické rovnice (4,77) jsou komplexně sdružená čísla

.

(4,97)

Rovnici (4,79) po dosazení konstant (4,97) přepíšeme na tvar

,

(4,98)

kde jsme zavedli označení

.

(4,99)

Použijeme-li známého (např. , kap. 1) Moivrova vztahu ( reálné číslo), dostaneme z (4,98)

.

(4,100)

Řešení (4,79) lze pokládat za řešení rovnice (4,71) v komplexním oboru a konstanty a za komplexní čísla. Chceme-li v (4,100) získat reálné hodnoty x, je třeba omezit obor volby komplexních čísel a na taková, aby

,

(4,101)

kde a jsou reálná čísla. Podmínky (4,101) udávají, že a musí být komplexně sdružená čísla. Řešení (4,100) pro reálná x lze pak zapsat v tvaru

.

(4,102)

Výraz v kulaté závorce je výrazem pro harmonický kmit s frekvencí . Lze jej přepsat (viz rovnice (1,25) , (1,29) a (1,30) ) na tvar a rovnici pro tlumený harmonický kmit zapsat v obvyklém tvaru

.

(4,103)

Rychlost pohybu (4,103) je

.

(4,104)

V rovnici (4,103)  A a jsou reálné konstanty, jejichž hodnoty lze určit z počátečních podmínek pohybu. Z tvaru (4,103) je zřejmé, proč právě vyšetřovaný pohyb je nazýván tlumeným harmonickým kmitem, liší se totiž od harmonického pohybu (1,25) pouze tím, že amplituda kmitu není konstantní, ale je dána výrazem , jehož velikost se s časem zmenšuje. (V rovnici (4,103) již neuvažujeme konstantu , předpokládáme, že počátek soustavy souřadnic je v rovnovážné poloze.) Z rovnic (4,103) a (4,104) plyne, že vlastnosti (4,83) a (4,85) jsou splněny i pro tlumený harmonický kmit. Časový průběh pohybu je znázorněn na obr.25.

Pohyb (4,103) není čistě periodickým pohybem, protože všechny polohy hmotného bodu nenásledují po sobě v pravidelných časových intervalech, např. maximální výchylky dosažené při jednom výkyvu hmotného bodu z rovnovážné polohy hmotný bod již pro žádný následující čas nedosáhne. Řadu vlastností periodických pohybů však pohyb (4,103) zachovává. Průchody hmotného bodu rovnovážnou polohou nastávají v pravidelných intervalech stejně jako průchody maximální výchylkou.

Tlumený harmonický kmit (4,103) na rozdíl od aperiodických pohybů nabývá hodnoty nekonečněkrát, a to vždy, když výraz , tedy když , kde n je celé číslo. Časový interval mezi dvěma po sobě následujícími průchody rovnovážnou polohou zjistíme odečtením rovnic a ;

.

(4,105)

Jako dobu kmitu T označíme dvojnásobnou hodnotu  intervalu (4,105) , protože teprve při každém druhém průchodu rovnovážnou polohou se hmotný bod pohybuje ve stejném smyslu (viz obr.25), tedy

.

(4,106)

Porovnáním s rovnicí (1,16) vidíme, že je vhodné nazvat frekvencí, přesněji úhlovou frekvencí tlumeného harmonického kmitu. Z rovnice (4,99) , kterou byla hodnota zavedena, plyne, že frekvence je menší než frekvence jim odpovídajících netlumených kmitů. Dle rovnic (4,105) a (1,26) potom také doba kmitu T  tlumeného harmonického kmitu je delší než doba kmitu jemu odpovídajícího netlumeného harmonického kmitu,

.

(4,107)

Maxima a minima funkce (4,103) , tedy krajní výchylky kmitajícího hmotného bodu, nastávají pro ty časy t, pro které rychlost v pohybu daná rovnicí (4,103) nabývá nulové hodnoty. Pro konečná t rychlost , když

,

tedy když

.

(4,108)

Funkce je periodickou funkcí s periodou , nabývá proto pevně dané hodnoty vždy, když se argument funkce změní o . Rovnice (4,108) bude splněna pro taková t, pro která platí

,

(4,109)

kde n je celé číslo. V rovnici (4,109) uvažujeme jako hodnotu v intervalu . Zjistíme časový interval mezi dvěma po sobě následujícími časy a splňujícími rovnici (4,108) . Jelikož

a ,

získáme odečtením právě napsaných rovnic po elementární úpravě

,

tedy rovnici shodnou s rovnicí (4,105) . Časový interval mezi dvěma po sobě následujícími extrémy funkce (4,103) je stejný jako časový interval mezi nulovými hodnotami této funkce, a je tedy roven poloviční době kmitu . Jelikož každý druhý extrém funkce je maximum, časový interval mezi maximy je roven době kmitu T . Stejný závěr lze vyslovit i pro minima funkce (4,103) . Podmínka pro čas t , v kterém nastává nulová hodnota funkce (4,103) , je

.

Porovnáme-li ji s podmínkou (4,109) , vidíme, že vzájemná poloha maxim a nulových hodnot je dána velikostí . Porovnáme-li totiž časy a , kdy pro stejná n jsou splněny podmínky

,

dostáváme pro časový interval vyjádření

.

(4,110)

Pouze v případě , tj. pro netlumený harmonický kmit, je a z rovnice (4,110) plyne

,

neboli dle (4,105)

.

Pro případ tlumeného harmonického kmitu časový interval mezi maximem a po něm následující nulovou hodnotou funkce (4,103) je různý od čtvrtiny doby kmitu, jak je zvýrazněno na obr.25. Maxima a minima tlumených harmonických kmitů neleží v poloviční vzdálenosti mezi nulovými hodnotami kmitů. Z rovnice (4,110) plyne, že maxima a minima jsou posunuta blíže k časově předcházející nulové hodnotě, protože hodnota pro nenulové hodnoty d.

Konstanty užívané k vystižení míry tlumení
Poměr dvou po sobě následujících maxim

funkce (4,103) je roven

.

Zavádíme označení

(4,111)

a veličinu nazýváme útlumem kmitů. Při vyjádření a jsme nikde neužili toho, že je čas odpovídající maximu funkce (4,103) . Tedy útlum je poměrem libovolných dvou výchylek x, které zaujme hmotný bod konající tlumený kmit v časovém odstupu rovném době kmitu T. Přirozený logaritmus útlumu se nazývá logaritmický dekrement útlumu a užijeme pro něj symbol ;

.

(4,112)

Vedle logaritmického dekrementu útlumu definovaného rovnicí (4,112) bývá zaváděn též dekadický logaritmický dekrement útlumu jako dekadický logaritmus útlumu

.

(4,113)

Doba , za kterou obálka kmitu (4,103) čárkovaně vyznačená na obr.25 klesne na hodnotu , se nazývá relaxační doba. Z rovnice plyne pro relaxační dobu podmínka , a odtud

.

(4,114)

Spočítáme, kolik maxim počet označíme n nastane za čas . Časový interval začneme počítat od okamžiku , kdy nastane maximální výchylka . Toto maximum nebudeme uvažovat do hledaného počtu n. Poslední maximální výchylka v časovém intervalu bude výchylka , výchylka už nastane mimo časový interval . Na začátku časového intervalu je souřadnice obálky

,

na konci intervalu

.

Pro hodnoty a platí nerovnosti

,

z kterých plyne

,

uvědomíme-li si, že (k je libovolné přirozené číslo) a . Porovnáme-li exponenty v poslední nerovnici, dostaneme

.

Odtud pro hledaný počet n maxim za časový interval plyne nerovnost

,

(4,115)

kde jsme dle (4,112) výraz nahradili logaritmickým dekrementem . Nerovnosti (4,115) ukazují, jak převrácená hodnota logaritmického dekrementu udává počet kmitů, po kterých hodnota maximální výchylky klesne na (1/e)-tinu své původní hodnoty.

Tlumené kmity při standardní volbě počátečních podmínek
Tvar rovnice (4,103) pro počáteční podmínky (4,86) a (4,87) dostaneme, dosadíme-li tyto podmínky do rovnic (4,103) a (4,104) . Pro počáteční podmínky (4,86) tak získáme rovnici kmitu

(4,116)

a pro počáteční podmínky (4,87)

.

(4,117)

Rovnice analogické rovnici tlumených kmitů
Rovnice analogické rovnici (4,71) popisují chování řady důležitých fyzikálních i technických systémů. Např. rovnice pro pohyb galvanometru ( , str.214) nebo rovnice popisující pohyb pérových vah mají stejný matematický tvar

(4,118)

jako rovnice (4,71) , pouze na pravé straně rovnic místo nuly je obecně nenulová konstanta . Konstanty odpovídají konstantám 2d a tlumeného kmitu.

Má-li lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty nenulovou pravou stranu, liší se její obecné řešení od řešení stejné rovnice bez pravé strany pouze tím, že k obecnému řešení rovnice bez pravé strany se přičte jedno (tj. řešení bez volitelných konstant) řešení rovnice s pravou stranou (viz , kap.17). Pro rovnici (4,118) je tímto řešením konstantní hodnota

,

(4,119)

jak se lze přesvědčit dosazením hodnoty (4,119) do rovnice (4,118) . Obecné řešení rovnice (4,118) je součet řešení (4,79) rovnice (4,71) a jednoho řešení (4,119) rovnice (4,118) , tedy

.

(4,120)

V rovnici (4,120) jsou a volitelné konstanty a

kořeny charakteristické rovnice . Je to charakteristická rovnice příslušející rovnici (4,118) , neuvažujeme-li u ní pravou stranu.

Nenulová hodnota pravé strany rovnice (4,118) odpovídá v rovnici galvanometru momentu síly způsobenému nenulovým proudem protékajícím cívkou galvanometru, u pérových vah váze váženého předmětu. Tyto nenulové pravé strany způsobí, že limita řešení (4,120) pro je rovna konstantě (4,119) a není nulová jako limita (4,83) řešení (4,79) rovnice (4,71) . Fyzikálně říkáme, že rovnovážná poloha systému popsaného rovnicí (4,118) je na rozdíl od nulové rovnovážné polohy systému popsaného rovnicí (4,71) .

V uvažovaných systémech se zpravidla určuje hodnota (velikost proudu, váha předmětu) ze změřené hodnoty (výchylka galvanometru nebo vah). Způsob, jakým systém zaujímá rovnovážnou hodnotu, je popsán částí řešení (4,120) , tedy funkcí, jejíž analýzu jsme v tomto článku podrobně provedli. Na velikosti tlumení systému (galvanometru, vah apod.) záleží, zda rovnovážná poloha bude zaujímána pomalu (aperiodický stav), rychle (mezní aperiodický stav) nebo zda bude systém kolem rovnovážné polohy kmitat (tlumený harmonický kmit). U komerčně dodávaných běžných přístrojů, např. u různých ručkových ampérmetrů, voltmetrů, krámských vah, bývá systém tlumen tak, aby v provozních podmínkách byl blízko mezního aperiodického stavu, tj. aby rychle ukázal hodnotu měřené veličiny a nekmital kolem ní. U laboratorně užívaných systémů, např. u zrcátkových galvanometrů, je pro každý pokus nutno vhodné tlumení nastavit (viz , str. 238). Rozbor řešení (4,79) rovnice (4,71) provedený v tomto článku je teoretickým základem pro to, abychom takové vhodné nastavení systému mohli provést.

Nastavení podmínek mezního aperiodického stavu, jako podmínek pro nejrychlejší přechod systému z jedné rovnovážné polohy do druhé, je základní úlohou teorie regulace. Automatická regulace výrobních procesů řízená počítači je stále více využívána. Při ní je však nezbytné, aby impuls měnící průběh regulovaného děje měl správnou velikost a nejrychleji vedl k požadované změně režimu. Proto jsou úvahy podobné těm, které činíme při nastavování mezního aperiodického stavu, pro teorii řízení tak podstatné.

---

---