O nepříliš rychle proudící viskózní tekutině předpokládáme, že lne ke stěnám, kolem kterých proudí. Smykové napětí u těchto stěn není nulové, a proto tekutina na obtékané předměty působí nenulovými silami. Dalším zdrojem sil působících od tekutiny na obtékané předměty je nerovnoměrně rozložený tlak kolem těles.

4.6.1 Stokesův zákon

Je-li Reynoldsovo číslo příslušné uvažovanému proudění malé (řádu jednotek), převládá v odporu prostředí vliv viskózních smykových sil. Když obtékaným předmětem je koule poloměru R, lze v tomto případě výslednou sílu

působící od tekutiny na kouli spočítat (např. [1], čl. 18.8). Velikost

této síly lze aproximovat výrazem

kde

je viskozita proudící tekutiny a v velikost její rychlosti v místech, kde již proudění není ovlivněno přítomností koule. Síla

má stejný směr a smysl jako rychlost

v dostatečné vzdálenosti od koule. Síla velikosti (4,145) působí též na kouli pohybující se rychlostí

vůči tekutině, která je v klidu. V tomto případě je smysl síly

opačný, než je smysl rychlosti

koule. Rovnice (4,145) se nazývá Stokesův zákon a bývá užívána k vystižení odporu, který tekuté prostředí klade pohybu částic, jež lze alespoň přibližně pokládat za kulové, při proudění, kdy Reynoldsovo číslo (4,137) je řádu jednotek.

K stanovení Reynoldsova čísla dosazujeme do definiční rovnice (4,137) za v vzájemnou rychlost tekutiny a částice a za R poloměr koule případně obdobný charakteristický rozměr částic. Stokesův zákon tedy správně popisuje odpor prostředí vůči pohybu částic kulovitého tvaru, když rychlost pohybu nebo rozměry částic jsou malé nebo když je velká kinematická viskozita prostředí

. V takovýchto podmínkách pracuje Stokesův viskozimetr (viz např. [6], čl. 2.5.3.2), který z rychlosti pádu kuliček v kapalině určuje viskozitu kapaliny.

Odpor prostředí úměrný rychlosti částic, tj. stejnou závislost, jaká je ve Stokesově zákoně, jsme již uvažovali v I při zavedení odporující síly (4,57) . Zde je si třeba uvědomit, že výsledky získané zavedením tohoto předpokladu např. při řešení tlumených a vynucených kmitů (I, 4.5 a I, 4.6) znamenají, že výsledky tam uvedených řešení budou odpovídat realitě, jen když tlumení lze alespoň přibližně popsat Stokesovým zákonem. V případech složitějších tlumení, např. takových, jaká odpovídají dále uvedenému (4,146) Newtonovu odporovému vzorci, bude řešení tlumených a vynucených kmitů podstatně složitější. Rovnice totiž přestanou být lineárními.

4.6.2 Newtonův odporový vzorec

Vyšetřit velikost sil působících na těleso libovolného tvaru při různě velkých vzájemných rychlostech tělesa a prostředí je složitý úkol, který velmi často je nutno řešit experimentálně.V případě, kdy hlavním zdrojem odporu prostředí nejsou viskózní síly, ale rozdíl tlaku před tělesem a za tělesem, se odpor prostředí aproximuje Newtonovým odporovým vzorcem

který bývá uváděn ve středoškolských učebnicích. V tomto vzorci je F velikost odporové síly, která míří ve směru rozdílu rychlosti prostředí a rychlosti obtékaného tělesa, C je součinitel odporu,

hustota tekutiny, S průřez vystavený proudění, tedy kolmý ke směru vzájemné rychlosti

prostředí a tělesa.

4.6.3 Obtékání, mezní vrstvy a úplav

Složitá závislost odporu koule na Reynoldsově čísle vyjádřená grafem z obr.77 je dána výrazně se měnícím způsobem obtékání při různých Reynoldsových číslech. V této stati na příkladu koule uvedeme některé základní pojmy vztahující se ke studiu obtékání těles.

Obtéká-li reálná tekutina, tj. tekutina s nenulovou viskozitou, laminárně nějaké těleso, je na povrchu tělesa vzájemná rychlost proudění a tělesa nulová, tekutina na tělese lpí. V úzké mezní vrstvě dojde k vyrovnání vzájemné rychlosti od nulové hodnoty k hodnotě typické pro hlavní proud obtékající tekutiny. Mezní vrstva obvykle od náběhové části obtékaného tělesa směrem k jeho odvrácené straně se rozšiřuje, laminární mezní vrstva bezprostředně obepínající těleso přechází ve větších vzdálenostech od tělesa v turbulentní mezní vrstvu a posléze se mezní vrstva od tělesa odtrhne a za tělesem nastane oblast turbulentního proudění nazývaná úplav.

Na obr. 78. jsou znázorněny různé způsoby obtékání, přičemž stoupající hodnota římské číslice odpovídá vzrůstající rychlosti obtékání. Způsob obtékání naznačený pro kouli označenou I odpovídá případu, kdy laminární mezní vrstva těsně obepíná kouli, proudění mimo mezní vrstvu se velmi podobá obtékání ideální tekutinou (srov. s obtékáním válce vyšetřovaným dále ve statích 4.6.5 a 4.7.2) a odpor prostředí je dán převážně viskózními, tedy třecími silami. Pro nejnižší hodnoty Reynoldsova čísla lze tento odpor vystihnout Stokesovým odporovým zákonem (4,145) , ale způsob obtékání I se udrží až do . Po překročení této hodnoty dojde na zadní straně koule v místě označeném S k odtržení mezní vrstvy, vytvoření úplavu (viz obr. koule II) a tlaková složka odporu začne být podstatná. Od minima na křivce znázorněné na obr.77, tedy od , se vytvoří charakter obtékání znázorněný pro kouli označenou III IV. Způsob značení napovídá, že při podrobnějším zkoumání se ještě oblast tohoto typu obtékání dělí na dvě, a to na oblast, kde křivka mírně stoupá a oblast, kde její hodnota je téměř konstantní. My nebudeme obě oblasti rozlišovat a dohromady je budeme pokládat, za oblast, kde funkce je přibližně konstantní a kde tedy platí Newtonův odporový vzorec v jednoduchém tvaru (4,146) . V této oblasti, která končí před kritickým poklesem funkce , tj. u hodnoty je úplav za koulí nejširší a odpor, který je až z 95% tlakový, je největší. Obtékání po překročení kritického poklesu, tedy pro Re větší než asi 4.10⁵ , získá charakter znázorněný pro kouli označenou V . Šířka úplavu se zúží a tím se zmenší i tlaková odporová síla působící na kouli, která tvoří rozhodující složku odporu koule.

Tlakový odpor vzniká tím, že v oblasti úplavu, kam proudící tekutina proniká s obtížemi, je menší tlak než na čelní stěně obtékaného předmětu. Rozhodující význam tlakové složky odporu odráží Newtonův odporový vzorec

,	(4,146)

který, vydělíme-li jej velikostí S průřezu obtékaného předmětu vystaveného proudu, můžeme přepsat na tvar

kde je průměrný tlak na té straně předmětu, která je vystavena proudu a průměrný tlak na odvrácené straně. Poslední rovnice říká, že rozdíl těchto tlaků je úměrný kinetické energii objemové jednotky dopadajícího proudu, přičemž konstanta C je konstantou úměrnosti, která závisí na tvaru obtékaného předmětu.

Vrátíme se k prudkému poklesu odporu koule v kritické oblasti funkce , který nastává přibližně mezi hodnotami Re = 2.10⁵ a Re = 4.10⁵. Na obr. 78 jsou vyznačena místa odtržení mezní vrstvy S a místa T, kde dochází k přechodu laminární mezní vrstvy ve vrstvu turbulentní. V oblasti, kde odpor je velký (koule značená III IV), jsou body S a T vzdáleny a turbulentní mezní vrstva vzniká daleko za koulí. Dalším zvýšením rychlosti obtékání dojde v kritické oblasti k splynutí bodu odtržení S a bodu vzniku turbulentní vrstvy T a poté k vytvoření turbulentní mezní vrstvy na kouli, která je odolnější vůči odtržení než laminární vrstva. Bod odtržení mezní vrstvy se posune dále po kouli ve směru rychlosti , jak je naznačeno při znázornění obtékání koule označené V na obr.78. Úplav za koulí se tím podstatně zúží.

Zúžení úplavu je schematicky znázorněno na obr.79. Obr.79a) ukazuje rozsah úplavu (značen tmavě) v podkritické oblasti, tj. pro Re menši než v oblasti kritického poklesu funkce , a obr.79b) rozsah úplavu v nadkritické oblasti. V úplavu je podstatně nižší tlak než je tlak v části toku před koulí. Podstatné zúžení úplavu v nadkritické oblasti tak způsobí, že odporová síla, která je dána násobkem tlaku a plochy úplavu za koulí, výrazně poklesne.

Studium obtékání těles je jedna z nejsložitějších a prakticky nejdůležitějších otázek reálné mechaniky tekutin. To, co jsme zde o problému uvedli, je jen úvodem do problematiky, kterou podrobněji můžete nastudovat např. v [34] - [41], [57] a v některých titulech z třetí části seznamu literatury.

4.6.4 Odpor kolmý ke směru vzájemné rychlosti tělesa a prostředí

Zvláštností silového působení při vzájemném pohybu tělesa a tekutého prostředí je možnost vzniku silové složky kolmé ke směru vzájemné rychlosti tělesa a prostředí. Tato složka vzniká, když tvar obtékaného tělesa není symetrický vzhledem ke směru vzájemné rychlosti nebo když se obtékané těleso otáčí. První případ je bohatě využíván při konstrukci letadel těžších vzduchu a bude podrobněji probrán v stati 4.6.6. Síla kolmá ke směru pohybu obvykle mířící svisle vzhůru se nazývá vztlakem. Někdy se označení vztlak užívá v širším slova smyslu pro veškeré odporové síly mířící kolmo ke vzájemné rychlosti tělesa a prostředí, i když tyto síly nemíří svisle vzhůru, tedy i v případě těles rotujících kolem libovolně orientované osy.

Druhý případ známý pod názvem Magnusův jev [54] byl aplikován Flettnerem pro pohon a řízení lodí, které měly místo plachet svislé rotující válce. Mnohostranně, většinou zcela intuitivně, je Magnusův jev využíván v míčových hrách, kde roztočením míčů (hovorově falšováním) se dosahuje překvapivých změn jejich dráhy. Ve vojenství se musí se stranovou odchylkou roztočených střel také počítat. Jev je zde označován jako derivace a existují tabulky na jeho kompenzaci i pro střelbu z ručních zbraní. Při dělostřelbě je jeho započtení naprosto nezbytné. Magnusův jev probereme již v následující stati, protože jeho výklad je poněkud jednodušší než výklad vztlaku nad nesymetrickým křídlem.

4.6.5 Magnusův jev

Kvalitativně lze vznik Magnusova jevu pochopit dle obr. 80. Na něm je schematicky znázorněno obtékání rotujícího válce tekutinou. Rotující válec strhává tekutinu, a proto nad válcem je proudění rychlejší, proudnice hustší a tlak tedy dle Bernoulliovy rovnice (4,91) nižší. Při roztočení válce obtékaného tekutinou vzniká tedy síla kolmá k rychlosti obtékané tekutiny (uvažuje se rychlost v místech tak vzdálených od válce, že již přítomnost válce tuto rychlost neovlivňuje), která v zobrazeném příkladě působí na válec svisle vzhůru.

Schematičnost obrázku 80 spočívá v tom, že zobrazuje obtékání tak, jako by se jednalo o obtékání ideální tekutinou. Takový model se sice užívá k elementárnímu vyjádření velikosti Magnusova jevu (4,152) , jak dále ukážeme (viz též stať 4.7.2), ale zcela ignoruje jevy popsané ve statích 4.6.2 a 4.6.3. Symetričnost obrázku podél svislé osy procházející osou válce způsobuje, že z modelu plyne nulová odporová síla namísto realistické odporové síly vyjádřené odporovým vzorcem (4,174) . Neuvažování vzniku mezní vrstvy a úplavu, může v některých případech vést až k tomu, že reálná Magnusova síla bude mít opačné znaménko, než plyne ze vzorce (4,152) odvozeného ze zjednodušeného modelu. Mluvíme pak o inverzním Magnusovu jevu, který je způsoben především nesymetrickým odtrhávání mezní vrstvy.

Podrobně se problematikou Magnusova jevu a jeho aplikací na pohyb rotujících, tedy falšovaných míčů zabýval můj diplomant L. Bernard [58]. Vytvořil počítačový program, který na základě v práci uvedených aproximací pro různé druhy míčů umožňuje předpovídat jejich pohyb, známe-li počáteční rotaci míčů. Program je třeba chápat ne jako definitivní nástroj k stanovení pohybu falšovaných míčů, ale jako interaktivní program, jehož pomocí vypočteme pohyb míče na základě vložených aproximací působících sil, srovnáme jej s experimentálně zjištěným, upřesníme aproximace a tak iterativně získáváme stále lepší shodu výpočtu s experimentem. Tímto postupem také postupně získáme přesnější obraz o silách, které skutečně na rotující míč působí.

Podrobněji se s problematikou Magnusova jevu můžete seznámit např. v právě citované práci [58]. Můžete si tam uvědomit, že už pouhé nahrazení válce míčem, tedy koulí, podstatně zkomplikuje teroretické řešení problému, protože jej již nelze chápat jako rovinný problém (srov. str. 35). Zde uvedeme jen základní odvození velikosti Magnusova jevu, které vychází z modelování děje představou, že nekonečný válec je obtékán ideální tekutinou. Tedy, že obtékání vypadá tak, jak je naznačeno na obr. 80. Je to přístup v mechanice tekutin dosti často užívaný. Jeho oprávněnost podrobněji zhodnotíme v čl. 4.7, především ve stati 4.7.2. Hlavní nedostatky přístupu jsme již výše uvedli a podrobněji jsou rozebrány v [58]. Přesto je důležité odvození uvést, protože nám ukáže, jak lze teoretickými přístupy mechaniky tekutin zdůvodnit podstatu jevu.

Odvození Magnusovy síly užitím modelu obtékání válce ideální tekutinou

Proudění znázorněné na obr. 80, můžeme popsat rychlostním potenciálem (srov. rov. (4,49) - místo obecného označení funkce f budeme dále pro rychlostní potenciál užívat obvyklého značení )

,	(4,148)

který je složením rychlostního potenciálu rovnoměrného proudění (4,183)

proudění elementárního dubletu (4,194)

a potenciálového víru (4,205)

V posledních třech rovnicích jsme užili neobvyklého odkazování na rovnice dále v textu, protože ve stati 4.7.2, kam je odkazování směřováno, budou uvedené rychlostní potenciály podrobně rozebrány.

V rov. (4,148) je velikost rychlosti proudění v místech dostatečně vzdálených od válce, poloměr válce a w úhlová rychlost jeho otáčení; při rotaci znázorněné na obr.80 je w záporné. Počátek soustavy souřadnic je volen uprostřed kružnice znázorňující válec, x je vodorovná a y svislá souřadnice, ve vyjádření potenciálu je v druhé rovnici užita polární úhlová souřadnice j. Volba potenciálu (4,148) umožní splnění okrajových podmínek uvažovaného proudění, kterými jsou rychlost proudění na povrchu válce shodná s rychlostí válce a rychlost válce v nekonečnu o velikosti mířící ve směru kladné osy x. To, že lze do výrazu pro potenciál , z kterého počítáme rychlost proudění dle vzorce (4,49)

,	(4,49)

zařadit i potenciál víru, rozebereme podrobně ve stati 4.7.2.

Z potenciálu (4,148) lze spočítat čtverec velikost rychlosti jako

.	(4,149)

Vezmeme-li proudnice těsně obepínající válec shora a zdola a spočteme pro jejich body velikosti rychlosti dle rov. (4,149) , můžeme dle Bernoulliovy rovnice (4,91)

(4,150)

vypočítat rozdíly tlaků v jednotlivých bodech těchto proudnic oproti tlaku v místech dostatečně vzdálených od válce. Rozdíly výšek v tíhovém poli vedou totiž k zanedbatelným rozdílům hodnot objemových potenciálních energií . Z rozdílu tlaků můžeme integrací podél celého obvodu válce vypočítat sílu působící na úsek válce délky l ;

.	(4,151)

V poslední rovnici je vnější normála válcové plochy v místě, kde polární úhlová souřadnice má hodnotu j. Provedeme-li výpočet dle rovnice (4,151) , dostaneme pro velikost síly působící na úsek válce délky l , tj. pro velikost Magnusovy síly, vyjádření

.	(4,152)

Síla míří ve směru kladné osy y , tj. v případě znázorněném na obr. 80 svisle vzhůru.

Modelujeme-li Magnusův jev jako obtékání nekonečného válce ideální tekutinou, tedy předpokládáme-li, že proudnice mají tvar znázorněný na obr.80, dostaneme početně exaktně zvládnutelný problém, který však vysvětluje jen základní rysy jevu. Ukazuje, že rotací způsobená asymetrie proudění podél osy x vede ke vzniku síly kolmé ke směru vzájemného pohybu válce a tekutiny. Vzhledem k symetrii obrazu proudění podél osy y není model schopen vystihnout reálně bezesporu existující složku síly působící ve směru osy x , tj. odporovou sílu vyjádřenou rovnicí (4,147) . Zcela také ignoruje otázky, o kterých jsme se zmínili ve stati 4.6.3. Mezní vrstva a úplav podstatně od válce oddálí oblast, kde lze proudění alespoň přibližně pokládat za proudění ideální tekutiny, navíc rotace válce způsobí asymetrii v odtrhávání mezní vrstvy vůči ose x , a tím může v nepříznivých případech natolik ovlivnit složku síly kolmou ke směru vzájemného pohybu válce a tekutiny, že síla bude mít nejen zcela jinou hodnotu, ale i opačnou orientaci, než jakou dává modelový výpočet, který vede k rovnici (4,152) . Vznikne tedy výše zmíněný inverzní Magnusův jev.

Na příkladu výpočtu Magnusovy síly (4,152) a rozboru jeho věrohodnosti jsme si naznačili přednosti a nedostatky řešení úloh mechaniky tekutin modelem rovinného proudění ideální tekutiny. Další možnosti tohoto modelu ukážeme v následující stati, když jím vyložíme vznik vztlakové síly při obtékání křídla.

4.6.6 Fyzika letu

Jako fyzika letu se označuje ta část aerodynamiky, která studuje podmínky letu ptáků a letadel. Základem fyziky letu je vyšetřování sil působících na křídlo obtékané vzduchem. Zde nejprve kvalitativně vysvětlíme, proč křídlo letadlo či ptáka ve vzduchu udrží a jaké síly na ně ve vzduchu působí. Potom stručně naznačíme, jak mechanika tekutin vypočítává užitím modelu ideální tekutiny vztlak, který nadnáší křídlo a jak přejde k realističtějším modelům obtékání, které umožní uvažovat i další síly působící na letící těleso, především odpor proti postupnému pohybu.

Na schematickém obr.81 je znázorněn profil křídla a proudnice vystihující vzájemný pohyb křídla a obtékajícího vzduchu. Je na něm naznačen případ, kdy spodní plocha křídla je vodorovná, tedy dále definovaný náběhový úhel a nulový. I v tomto případě vznikne vztlaková síla udržující křídlo ve vzduchu. Asymetrický tvar křídla způsobí zhuštění proudnic nad vypuklou horní plochou oproti jejich vzdálenostem v oblasti pod rovinnou spodní plochou křídla. Dle Bernoulliovy rovnice (4,91) zhuštění proudnic nad křídlem odpovídá zvýšení rychlosti a tím snížení tlaku nad křídlem oproti tlaku, který je pod křídlem. Při aplikaci Bernoulliovy rovnice předpokládáme, že v místech dostatečně vzdálených od křídla, jsou tlak a vzájemná rychlost pro všechny proudnice stejné a rozdíly v nadmořské výšce zanedbatelné.

Na obr.82 jsou znázorněny síly, které působí na křídlo obtékané vzduchem. Kromě již zmíněné vztlakové síly , která působí proti tíhové síle a udržuje letící těleso ve vzduchu, je to odporová síla , jejíž velikost se určuje způsobem vyloženým ve stati 4.6.2. Celková reakční síla působící na křídlo je při rovnoměrném letu kompenzována výslednicí tíhy letadla a tažné síly přenesené na křídlo. Vztlaková síla závisí na tvaru křídla a též na úhlu náběhu a , který je znázorněn na obr.82. Vztlaková síla je kladná (míří vzhůru) od mírně záporných hodnot úhlu a a svého maxima dosahuje v okolí . Při takto vysokých hodnotách úhlu náběhu již podstatně roste odporová síla a let se stává nestabilním. Případ nulového úhlu náběhu je zobrazen na obr.81 a rozebrán v textu k tomuto obrázku.

Jak dále ukážeme, použijeme-li k výkladu vztlaku model ideální tekutiny, dostaneme podobně jako v případě Magnusova jevu (stať 4.6.5) nulovou odporovou sílu. K výpočtu reálných odporových sil musíme užít modely proudění zmíněné ve stati 4.6.3. Ve fyzice letu je však nyní třeba zkoumat i lety nadzvukovou rychlostí, tedy lety, kdy Machovo číslo Ma (4,143) má hodnotu větší než 1. V takových případech musíme Machovo číslo zařadit do podobnostních úvah (stať 4.5.3) a už ani metody naznačené ve stati 4.6.3 nestačí a je třeba budovat novou aerodynamiku nadzvukových rychlostí (např.[59]).

Žukovského transformace

Rovnice (4,148) určuje rychlostní potenciál pro obtékání rotujícího válce. Analogii vzniku vztlakové síly (Magnusovy síly) při tomto obtékání a obtékání křídla (asymetrického tvaru vloženého do proudu) lze dobře teoreticky zdůvodnit. Aby funkce (4,148) byla potenciálem popisujícím zadaný typ proudění, musí splňovat okrajové podmínky problému a musí být harmonickou funkcí, tj. splňovat podmínku

(4,153)

v celé oblasti, kde popisuje proudění. Pro rovinné proudění platí důležité pravidlo (viz. např. [1], čl..15.5 nebo [60]), které říká, že řeší-li potenciál problém proudění v jistém geometrickém uspořádání, bude ho řešit i v geometrickém uspořádání, které z původního vznikne konformním zobrazením. Podrobněji problematiku konformního zobrazení probereme ve stati 4.7.2.

Konformní zobrazení zachovává úhly mezi zobrazovanými přímkami, v případě proudění pravé úhly mezi proudnicemi a ekvipotenciálními plochami rychlostního potenciálu . Konformní zobrazení převádějící obtékání rotujícího válce na obtékání tělesa tvaru, kterým lze modelovat profil křídla, lze přehledně vyjádřit jako zobrazení komplexní roviny do komplexní roviny z dané funkcí

.	(4,154)

Pro zobrazení (4,154) , kde l je reálná konstanta rozměru délky, se užívá název Žukovského transformace. Zvolíme-li v rovině vhodným způsobem kružnici k bude jejím obrazem v rovině tvar podobný křídlu, jak je naznačeno na obr.83. Na plně vytažený obrys "křídla" se zobrazuje plně vyznačená kružnice k se středem v bodě S. Na obrázku je ještě čárkovaně zobrazena kružnice se středem P, která se zobrazí na čárkovaný oblouk začínající v bodě B a končící v bodě A. (podrobně viz [1], čl. 15.5). Na obr. 84 je ukázáno, jak se při tomto zobrazení budou transformovat proudnice a ekvi-potenciální plochy. Úhlová rychlost otáčení válce w v předlohové rovině byla volena tak, aby při trans-formaci na profil "křídla" byla rychlost u jeho zadní ostré hrany konečná (srov. [1], čl. 15.6).

Podél "křídla" se rychlost rozloží tak, aby cirkulace rychlosti (srov. (4,162) ) podél křivky ohraničující profil křídla

(4,155)

byla stejná jako cirkulace

(4,156)

podél kružnice reprezentující profil válce v předlohové rovině . Ze složek skládajících rychlostní potenciál (4,148) jedině potenciálový vír má cirkulaci různou od nuly. Proto cirkulace (4,156) rychlostního potenciálu je shodná s cirkulací potenciálového víru, kterou lze jednoduše vypočítat jako násobek konstantní rychlosti na proudnici obepínající rotující válec násobený délkou této proudnice (srov. (4,205) ), tedy

jak jsme již uvedli v rovnici (4,156) .

Jak v případě předlohové roviny popisující problém Magnusova jevu, tak i v případě transformované roviny popisující obtékání křídla, je absolutní hodnota součinu rychlosti a délky hraniční křivky (válce, resp. "křídla") na vrchní straně křivek větší než na spodní straně. Proto výsledná cirkulace je nenulová.

Konformním zobrazením se cirkulace nemění, jak jsme již mlčky předpokládali při úvaze o rozložení rychlosti podél křídla uvedené před rovnicí (4,156) . Vztlaková síla působící na "křídlo" je tedy dána stejným výrazem jako Magnusova síla (4,152) . Na úsek "křídla" délky l (rozumí se úsek kolmý na vyšetřovanou rovinu) působí síla