Dva hmotné body o hmotnostech a , jejichž vzdálenost je r , působí na sebe silou, jejíž velikost je

(4,1)

Tato síla je přitažlivá a působí ve směru spojnice obou bodů. Nachází-li se první hmotný bod v místě daném polohovým vektorem a druhý v místě daném polohovým vektorem , platí pro sílu , kterou působí prvý bod na druhý, vektorové vyjádření

(4,2)

Podle třetího Newtonova zákona pro sílu , kterou působí druhý bod na první, platí . Právě vyslovený zákon je zákonem všeobecné gravitace.

Keplerovy zákony, které tvořily jeden ze základních poznatků pro vyslovení Newtonových zákonů, lze vysvětlit v jejich rámci, předpokládáme-li, že mezi Sluncem a planetami působí gravitační síly dané rovnicemi (4,2) (viz čl. 4.3). Konstantu

z rovnic (4,1) a (4,2) je nutno určit experimentálně, neboť jednotky pro sílu, hmotnost a délku jsou v soustavě jednotek SI voleny nezávisle na všeobecném gravitačním zákoně. Bývá pro ni udávána hodnota

Obecně by bylo možné vycházet při budování soustavy jednotek (viz

) ze všeobecného gravitačního zákona a pokládat v něm konstantu

za bezrozměrový výraz o velikosti rovné jedné. Pak by obvykle volené základní veličiny hmotnost, délka a čas nebyly nezávislé a počet základních veličin pro mechaniku by se snížil ze tří na dvě. Praktické zavedení zde navržené soustavy jednotek je však stěží proveditelné, protože přesnost, s jakou jsme schopni stanovit gravitační konstantu, je malá. V době, kdy se vytvářela nyní všeobecně uznávaná soustava SI, byla gravitační konstanta známa pouze na tři platné číslice, tedy s relativní přesností 10 ³ , přestože se jejímu měření věnovala značná péče. Gravitační konstantu lze totiž stanovit pouze z měření přitažlivých sil mezi hmotnostmi, jejichž velikost jsme schopni stanovit vážením. Velikost takových hmotností je podstatně menší než hmotnost nebeských těles a přitažlivé síly mezi nimi jsou velmi malé. Klasická měření tohoto typu prováděli Cavendish torzními vahami a Eőtvős kompenzační metodou modifikovanými klasickými vahami (experimentální podrobnosti viz [5], [7]). Jak je vidět z výše uvedené hodnoty gravitační konstanty k , je současně udávaná hodnota stanovena s přesností asi o řád lepší. Některá poslední měření ukazují na další zpřesnění její hodnoty, ale přesto je taková přesnost hluboko pod přesností, s jakou je třeba provádět měření s veličinami, které stojí v čele prakticky použitelné soustavy jednotek.

Budeme vyšetřovat gravitační silové pole, které vzniká v okolí hmotného bodu o hmotnosti M a pohyb hmotného bodu o hmotnosti m v tomto silovém poli. Při tom budeme předpokládat, že

, abychom mohli položit počátek souřadné soustavy do bodu o hmotnosti M a tuto soustavu při tom pokládat za soustavu inerciální. Ve zvolené soustavě souřadné je totiž hmotný bod o hmotnosti M v klidu, ale působí na něj síla od hmotného bodu o hmotnosti m . Soustava souřadná spjatá s bodem o hmotnosti M není tedy inerciální. V čl.5.6 však ukážeme, že za předpokladu

, lze soustavu souřadnou spjatou s bodem M pokládat pro vyšetřování gravitačního působení v dobrém přiblížení za inerciální soustavu souřadnou. Dále v citovaném článku ukážeme, jak lze přesně řešit problém vzájemného pohybu hmotných bodů o hmotnostech m a M i bez předpokladu

. V této kapitole budeme pracovat v soustavě souřadné spjaté s bodem o hmotnosti M a budeme o ní předpokládat, že je inerciální.

Toto zjednodušení není jen početním zjednodušením, ale umožní nám učinit závěry pro celou planetární soustavu a tu již nelze jednoduše převést na řešení v inerciální soustavě. Je to problém více těles a ne jen dvou těles, který jediný je postupem uvedeným v čl.5.6 přesně řešitelný.

V soustavě souřadné s počátkem v bodě o hmotnosti M lze gravitační sílu (4,2) působící na bod o hmotnosti m , který se nachází v místě

, zapsat ve tvaru

Síla

je rovnicí (4,3) určena pro všechny body, jejichž polohový vektor

je různý od nulového vektoru, tj. pro všechny body

prostoru s výjimkou počátku soustavy souřadnic, pro který všechna

jsou současně rovna nule. Říkáme, že rovnicí (4,3) je zadáno gravitační silové pole bodu o hmotnosti M . Jeho intenzita dle definice (3,22) je

Vypočteme práci

vykonanou polem (4,3) na hmotný bod, přejde-li z místa C, jehož po-lohový vektor označíme

, do místa D o polohovém vektoru

. Dle (3,4) je práce

Skalární součin

je průmětem elementu dráhy

do radiálního směru, a tedy

. Výraz pod integrálem se zjednoduší na tvar závislý pouze na velikosti r ,

Výsledek výpočtu ukazuje, že práce

je závislá na rozdílu vzdáleností bodů C a D od počátku soustavy souřadnic, tj. od bodu hmotnosti M a nezávisí na volbě cesty z bodu C do bodu D. Z toho plyne, že gravitační silové pole bodu o hmotnosti M je konzervativní a lze tedy dle rovnice (3,14) ,

, zavést rozdíl potenciálních energií mezi libovolnými dvěma body (s výjimkou počátku soustavy souřadnic) tohoto pole. Rozdíl je roven, dosadíme-li právě vypočtenou hodnotu práce

, výrazu

Abychom získali potenciální energii jako jednoznačnou funkci souřadnic, zvolíme její hodnotu v jednom bodě pole. Ve shodě s obvyklou volbou položíme hodnotu potenciální energie v nekonečně vzdáleném bodě rovnu nule. Za nekonečně vzdálený budeme v rovnici (4,5) pokládat např. bod D, a tedy

. Z rovnice (4,5) potom pro hodnotu potenciální energie v bodě C dostáváme

, jelikož z podmínky

plyne

. Hodnota

je jednoznačnou funkcí souřadnic, index C je zbytečné dále psát a pro zavedenou standardní volbu nulové hladiny potenciální energie budeme dále uvažovat potenciální energii gravitačního pole bodu o hmotnosti M jako skalární funkci souřadnic (zde pouze vzdálenosti r)

a snadno lze ověřit i platnost vztahu (3,24) pro zde vyšetřovaný případ gravitačního pole.

Potenciální energii (4,6) lze, zavedeme-li kartézské souřadnice

, psát ve tvaru

Tak jsme přímým výpočtem pro vyšetřované silové pole ověřili platnost obecné rovnice (3,21) . Ověření rovnic (3,28) by bylo zcela analogické, pouze obě strany uvažovaných rovnic by byly vyděleny hmotností m .

4.1 Gravitační pole