---

---

4.3 Pohyb v gravitačním poli Keplerova úloha

Vyšetříme nyní pohyb volného hmotného bodu o hmotnosti m  v gravitačním silovém poli, tj. v silovém poli daném rovnicí (4,3)

.

(4,3)

Představíme-li si pod bodem o hmotnosti M  Slunce a pod bodem o hmotnosti m  některou z planet, dostaneme vyřešením zadané úlohy tři Keplerovy zákony o pohybu planet.

Pole popsané rovnicí (4,3) je centrální silové pole . Centrálním silovým polem nazýváme takové pole, pro které sílu lze psát ve tvaru

,

(4,24)

kde je polohový vektor místa, v němž sílu uvažujeme. Střed centrální síly je v počátku soustavy souřadnic. Velikost r  vektoru má význam vzdálenosti od středu centrální síly a je libovolná funkce vzdálenosti r . V případě centrální síly (4,3) je .

4.3.1 Pohyb v centrálním silovém poli, 2. Keplerův zákon

Pro pohyb hmotného bodu v poli centrálních sil platí, že moment hybnosti hmotného bodu vzhledem ke středu centrální síly je konstantní. Tedy

,

(4,25)

kde je konstantní vektor. Tvrzení (4,25) plyne bezprostředně z rovnice (3,36) , uvědomíme-li si, že v případě pohybu v poli centrálních sil moment síly vůči středu centrální síly

je vektorovým součinem dvou rovnoběžných vektorů, a tedy . Dosazením podmínky do rovnice (3,36) , dostáváme rovnici . Výraz, jehož derivace dle času je nulová, je s časem konstantní, tedy moment hybnosti v centrálním silovém poli je roven konstantnímu vektoru, který značíme .

Je-li moment hybnosti , musí vektory a ležet stále v rovině kolmé ke směru konstantního vektoru . Pohyb hmotného bodu v centrálním silovém poli je rovinný.

Vektor je konstantní, tedy i jeho velikost

(4,26)

je konstantní. Úhel v rovnici (4,26) značí úhel mezi vektory a . Výraz

bývá nazýván plošnou rychlostí pohybují-cího se hmotného bodu, neboť udává velikost plochy vyšrafované na obr.19, která v diferen-ciálním přiblížení je rovna velikosti plochy opsané průvodičem pohybujícího se bodu za jednotku času. Z rovnice (4,26) plyne, že plošná rychlost

je konstantní.

Vrátíme-li se ke gravitačnímu silovému poli (4,3) , je tvrzení o konstantní plošné rychlosti obsahem druhého Keplerova zákona, jehož obvyklá formulace zní:

4.3.2 1.Keplerův zákon

Dle čl.2.3 bychom při hledání pohybu hmotného bodu o hmotnosti  m  v silovém poli (4,3) měli řešit pohybovou rovnici

.

(4,27)

Místo tohoto přímého postupu zvolíme jiný, který vede rychleji k cíli. Využijeme rovnice (4,25) a toho, že v gravitačním poli, které je konzervativní, celková mechanická energie pohybujícího se hmotného bodu je konstantní. Konstantní hodnotu mechanické energie označíme a vyslovené tvrzení můžeme zapsat v tvaru

.

(4,28)

Jelikož pohyb je rovinný, jak plyne z rovnice (4,25) , stačí k jeho určení dvě časově proměnné souřadnice, které určíme řešením rovnic (4,26) a (4,28) . Rovnice (4,28) a (4,26) udávají, že při pohybu zůstává zachována celková mechanická energie a velikost momentu hybnosti hmotného bodu.

Pro popis pohybu hmotného bodu v rovině, v které probíhá, užijeme místo kartézských souřadnic nbsp; , souřadnice polární r, . Vzájemný vztah souřadnic je dán rovnicemi

,

(4,29)

kde r je vzdálenost bodu od společného počátku obou soustav souřadnic a úhel, který průvodič bodu svírá s první osou kartézské soustavy souřadnic (obr.20). Pracujeme-li s polárními souřadnicemi, aniž je vztahujeme k nějaké kartézské soustavě souřadnic, je úhel úhlem mezi průvodičem bodu (úsečkou spojující počátek soustavy s bodem) a nějakou pevně zvolenou přímkou v rovině. Derivováním rovnic (4,29) dle času t dostáváme

.

(4,30)

Rovnice (4,26) a (4,28) musíme přepsat tak, aby v nich vystupovaly dosud neznámé parametrické rovnice a pohybu hmotného bodu. Vektor je kolmý k rovině pohybu, proto jediná jeho nenulová složka v kartézské soustavě souřadnic užité v rovnicích (4,29) je třetí složka. Tato složka je rovna velikosti vektoru . V kartézských souřadnicích třetí složka vektorové rovnice má tedy tvar

.

(4,31)

Dosadíme-li za z (4,29) a za z (4,30) , dostáváme

.

Výsledek

(4,32)

lze též odvodit přímo z rovnice (4,26) , když si dle obr.19 uvědomíme, že výraz . Rovnici (4,28) rozepíšeme,

.

(4,33)

V rovnici (4,33) jsme použili vyjádření (4,6) pro potenciální energii gravitačního pole. Pro čtverec velikosti rychlosti plyne z (4,30)

.

(4,34)

Dosazením (4,34) do (4,33) dostáváme

.

(4,35)

Rovnice (4,32) a (4,35) jsou již hledanou soustavou dvou diferenciálních rovnic pro určení dvou neznámých funkcí a . Rovnici (4,35) upravíme, když vyjádříme dle rovnice (4,32) a zavedeme označení

,

(4,36)

na tvar

.

(4,37)

Z poslední rovnice lze vypočítat

,

(4,38)

a tedy

.

(4,39)

Rovnicí (4,39) je vyjádřena závislost t na r , a tím v neexplicitní formě i závislost r na t. Po vyjádření této závislosti by bylo možné dosazením do (4,32) vypočítat i . Při řešení Keplerovy úlohy nás však bude zajímat pouze dráha hmotného bodu, k jejímuž určení stačí nalézt závislost r na , a není třeba určit časovou závislost obou jeho polárních souřadnic r a .

Derivaci lze podle pravidla o derivování složených funkcí - předpokládáme - rozepsat

.

Hodnotu lze určit z rovnice (4,32) a hodnotu z rovnice (4,38) ; dostáváme

.

Pravá strana závisí pouze na r , a proto lze vyjádřit jako neurčitý integrál

.

Primitivní funkce k výrazu pod integrálem jsou SETEQS2('knihI41do_soubory/eq0044M.gif','knihI41do_soubory/eq0045M.gif','',',',',','5.86','1.76'); o čemž se lze přesvědčit jejich derivováním dle r . Výraz s arcuscosinem použijeme pro stanovení závislosti na r , tedy

.

(4,40)

Rovnici (4,40) lze přepsat na tvar

,

který po vynásobení konstantou dále upravíme a dostaneme

.

Poslední rovnice má již tvar polární rovnice kuželosečky (viz dodatek D.3). Zavedeme-li stručné označení konstant, které se v ní vyskytují,

(4,41)

a

,

(4,42)

dostaneme rovnici

,

kterou lze již snadno přepsat na obvykle uváděný tvar polární rovnice kuželoseček

.

(4,43)

Jak vyplývá z odvození v dodatku D.3, rovnice (4,43) popisuje vztah mezi vzdáleností r bodu na kuželosečce od jednoho jejího ohniska a úhlem , který průvodič bodu svírá s osou kuželosečky procházející tímto ohniskem. Konstanta k udává úhel mezi původně libovolně zvoleným směrem v rovině dráhy a směrem výše uvažované osy kuželosečky. Konstanta k je libovolná a odpovídá natočení kuželosečky ve vyšetřované rovině, je ji možno určit z počátečních podmínek pohybu. V dodatku D.3 je odvozeno, že pro elipsu a hyperbolu

,

(4,44)

kde a je velikost velké a b malé poloosy. Pro parabolu parametr p je roven vzdálenosti d ohniska od řídící přímky, . Pro elipsu a hyperbolu má význam numerické výstřednosti, tj. poměru délkové výstřednosti e k velikosti velké poloosy a,

.

(4,45)

Je tedy pro kružnici , pro elipsu , pro hyperbolu , nezávisle lze ukázat (viz dodatek D.3), že pro parabolu . Porovnáme-li právě učiněné závěry o hodnotách s rovnicí (4,42) , dostaneme pro elipsu z podmínky podmínku

.

Protože však všechny členy obklopující ve druhém sčítanci pod odmocninou jsou kladné, je uvedenou nerovnost možno splnit pouze, když celková mechanická energie pohybujícího se hmotného bodu je záporná; . Můžeme tedy shrnout, že z hodnot numerické výstřednosti plynou pro celkovou energii hmotných bodů obíhajících kolem centrální hmotnosti M  po různých drahách tyto podmínky:

.

(4,46)

Omezíme-li se na případ , je obsahem rovnice (4,41) první Keplerův zákon . Představíme-li si, že centrální hmotnost M  je hmotnost Slunce a obíhající hmotné body o hmotnostech m  jsou planety, lze obsah rovnice (4,43) , která udává tvar dráhy hmotného bodu v silovém poli (4,3) vyslovit způsobem:

Předpoklad je zcela přirozený, protože dráhy pro , tj. parabolická a hyperbolická dráha, nejsou uzavřené. Hmotný bod, který po takové dráze do silového pole (4,3) vstoupí projde polem jednou a pak ho opustí, vzdálenost r není omezená. Předpoklad pro uzavřenou dráhu souvisí s volbou nulové hodnoty potenciální energie (4,6) v nekonečnu. Pouze hmotné body, jejichž celková energie je menší než potenciální energie v nekonečně vzdáleném bodě, mohou se stále pohybovat v konečné vzdálenosti od centrální hmotnosti M  pole (4,3) . Nejmenší energie, s kterou hmotný bod opustí pole (4,3) , je energie , které odpovídá parabolická dráha. Dosadíme-li podmínku do rovnice (4,33) , dostáváme

.

Dostáváme tak nejmenší velikost rychlosti v , kterou musí hmotný bod o hmotnosti m mít ve vzdálenosti r od středové hmotnosti M , aby mohl pole (4,3) opustit

.

(4,47)

Pokládáme-li středovou hmotnost M  za hmotnost Země a za r  zvolíme poloměr Země , dává rovnice (4,47) rychlost, jakou musí mít hmotný bod na povrchu Země, aby mohl zemské gravitační pole opustit. Tato rychlost bývá označována jako 2. kosmická rychlost . Pro její velikost dostáváme

.

Při výpočtu rychlosti jsme užili rovnice (4,10) pro vyjádření výrazu a dosadili jsme přibližné hodnoty pro tíhové zrychlení g a pro poloměr Země .

Všimneme si nyní pro eliptické dráhy vztahu mezi konstantami , určujícími tvar dráhy a poloosami elipsy, tj. velkou poloosou a a malou poloosou b. Vyjdeme z porovnání rovnic (4,42) a (4,45) ; dostáváme

.

Poslední rovnici umocníme na druhou a pravou stranu upravíme dle vztahu , který platí mezi poloosami a, b a výstředností e elipsy;

.

(4,48)

Dle (4,41) je výraz a dle (4,44) . Porovnáním dostáváme

.

(4,49)

Dosadíme-li tedy do druhého sčítance na levé straně (4,48) za výraz , dostáváme po úpravě

,

a tedy

.

(4,50)

Rovnice (4,50) ukazuje, že velikost velké poloosy elipsy závisí pouze na celkové energii hmotného bodu a nezávisí na velikosti momentu hybnosti . Znaménko minus je přirozené, neboť .

Dosadíme-li výsledek (4,50) do rovnice (4,49) , dostaneme po snadných úpravách

.

(4,51)

Velikost malé poloosy b elipsy závisí vedle celkové energie též na velikosti momentu hybnosti . Rovnice (4,50) a (4,51) byly využity v Bohrově modelu atomu k elementárnímu kvantovaní energie a momentu hybnosti. K jedné hodnotě energie jsou možné různé hodnoty momentu hybnosti, jednomu hlavnímu kvantovému číslu odpovídá několik vedlejších kvantových čísel.

4.3.3 3. Keplerův zákon

Odvodíme nyní vztah mezi dobou oběhu hmotného bodu, který se v poli (4,3) pohybuje po eliptické dráze a velikostí velké poloosy a tohoto pohybu. Na začátku tohoto článku jsme odvodili větu, že velikost plošné rychlosti při pohybu hmotného bodu v cent-rálním silovém poli je konstantní. Z významu plošné rychlosti plyne, že násobek plošné rychlosti a doby T oběhu bodu po uzavřené dráze musí být roven ploše uzavřené touto drahou. Plocha P elipsy o poloosách a, b je . Musí tedy pro uvažovanou eliptickou dráhu platit rovnice

.

Dosadíme-li za , dostáváme

.

Za dosadíme z (4,49) a po elementárních úpravách můžeme psát

.

Rozepíšeme-li ještě dle (4,36) , získáme konečný vztah

.

(4,52)

Pro stálou centrální hmotnost M je tedy poměr čtverce doby oběhu a třetí mocniny velké poloosy elipsy konstantní. Je-li centrální hmotností Slunce a obíhajícími hmotnými body planety, je rovnice (4,52) obsahem tvrzení třetího Keplerova zákona, pro který bývá užívána následující formulace:

Elementárně lze dojít k tvrzení analogickému (4,52) , předpokládáme-li, že hmotné body obíhají kolem centrální hmotnosti M po kružnicích o poloměru r . Potom víme, že síla (4,3) realizuje dostředivou sílu (2,3) nutnou pro vznik kruhového pohybu, tedy

.

(4,53)

Z vektorové rovnice (4,53) plyne skalární rovnice

(4,54)

a po dosazení známého vztahu (1,26) a jednoduché úpravě dostaneme

.

Tato rovnice odpovídá rovnici (4,52) , když se pohyb koná po kružnici. V tom případě poloměr r  má stejný význam jako velká poloosa u obecného pohybu po elipse.

Rovnice (4,54) udává úhlovou rychlost, jakou se pohybuje volný hmotný bod po kružnici poloměru r v gravitačním poli (4,3) . Budeme nyní pokládat centrální hmotnost M  za hmotnost Země a vypočteme rychlost, jakou musí mít hmotný bod, aby obíhal kolem Země v bezprostřední blízkosti Země. Takové rychlosti vyjadřuje se obvykle jako postupná rychlost se říká první kosmická rychlost . Vypočteme její velikost. Z rovnice (4,54) plyne

,

vyjádříme-li úhlovou rychlost pomocí rychlosti postupné a za poloměr r  dosadíme poloměr Země . Z právě uvedené rovnice vypočteme

a dosadíme za dle vztahu (4,10) . S uvážením číselných hodnot a dostáváme pro první kosmickou rychlost vyjádření

.

Rychlost je přibližně rovna rychlosti, s kterou obíhají kosmické lodě kolem Země pohybující se na nízkých drahách.

---

---