Dva hmotné body o hmotnostech
a
, jejichž vzdálenost je r
, působí na sebe silou, jejíž velikost je
![]() |
(4,1) |
Tato síla je přitažlivá a působí ve směru spojnice obou bodů.
Nachází-li se první hmotný bod v místě daném polohovým vektorem
a druhý v místě daném polohovým
vektorem
, platí pro sílu
, kterou působí prvý bod na druhý, vektorové vyjádření
![]() |
(4,2) |
Podle třetího Newtonova zákona pro sílu
, kterou působí druhý bod na první, platí
.
Právě vyslovený zákon je zákonem všeobecné gravitace.
Keplerovy zákony, které tvořily jeden ze základních poznatků
pro vyslovení Newtonových zákonů, lze vysvětlit v jejich rámci,
předpokládáme-li, že mezi Sluncem a planetami působí gravitační síly dané
rovnicemi
(4,2)
(viz čl. 4.3). Konstantu
z rovnic
(4,1)
a
(4,2)
je nutno určit
experimentálně, neboť jednotky pro sílu, hmotnost a délku jsou v soustavě
jednotek SI voleny nezávisle na všeobecném gravitačním zákoně. Bývá pro ni
udávána hodnota
Obecně by bylo možné vycházet při budování soustavy jednotek
(viz
) ze všeobecného gravitačního zákona a
pokládat v něm konstantu
za bezrozměrový výraz o velikosti rovné
jedné. Pak by obvykle volené základní veličiny hmotnost, délka a čas nebyly
nezávislé a počet základních veličin pro mechaniku by se snížil ze tří na dvě.
Praktické zavedení zde navržené soustavy jednotek je však stěží proveditelné,
protože přesnost, s jakou jsme schopni stanovit gravitační konstantu, je
malá. V době, kdy se vytvářela nyní všeobecně uznávaná soustava SI, byla
gravitační konstanta známa pouze na tři platné číslice, tedy s relativní
přesností 10 3
, přestože se jejímu měření věnovala značná péče.
Gravitační konstantu lze totiž stanovit pouze z měření přitažlivých sil
mezi hmotnostmi, jejichž velikost jsme schopni stanovit vážením. Velikost
takových hmotností je podstatně menší než hmotnost nebeských těles a přitažlivé
síly mezi nimi jsou velmi malé. Klasická měření tohoto typu prováděli Cavendish
torzními vahami a Eőtvős kompenzační metodou modifikovanými klasickými vahami
(experimentální podrobnosti viz [5], [7]).
Jak je vidět z výše uvedené hodnoty gravitační konstanty k ,
je současně udávaná hodnota stanovena s přesností asi o řád lepší. Některá
poslední měření ukazují na další zpřesnění její hodnoty, ale přesto je taková
přesnost hluboko pod přesností, s jakou je třeba provádět měření
s veličinami, které stojí v čele prakticky použitelné soustavy
jednotek.
Budeme vyšetřovat gravitační silové pole, které vzniká
v okolí hmotného bodu o hmotnosti M
a pohyb hmotného bodu o hmotnosti m
v tomto silovém poli. Při tom budeme předpokládat, že
, abychom mohli položit počátek souřadné soustavy do bodu o hmotnosti
M a tuto soustavu při tom pokládat za soustavu
inerciální. Ve zvolené soustavě souřadné je totiž hmotný bod o hmotnosti
M v klidu, ale působí na něj síla od
hmotného bodu o hmotnosti m . Soustava souřadná spjatá s bodem
o hmotnosti M
není tedy inerciální.
V čl.5.6 však ukážeme, že za předpokladu
, lze soustavu souřadnou spjatou s bodem M
pokládat pro vyšetřování gravitačního působení v dobrém
přiblížení za inerciální soustavu souřadnou. Dále v citovaném článku
ukážeme, jak lze přesně řešit problém vzájemného pohybu hmotných bodů o
hmotnostech m a M
i bez předpokladu
. V této kapitole budeme pracovat v soustavě souřadné spjaté
s bodem o hmotnosti M
a budeme o ní předpokládat, že je inerciální.
Toto zjednodušení není jen početním zjednodušením, ale umožní nám učinit závěry pro celou planetární soustavu a tu již nelze jednoduše převést na řešení v inerciální soustavě. Je to problém více těles a ne jen dvou těles, který jediný je postupem uvedeným v čl.5.6 přesně řešitelný.
V soustavě souřadné s počátkem v bodě o hmotnosti
M lze gravitační sílu
(4,2)
působící na bod o hmotnosti m
, který se nachází v místě
, zapsat ve tvaru
![]() |
(4,3) |
Rovnicí
(4,3)
je síla
určena jako funkce souřadnic
![]() |
(4,3´) |
Síla
je rovnicí
(4,3)
určena pro všechny body,
jejichž polohový vektor
je různý od nulového vektoru, tj. pro
všechny body
prostoru s výjimkou počátku soustavy
souřadnic, pro který všechna
jsou současně rovna nule. Říkáme, že rovnicí
(4,3)
je zadáno gravitační silové pole
bodu o hmotnosti M
. Jeho intenzita dle definice
(3,22)
je
![]() |
(4,4) |
Vypočteme práci
vykonanou polem
(4,3)
na hmotný bod,
přejde-li z místa C, jehož po-lohový vektor označíme
, do místa D o polohovém vektoru
. Dle
(3,4)
je práce
![]() |
Skalární součin
je průmětem elementu dráhy
do radiálního směru, a tedy
. Výraz pod integrálem se zjednoduší na tvar závislý pouze na velikosti r ,
![]() |
Výsledek výpočtu ukazuje, že práce
je závislá
na rozdílu vzdáleností bodů C a D od počátku soustavy souřadnic, tj. od
bodu hmotnosti M
a nezávisí na volbě cesty
z bodu C do bodu D. Z toho plyne, že gravitační silové pole bodu o
hmotnosti M
je konzervativní a lze
tedy dle rovnice
(3,14)
,
, zavést rozdíl potenciálních energií mezi libovolnými dvěma body (s výjimkou
počátku soustavy souřadnic) tohoto pole. Rozdíl je roven, dosadíme-li právě
vypočtenou hodnotu práce
, výrazu
![]() |
(4,5) |
Abychom získali potenciální energii jako jednoznačnou funkci
souřadnic, zvolíme její hodnotu v jednom bodě pole. Ve shodě
s obvyklou volbou položíme hodnotu potenciální energie v nekonečně
vzdáleném bodě rovnu nule. Za nekonečně vzdálený budeme v rovnici
(4,5)
pokládat např. bod D, a tedy
. Z rovnice
(4,5)
potom pro hodnotu potenciální energie v bodě C
dostáváme
, jelikož z podmínky
plyne
. Hodnota
je jednoznačnou funkcí souřadnic, index C je
zbytečné dále psát a pro zavedenou standardní volbu nulové hladiny potenciální
energie budeme dále uvažovat potenciální energii gravitačního pole
bodu o hmotnosti M
jako skalární funkci souřadnic (zde pouze vzdálenosti r)
![]() |
(4,6) |
Potenciál gravitačního pole bodu o hmotnosti M (viz (3,23) ) má tvar
![]() |
(4,7) |
a snadno lze ověřit i platnost vztahu (3,24) pro zde vyšetřovaný případ gravitačního pole.
Potenciální energii
(4,6)
lze, zavedeme-li kartézské
souřadnice
, psát ve tvaru
![]() |
Parciální derivace
![]() |
Porovnáme-li tento výsledek s rovnicemi (4,3´) , vidíme, že
![]() |
Tak jsme přímým výpočtem pro vyšetřované silové pole ověřili platnost obecné rovnice (3,21) . Ověření rovnic (3,28) by bylo zcela analogické, pouze obě strany uvažovaných rovnic by byly vyděleny hmotností m .