4.2 Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole

V článcích 2.2 a 2.3 jsme užívali (viz rovnice (2,5) ) pro vyjádření gravitačního působení na hmotný bod hmotnosti m sílu tvaru (v rovnici (2,5) byla označena )

(4,8)

kde vektor tíhového zrychlení byl pokládán za konstantní vektor. Jak souvisí silové pole (4,8) se silovým polem (4,3) ? Přijmeme bez důkazu (viz např. [20], kap.5; [5], [8]) tvrzení, že gravitační pole vně Země lze popsat výrazem (4,3) , položíme-li počátek soustavy souřadnic, tj. bod o polohovém vektoru , do středu Země. V blízkosti Země pak můžeme pokládat výraz za přibližně stálý a rovný , kde je označen poloměr Země a jednotkový vektor v radiálním směru, tedy jednotkový vektor orientovaný svisle vzhůru. Síla působící na hmotný bod o hmotnosti m v blízkosti Země je pak již shodná se silou (4,8) , položíme-li

(4,9)

jak plyne z rovnosti . Pro velikost tíhového zrychlení z rovnice (4,9) dostáváme

.	(4,10)

Jednoduché vyjádření gravitačního pole tvarem (4,8) lze provést jen pro tak velký prostor u povrchu Země, kde je možné zanedbat změnu velikosti výrazu s výškou nad povrchem Země a vzájemný úhel svislic v jednotlivých místech uvažovaného prostoru. Pole popsané rovnicí (4,8) nazýváme tíhovým polem.

Práce vykonaná v tíhovém poli (4,8) na hmotný bod, přejde-li z místa C do místa D,

Výraz je průmět elementu dráhy do směru tíhového zrychlení . Proložíme-li směrem , tj. svislým směrem, souřadnicou osu orientovanou proti smyslu , dostáváme

kde je souřadnice bodu D a analogický význam má symbol . Na ostatních kartézských souřadnicích, které lze volit libovolně v rovině kolmé k ose , práce zřejmě nezávisí. Tíhové pole je konzervativní, neboť práce nezávisí na tvaru cesty z bodu C do bodu D. Rozdíl potenciální energie mezi body D a C je dle rovnice (3,14) , po dosazení vypočtené hodnoty práce ,

.	(4,11)

Rozdíl potenciální energie je dán výškovou odlehlostí bodů. V tíhovém poli zpravidla volíme dosud neurčenou konstantu potenciální energie tak, že pro bod, který má souřadnici , položíme potenciální energii rovnu nule. Předpokládáme-li, že bodem o souřadnici je bod C z rovnice (4,11) , a pro potenciální energii bodu D dostáváme vyjádření . Bod D lze volit libovolně, jeho označení je nepodstatné a pro potenciální energii tíhového pole při dané volbě konstanty můžeme psát

.	(4,12)

Pro jinou volbu nulové hladiny potenciální energie lze místo výrazu (4,12) psát

(4,12´)

kde k je zatím neurčená konstanta. Zvolíme-li nulovou hladinu potenciální energie na povrchu Země a h označíme výšku nad povrchem Země, dostaneme pro potenciální energii tíhového pole známé (viz [1]) vyjádření . Potenciál tíhového pole (4,12) je a intenzita pole má jedinou nenulovou složku .

V článku 2.3 je odvozeno, že volný hmotný bod se v tíhovém poli pohybuje po trajektorii dané rovnicemi (2,9) ; koná tedy některý z vrhů. Pro šikmý vrh hmotného bodu o hmotnosti m vypočteme veličiny zavedené v kapitole 3 a ověříme jejich vzájemné vztahy.

Budeme vyšetřovat šikmý vrh, který v souřadnicové soustavě užité v rovnicích (2,9) je určen parametrickými rovnicemi

.	(4,13)

Je to šikmý vrh v rovině kolmé k . Hmotný bod v čase se nachází v počátku soustavy souřadnic. Z rovnic (4,13) dostáváme pro rychlost hmotného bodu vyjádření

.	(4,14)

Vypočteme nejprve práci A , kterou vykoná tíhové pole na hmotný bod o hmotnosti m , přejde-li bod z počátečního bodu O do libovolného bodu na trajektorii, který označíme B (viz obr.15). K výpočtu práce užijeme rovnici (3,6) , kde čas , jelikož v bodě O se hmotný bod nachází v čase , a čas , kdy se hmotný bod nachází v bodě B označíme T.

Dostaneme

protože síla má nenulovou pouze třetí složku . Po dosazení za a

.	(4,15)

Práce A je tedy rovna , neboť je dle (4,13) zřejmě třetí souřadnice bodu B. Výraz je rozdíl potenciální energie tíhového pole mezi body B a O, protože je výšková odlehlost těchto dvou bodů. Dostáváme tak očekávaný výsledek, že práce A vykonaná vnějšími silami na hmotný bod je rovna záporně vzatému přírůstku potenciální energie hmotného bodu

.	(4,16)

Předpokládáme ve shodě s obr.15, že . Pro body, pro které , tj. pro body, do kterých hmotný bod dojde dříve než do bodu P vyzna-čeného na obr.15, je práce . Složka počáteční rychlosti mířící proti směru tíhového pole způsobí, že v první fázi pohybu práce vykonaná na hmotný bod tíhovými sila-mi je záporná a hmotný bod prochází místy pole, ve kterých je potenciální energie vyšší než v počátečním bodě O pohybu.

Zjistíme nyní přímým výpočtem rozdíl kinetických energií hmotného bodu v bodě B a v bodě O. V bodě O je kinetická energie

kde hodnotu velikosti rychlosti v bodě O získáme běžným postupem z rovnic (4,14) , kam dosadíme . Velikost rychlosti v bodě B, tj. v čase T , získáme obdobně z rovnic (4,14) , položíme-li .

V bodě B je kinetická energie

Rozdíl . Poslední výraz je však dle (4,15) roven práci A vykonané na hmotný bod tíhovým polem, přejde-li z bodu O do bodu B, tedy . Pro šikmý vrh jsme tak přímým výpočtem získali rovnici (3,11) . Porovnáním poslední rovnice s rovnicí (4,16) dostáváme po snadné úpravě

,	(4,17)

tj. zákon zachování mechanické energie při pohybu hmotného bodu po trajektorii (4,13) . Z rovnice (4,17) lze získat velikosti rychlosti hmotného bodu v každém bodě B trajektorie, aniž ji musíme přímo počítat z rovnice (4,14) . Zvolíme, jak je obvyklé, , pak z (4,17) plyne

a tedy

.	(4,18)

Z rovnice (4,18) dostáváme pro body nad osou , pro bod P vyznačený na obr.15, který má , dostáváme a pro body pod osou . V případě , tj. při vrhu svislém vzhůru, bod B má ve vrcholu nulovou velikost rychlosti . Z rovnice (4,18) pak pro výšku vrhu dostáváme podmínku , z které plyne .

Dále ověříme pro vyšetřovaný šikmý vrh platnost rovnice (3,8) . Výkon P je definován rovnicí (3,7) jako . Rovnicí (4,15) máme práci A vyjádřenu jako funkci času T , kdy se hmotný bod nachází v bodě B. Polohu bodu B pokládáme za proměnnou a symbol pro čas označíme t místo T, potom

a výkon

Vypočteme výraz , který dle rovnice (3,8) se má rovnat výkonu P . Jelikož síla má jedinou nenulovou složku a dle (4,14) , dostáváme

což je opravdu výraz shodný s výrazem pro výkon P. Okamžitý výkon tíhové síly konaný na vyšetřovaný hmotný bod lze vyjádřit jako skalární součin síly (okamžité zde není třeba zdůrazňovat) a okamžité rychlosti bodu.

Vztahy (3,28) mezi impulsem a hybností a (3,36) mezi momentem hybnosti a momentem síly lze též dobře demonstrovat na vyšetřovaném příkladě. Impuls síly v časovém intervalu stanovíme dle definiční rovnice (3,27) . Dostaneme

.	(4,19)

Hybnost hmotného bodu v místě O je dána vektorem , hybnost hmotného bodu v čase T je dána vektorem , jak lze zjistit dosazením rychlosti z rovnic (4,14) . Změna hybnosti hmotného bodu, tj. rozdíl hybností , je vektor o složkách , tedy vektor totožný s vektorem impulsu , jehož složky jsou dány rovnicemi (4,19) , což odpovídá ověřované rovnici (3,28) .

Moment hybnosti hmotného m vzhledem k počátku soustavy souřadnic je dán výrazem (3,35)

.	(3,35)

Polohový vektor je vektor o složkách rovných souřadnicím hmotného bodu, tedy dle rovnic (4,13) je . Složky vektoru jsou dány rovnicemi (4,14) . Vypočteme-li s takto zadanými vektory a vektorový součin (3,35) , zjistíme, že vektor má jedinou nenulovou složku

.	(4,20)

Moment síly vůči počátku soustavy souřadnic je dle (3,32) . Moment síly působící na vyšetřovaný hmotný bod v čase t dostaneme vektorovým vynásobením vektoru vektorem . Zjistíme, že vektor má jedinou nenulovou složku

.	(4,21)

Kladná znaménka na pravých stranách rovnic (4,20) a (4,21) jsou podmíněně předpokladem, že užíváme pravotočivou soustavu souřadnic. Zderivujeme-li rovnici (4,20) dle času t, dostaneme

Pravá strana poslední rovnice je totožná s pravou stranou rovnice (4,21) , tedy . Vzhledem k nulovým hodnotám ostatních složek vektorů a jsou rovnice pro splněny triviálně. Přímým výpočtem jsme získali rovnici

která souhlasí s obecnou rovnicí (3,36) .

Při šikmém vrhu na hmotný bod působí pouze tíhové síly. Hmotný bod není podroben žádným vazbám, říkáme, že je volný . Zákon zachování energie (4,17) platí i pro pohyby hmotných bodů, na které v konzervativním silovém poli působí vazby takového druhu, že vazbové síly nekonají na hmotný bod práci. Nejznámějšími takovými pohyby v tíhovém poli jsou pohyb bez tření po nakloněné rovině a pohyb matematického kyvadla. Vazbové síly udržující hmotný bod na nakloněné rovině a vazbové síly udržující hmotný bod matematického kyvadla v pevné vzdálenosti od bodu závěsu jsou kolmé ke směru pohybu, a proto nekonají práci.

Vyjdeme-li ze zákona zachování energie (4,17) v tíhovém poli, můžeme snadno určit velikost rychlosti , kterou hmotný bod o hmotnosti m volně vypuštěný z bodu B na nakloněné rovině získá v bodě C této roviny (viz obr.16). Energie kinetická v bodě B je a energie potenciální (užíváme soustavu souřadnic se svislou osou , směr tíže je na obr.16 vyznačen). V bodě C je energie kinetická a energie potenciální . Z rovnice (4,17) plyne

.	(4,22)

Odtud pro hledanou velikost rychlosti dostaneme

.	(4,23)

V posledním výraze je symbolem h označena výšková odlehlost bodů B a C. Rychlost (4,23) je stejná, jakou by nabyl hmotný bod vypuštěný nulovou počáteční rychlostí volným pádem z výše h při dopadu na zem nebo jakou by nabyl v místě C hmotný bod vázaný vazbou matematického kyvadla vypuštěný nulovou počáteční rychlostí z bodu B v případě, že výšková odlehlost míst B a C je h (viz obr.17).

V rovnici (4,22) není totiž nijak zachycena specifičnost pohybu po nakloněné rovině. Vypočtená velikost rychlosti (4,23) závisí pouze na výškové odlehlosti bodů B a C a není podstatné, jakou cestu hmotný bod v tíhovém poli mezi body B a C vykonal.

Je-li např. hmotný bod nucen pohybovat se po dráze naznačené na obr.18, znovu jeho rychlost v bodě C bude rovna , když byl vypuštěn z bodu B nulovou počáteční rychlostí. V tomto případě do-spěje hmotný bod do bodu D, který se nachází v tíhovém poli ve stejné výšce jako bod B, vrátí se do bodu B a pohyb se bude stále opakovat. Uvažujeme totiž ide-alizovaný případ, kdy nepůsobí disipativní sily (síly tření).

Celková mechanická energie hmotného bodu v místě B je rovna mgh;

když nulovou hladinu potenciální energie položíme do bodu C. Celková mechanická energie se při pohybu zachovává. Pro body výše položené, než je bod D, by samotná potenciální energie byla vyšší, než je celková energie hmotného bodu. To je však nemožné, protože kinetická energie je veličina nezáporná. Chceme-li, aby hmotný bod se dostal do bodu K naznačeného na obr.18, musíme mu v bodě B udělit rychlost takovou, aby celková energie hmotného bodu v bodě B byla nejméně rovna potenciální energii hmotného bodu v bodě K. Z rovnice (4,17) tak pro rychlost dostáváme podmínku

tedy

Nezáleží na tom, kterým směrem tuto rychlost hmotného bodu v bodě B udělíme. Udělíme-li mu rychlost , bude se hmotný bod pohybovat přes obě minima dráhy naznačené na obr.18 až do výšky , určené konkrétní hodnotou . Na obr.18 jsou meze pohybu v takovém případě označeny M a N.