Z definice rychlostního potenciálu

plyne, že jeho gradient dává rychlost proudění, tedy

Z rovnic (4,169) a (4,170) vyplývá, že gradienty obou funkcí jsou vzájemně kolmé, neboť platí

Kolmé jsou tedy i křivky stálých hodnot obou funkcí, tj. proudnice a ekvipotenciální křivky rychlostního potenciálu, pro které platí

Hodnoty konstant jsou zřejmě různé pro jednotlivé proudnice a ekvipotenciální křivky.

Vykreslením sítě obou křivek stálé hodnoty (4,171) a (4,172) lze podat výstižný obraz proudění. Na obr.87 je takto znázorněné rovnoměrné proudění ve směru osy x. Jako rovnoměrné označujeme proudění, které má ve všech bodech prostoru stejnou hodnotu vektoru rychlosti na obrázku označenou

. Na obr.88 je znázorněno proudění zdroje, který leží v počátku soustavy souřadnic. Toto radiální proudění míří od počátku v případě, že ze zdroje tekutina vytéká nebo do počátku v případě, že tekutina je zdrojem pohlcována. V prvním případě nazýváme zdroj zřídlem, v druhém propadem.

Zdroj nepatří do obrazu proudění, jaký jsme popisovali v čl.4.3. Není v něm splněna rovnice kontinuity proudění (viz stať 4.3.2), divergence rychlosti v místě zdroje je různá od nuly;

Říkáme, že proudění má v místě zdroje singulární bod, který z popisu proudění podaného v čl.4.3 vyřazujeme.

Užití funkcí komplexní proměnné při řešení úloh rovinného proudění

Uvažujeme-li potenciálové, tedy nevířivé proudění, musí vír rychlosti

(4,48) být roven nule. V rovinném proudění v rovině x,y, které nyní vyšetřujeme, se podmínka redukuje na požadavek, aby složka

byla nulová, tedy

Dále budeme předpokládat, že tekutina je nestlačitelná*). Pro takovou tekutinu platí rovnice kontinuity proudění v tvaru (4,65) , tedy

Dosadíme-li do rovnice (4,175) za složky rychlosti jejich vyjádření dle rychlostního potenciálu (4,170) , dostáváme

Funkci, která splňuje podmínku (4,176) , říkáme harmonická (viz např. [9], čl.18.4). Tedy rychlostní potenciál

je při rovinném potenciálovém proudění nestlačitelné tekutiny harmonickou funkcí. Podobně, dosadíme-li do rovnice (4,174) vyjádření složek rychlosti dle parciálních derivaci proudové funkce

dané rovnicemi (4,169) , zjistíme, že i proudová funkce je harmonickou funkcí, tedy že platí

které plynou z porovnání rovnic (4,169) a (4,170) . Podmínky (4,178) se nazývají Cauchyovy--Riemanovy podmínky. Pro funkce, které je splňují, se užívá označení sdružené funkce. Rychlostní potenciál

a proudová funkce

jsou tedy sdruženými funkcemi.

Vytvoříme-li z dvou harmonických funkcí

, které splňují Cauchyovy Riemanovy podmínky

bude tato funkce holomorfní neboli analytickou funkcí komplexní proměnné, tj. funkcí, která má v oblasti, kde jsou splněny shora uvedené podmínky, derivace všech řádů (viz např. [9], čl. 20.1). Podmínka, že funkce komplexní proměnné je analytickou funkcí, je silnou podmínkou, kterou lze pro řešení rovinných problémů mechaniky kontinua velmi dobře využít (viz např. [60]).

Analytickou funkci typu (4,179) vytvořenou z rychlostního potenciálu

a proudové funkce

nazýváme komplexní potenciál proudění a budeme jej značit

. Tedy pro komplexní funkci w vyjadřující komplexní potenciál dostáváme

Funkce

tvoří siť funkcí typu znázorněného na obr.87, 88 nebo 84. Protože funkce jsou harmonické, splňují uvnitř oblasti automaticky podmínky pro to, aby zobrazovaly realizovatelné rovinné proudění a otázka najít řešení konkrétně zadaného problému se redukuje na nalezení takového komplexního potenciálu w, který splňuje zadané okrajové podmínky.

Protože o proudící tekutině předpokládáme, že je ideální, mají okrajové podmínky na hraniční křivce oblasti - stěně - standardní tvar. Hranice oblasti - stěna - je proudnicí a ekvipotenciální křivka funkce

je k ní kolmá, tedy na stěně platí

kde symbolem

je označena derivace rychlostního potenciálu dle normály k hraniční křivce oblasti. Symbol je v rovnici (4,181) dále rozepsán, aby se upřesnil jeho význam. Není-li oblast ohraničena hraniční křivkou, tedy je-li neohraničená nebo hraniční křivka degeneruje v singulární bod, okrajové podmínky jsou jiné, než udává rov. (4,181) .

Hledat komplexní potenciál, který splňuje obecně zadané okrajové podmínky, je úlohou, kterou lze analyticky řešit jen zřídka. Většinou se musíme omezit na numerické aproximační metody (srov. odstavec o numerických metodách ve stati I, 2.3.3 a v něm uvedenou literaturu), kterými určíme buď funkci

nebo

. Význam zavedení komplexního potenciálu w jako analytické (holomorfní) funkce komplexní proměnné z,

tkví v tom, že každou analytickou funkci lze interpretovat jako popis nějaké formy rovinného proudění nestlačitelné tekutiny. Přesněji, protože sdružené funkce

jsou vzájemně zaměnitelné, dostáváme z každé analytické funkce (4,182) dvě formy proudění. Při řešení úloh rovinného proudění postupujeme tedy obvykle inverzní metodou. Zadáme analytickou funkci a hledáme jaké proudění popisuje. Z takto získané banky řešení pak superpozicí sestavíme řešení problému, který nejblíže odpovídá původně zadanému. Dále uvedeme několik příkladů.

Rovnoměrné proudění znázorněné na obr.84 je popsáno analytickou funkcí

vidíme, že

. Proudnicemi

jsou rovnoběžky s osou x , ekvipotenciálními křivkami

jsou rovnoběžky s osou y. První složka gradientu rychlostního potenciálu (viz (4,170) ) dává

, a tedy

je rychlost proudění ve směru osy x. Komplexní potenciál tak opravdu popisuje proudění znázorněné na obr. 84.

tvoří jednu soustavu rovnostranných hyperbol se souřadnicovými osami x, resp. y jako osami symetrie. Druhou soustavu hyperbol tvoří proudnice

přitom asymptoty hyperbol jedné soustavy jsou osami symetrie druhé soustavy hyperbol. Proudění popsané komplexním potenciálem (4,185) je znázorněno na obr. 89. Pro

degeneruje hyperbola

na vzájemně kolmé kladné úseky os x a y, které tvoří hraniční křivku (vzájemně kolmé stěny) oblasti, v které probíhá proudění. Parciálním derivováním rychlostního potenciálu

(viz (4,170) ) dostáváme pro složky rychlosti vyjádření

. Hraniční křivka oblasti tvoří proudnici, pro kterou konstantní hodnota proudové funkce

je nulová a rychlost, která v ose y míří k počátku soustavy souřadnic klesá od nekonečné hodnoty své velikosti k nulové hodnotě v počátku, tj. v bodu pravoúhlého zlomu proudnice. Od tohoto bodu rychlost změní směr a s orientací shodnou s osou x její velikost stoupá úměrně s hodnotou x, tj. od nuly do nekonečna. Ekvipotenciální křivky jsou kolmé k hraniční proudnici, takže obě okrajové podmínky (4,181) jsou splněny, i když pro ekvipotenciální křivku

jde o poněkud speciální případ, který však je také přípustný. Komplexní potenciál (4,184) tedy popisuje rovinné potenciálové proudění v čtvrtrovině ohraničené dvěmi navzájem kolmými stěnami. Poměrně snadno lze najít komplexní potenciál i pro proudění ohraničené stěnami svírajícími jiný úhel (viz např. [1] čl. 15.3).

Proudění znázorněné na obr.88, tedy radiální proudění zdroje v neomezeném prostoru lze vystihnout komplexním potenciálem

kde a je reálná konstanta. Je-li

, je zdroj zřídlem, pro

je zdroj propadem. Protože studovaný problém je centrálně symetrický, je vhodné vyjádřit komplexní číslo z polárními souřadnicemi r,j ;

Proudnice, tj. křivky

, jsou tedy radiální paprsky a ekvipotenciální křivky

soustředné kružnice. Z rovnic (4,189) , dále plyne, že velikost rychlosti je nepřímo úměrná vzdálenosti od zdroje,

. Komplexní potenciál tedy dobře popisuje proudění znázorněné na obr.88. Navíc ukazuje, že kdybychom chtěli lépe vystihnout kvantitativní poměry proudění a kreslili ekvipotenciální křivky tak, aby rozdíly mezi hodnotami jejich konstant byly stálé, vzdálenosti mezi koncentrickými kružnicemi ekvipotenciálních křivek by byly nepřímo úměrné r. Podmínka

je totiž nutnou podmínkou pro to, aby obr. 88 opravdu popisoval potenciálové proudění.

V počátku, kde je umístěn zdroj, je rychlost proudění nekonečná, není tam splněna rovnice kontinuity proudění, ani další podmínky potenciálového rovinného proudění, např. Cauchyovy-Riemanovy podmínky. Ani komplexní potenciál (4,186) nemá v tomto bodě konečnou derivaci. Takový bod označujeme za singulární bod, u funkce (4,186) mluvíme o logaritmické singularitě. Singulární body z obrazu proudění vyjímáme a uvažujeme jen o proudění mimo ně. Tak např. můžeme určit mohutnost zdroje m jako tok vektoru rychlosti ekvipotencíální křivkou obklopující zdroj

Protože mimo singulární bod již platí rovnice kontinuity, je jedno, přes kterou ekvipotenciální křivku tok počítáme.

Vyšetřujeme-li pole zřídla a propadu stejné mohutnosti, dostaneme pole analogické elektrostatickému poli stejně velkého kladného a záporného náboje. V elektrickém poli takové pole označujeme jako pole dipólu, přičemž jako moment dipólu označujeme vektorovou veličinu

, kde q je velikost nábojů a

je vektor, jehož velikost je rovna vzdálenosti obou nábojů a který je orientován od záporného náboje ke kladnému. Ve velkých vzdálenostech od obou nábojů pole již téměř nezávisí na jejich vzdálenosti, ale pouze na momentu dipólu. Proto se zavádí elementární dipól, jako dipól, který vznikne, když oba náboje limitně přiblížíme tak, že se dostanou do jednoho bodu, přičemž moment dipólu zůstane zachován. Pole elementárního dipólu v místě o polohovém vektoru

pak závisí pouze na velikosti dipólového momentu a vzájemné orientaci vektorů

Pole zřídla a propadu stejné mohutnosti m nazýváme dubletem. Označíme-li vektor mířící od propadu ke zdroji symbolem

, můžeme v analogii s momentem dipólu zavést moment dubletu

Posuneme-li v limitě zdroj i propad do jednoho bodu při zachování momentu dubletu

(délka l v limitě dosáhne hodnoty nula, mohutnost m roste do nekonečna, ale hodnota jejich součinu m = ml zůstává v celém limitním postupu zachována), získáme v tomto bodě elementární dublet, který je charakterizován velikostí a směrem momentu dubletu

. Komplexní potenciál rovinného*) elementárního dubletu, jehož moment je orientován ve směru kladné osy x , je dán výrazem

Porovnáním s obecným tvarem komplexního potenciálu

dostáváme pro rychlostní potenciál

a proudovou funkci

elementárního rovinného dubletu tato vyjádření:

Proudění elementárního dubletu je znázorněno na obr.90. Ekvipotenciální křivky

i proudnice

jsou kružnice, které se protínají kolmo (musí být splněny podmínky (4,178) ). Hodnoty konstant křivek stálé hodnoty jsme označili C . Středy kružnic ekvipotenciálních křivek leží na ose x , všechny se dotýkají v počátku soustavy souřadnic, kružnice se středem na kladné části osy mají C < 0 , ty, jejichž středy leží na záporné části osy, mají C > 0 a osa y , která je ekvipotenciální křivkou se středem v nekonečnu, má C = 0. Kružnice proudnic mají středy na ose y , pro kružnice, jejichž středy jsou na kladné ose y , nyní platí C > 0, pro kružnice se středy na záporné ose y máme C < 0 a osa x má C = 0. Pro složky rychlosti dostáváme z rychlostního potenciálu

Rychlost

je zřejmě v počátku soustavy souřadnic nekonečná, počátek je singulárním bodem, komplexní potenciál (4,192) tedy regulárně popisuje proudění elementárního dubletu v celé rovině s výjimkou počátku.

tedy potenciálem, který vznikne z potenciálu (4,178) jeho vynásobením imaginární jednotkou i. Vynásobíme-li obecné vyjádření komplexního potenciálu (4,180) imaginární jednotkou, dostaneme komplexní potenciál

Z rovnice (4,197) plyne, že siť znázorňující obraz proudění se nezmění, pouze sdružené funkce

si vymění své úlohy;

Proudová funkce potenciálu w se stane až na znaménko rychlostním potenciálem funkce

a rychlostní potenciál funkce w se stane proudovou funkcí komplexního potenciálu

. Změna znaménka v první rovnici (4,198) nemá vliv na tvar křivek stálé hodnoty funkcí, pouze konstantám C kótujícím ekvipotenciální křivky komplexního potenciálu

musíme dát v jejich nové roli, kdy znázorňují proudnice komplexního potenciálu w , opačné znaménko.

Obrázek 88, prohodí-li se role ekvipotenciálních křivek a proudnic, znázorňuje i proudění popsané komplexním potenciálem (4,196) , které označujeme jako proudění potenciálového víru. Protože budeme proudění (4,196) nyní podrobně probírat, překreslíme obrázek 88 a kromě prohození označení křivek stálých hodnot na něm vyznačíme rychlosti proudění na jednotlivých proudnicích., Překreslený obrázek znázorňující proudění potenciálového víru je zařazen pod číslem 91.

Aplikujeme-li pravidlo (4,198) na vztah mezi radiálním prouděním zdroje (4,186) a prouděním potenciálového víru (4,196) , resp. (4,197) , dostáváme pro rychlostní potenciál a proudovou funkci potenciálového víru tato vyjádření v polárních souřadnicích r,j :

Vypočteme-li cirkulaci rychlosti (4,162) podél kterékoliv proudnice, zjistíme, že má nenulovou hodnotu

Intenzita víru (4,163) rovná cirkulaci (4,201) je tedy nenulová a uvnitř proudnice musí někde být nenulový vír rychlosti

. Protože uvedený závěr platí pro všechny proudnice, může se nenulový vír

nacházet jedině v počátku souřadnicové soustavy, a jelikož uvažujeme rovinné proudění, prochází počátkem kolmo k sledované rovině a musí být nekonečně veliký, aby jeho tok plochou libovolné proudnice (4,163) mohl být roven konečné hodnotě cirkulace (4,201) . Počátkem tedy prochází kolmo k rovině izolovaná vírová čára, pro kterou součin nekonečně velké hodnoty víru rychlosti a nulové plochy průřezu dá konečnou hodnotu intenzity víru. V rovinném vyjadřování hovoříme o vírovém bodu s intenzitou víru rovnou cirkulaci (4,201) ;

Protože je rotace rychlosti různá od nuly,

, není právě popisované proudění prouděním potenciálovým. Relace

však platí v jediném bodě, v počátku souřadnicové soustavy, stačí tedy tento singulární bod z popisu proudění vyjmout a ve zbytku prostoru bude podmínka potenciálového proudění splněna.

Oblast, v které je podmínka splněna, však již není jednoduše souvislou oblastí, ale dvojnásobně souvislou oblastí (viz např. [9], čl. 22.1). Při uvažování o potenciálu musíme vždy zůstat uvnitř této oblasti, např. počítáme-li podle nějaké uzavřené křivky cirkulaci rychlosti

, nesmí tato křivka obsahovat počátek, abychom dostali výsledek, který odpovídá potenciálovému proudění, tedy nulovou cirkulaci. V této dvojnásobně souvislé oblasti má smysl uvažovat potenciálový vír (4,196) jako opravdový potenciál, a tím je vysvětlen zdánlivý rozpor zmíněný v úvodu stati 4.7.1.

Zavedeme-li do komplexního potenciálu (4,196) vyjádření konstanty a dle cirkulace rychlosti

dané rovnicí (4,201) , dostaneme pro potenciálový vír komplexní vyjádření

Do rovnice (4,205) jsme zavedli úhlovou rychlost

pohybu částice po proudnici s poloměrem r; úhlová rychlost podobně jako postupná rychlost je nepřímo úměrná poloměru. Rychlostní potenciál tvaru (4,205) je posledním členem rychlostního potenciálu (4,148) obtékaného rotujícího válce, který jsme užili při odvození Magnusovy síly ve stati 4.6.5. Úhlová rychlost rotace znázorněná na obr.80 je záporná. Další dva členy potenciálu (4,148) jsou rychlostní potenciál rovnoměrného proudění (4,183)

a rychlostní potenciál elementárního dubletu (4,193) , jehož moment

o velikosti

byl orientován proti směru x, a proto

Rychlostní potenciál

pro řešení problému obtékání rotujícího válce byl tedy sestaven ze tří složek tak, aby byly splněny okrajové podmínky. Tyto podmínky jsou dvě. První říká, že rychlost v nekonečnu je orientována ve směru kladné osy x a má velikost

. Druhá, že kružnice, v které válec protíná sledovanou rovinu, je proudnicí, tedy že na kružnici musí být hodnota proudové funkce konstantní,

Ve stati 4.6.5 je problém popsán rychlostním potenciálem

, druhá okrajová podmínka je formulována pro proudovou funkci

. To však nečiní žádné potíže, protože z předchozího výkladu v této stati plyne, že funkce

jsou sdružené (viz (4,178) ) a komplexní potenciál w je z nich sestaven (viz (4,180) ). Všechny tři funkce jsou tak vzájemně přepočitatelné a každá z nich samostatně problém rovinného potenciálového proudění plně řeší.

Nekoná-li válec rotaci, stačí k popisu proudění kombinace prvých dvou členů rychlostního potenciálu (4,148) . V třetím členu, který je dán výrazem rozepsaným v (4,205) , můžeme hodnotu úhlové rychlosti w , resp. cirkulace

volit, aniž tím porušíme skutečnost, že kružnice reprezentující válec v rovině je proudnicí. Volbou se pouze změní stupeň asymetrie obrazu proudění vzhledem k ose x , a tím i velikost Magnusovy síly (4,152) . Pro problém obtékání křídla (stať 4.6.6) tuto libovůli v stanovení cirkulace omezíme požadavkem konečné rychlosti u hrany křídla (viz úvahy na konci stati 4,6,6), abychom pro křídlo, kde nastavitelný parametr podobný rychlosti rotace válce nemáme, získali reálnou hodnotu vztlaku závislou pouze na tvaru křídla.

Skládání (superpozice) různých standardních potenciálů ke splnění okrajových podmínek složitěji zadaných problémů proudění je jedním ze způsobů, jak lze umocnit možnosti výše uvedených metod řešení problémů rovinného proudění. Při tomto skládání musí být zvýšená pozornost věnována singulárním bodům. V případě obtékání kruhového rotujícího válce jsou všechny singulární body rychlostního potenciálu (4,148) v počátku souřadnicové soustavy, který se nachází ve středu kružnice reprezentující válec, tedy mimo oblast (vnějšek kružnice), v které potenciálem proudění popisujeme. Podrobněji je obtékání kruhového válce rozebráno v [1], čl.15.4.

Dalším způsobem jak rozšířit možnosti řešení problémů rovinného potenciálového proudění na případy, kdy okrajové podmínky jsou složitější, je metoda konformního zobrazení. Kvalitativně jsme se o metodě již zmínili ve stati 4.6.6, když jsme uvedli, že metodou lze převést výsledky získané pro obtékání rotujícího válce (stať 4.6.5) na obtékání křídla. Jmenovitě jsme uvedli, že výraz pro výpočet Magnusovy síly (4,152) lze užít i pro výpočet vztlaku křídla (4,157) , když se vhodně zvolí nastavitelné konstanty. Na obr.84 jsme ukázali, jak se zobrazením převede proudění v okolí rotujícího válce na proudění v okolí schematizovaného křídla. Nyní metodu blíže objasníme.

Výše v této stati jsme si ukázali, že nalezneme-li komplexní potenciál

vyhovující okrajovým podmínkám zadaného problému rovinného potenciálového proudění, máme problém vyřešen. To, co bylo řečeno o komplexním potenciálu, platí i pro funkce

(rychlostní potenciál) a

(proudová funkce), které jej vytvářejí. Podaří-li se nám tedy najít takové zobrazení

které převede okrajové podmínky komplexního potenciálu w na okrajové podmínky dosud nevyřešeného problému, aniž se zobrazením poruší holomorfnost (analytičnost) funkce, bude komplexní funkce z komplexním potenciálem dosud nevyřešeného problému. Známe-li však komplexní potenciál problému splňující okrajové podmínky, známe řešení problému a dosud nevyřešený problém je vyřešen. Toto je idea metody konformního zobrazení. K jejímu přesnému použití je zapotřebí dodržet některé další podmínky, které jsou uvedeny např. v [1], čl.15.5.

Analytičnost komplexního potenciálu bude zachována, bude-li funkce

zprostředkující zobrazení (4,207) analytickou funkcí, tj. bude-li mít ve všech bodech oblasti, kterou zobrazuje, derivaci. Existence nenulové derivace komplexní funkce znamená, že dvě křivky, které se v rovině w (rovina předmětová) protínají pod úhlem a , budou se v rovině z (obrazová rovina) protínat pod stejným úhlem a. Zobrazení, které splňuje tuto vlastnost, se nazývá konformním. Tedy zobrazení (4,207) zprostředkované analytickou (holomorfní) funkcí je konformním zobrazením.

Obvyklou okrajovou podmínkou je, že okraj oblasti je proudnicí. Úkol najít vhodné konformní zobrazení oblasti ze známým komplexním potenciálem na oblast, kde komplexní potenciál hledáme, se pak redukuje na úkol najít konformní zobrazení, které převádí okrajovou křivku známého řešení na okrajovou křivku hledaného řešení. Při vyšetřování vztlaku křídla ve stati 4.6.6. se tak hledá konformní zobrazení kružnice reprezentující okrajovou křivku rotujícího válce na tvar přibližně vystihující profil křídla (viz obr.83). Hledané konformní zobrazení je Žukovského transformace (4,154) , kterou zde přepíšeme v tvaru odpovídajícím rov. (4,207)

Přitom střed kružnice reprezentující rotující válec, pro nějž známe komplexní potenciál w , nemůžeme umístit do počátku souřadnicové soustavy, ale musíme jej posunout do bodu naznačeného na obr.83, aby zobrazením (4,208) kružnici odpovídalo schematizované křídlo. Znamená to, že před konformním zobrazením musíme známý komplexní potenciál w rotujícího válce, obvykle vyjádřený pro počátek soustavy souřadnic (komplexní potenciál odpovídající rychlostnímu potenciálu (4,148) ), transformovat na tvar odpovídající novému středu kružnice. Jakmile se pak transformace kružnice na "křídlo" povede, je již tím, že funkce z a w jsou analytické, zaručeno, že vně "křídla" bude funkce z popisovat správně rovinné potenciálové obtékání "křídla" nestlačitelnou ideální tekutinou.

zjistíme, že v bodech

je derivace nulová. Nulová hodnota derivace nezaručuje konformnost zobrazení. Jak se tyto singularity v uvažovaném konformním zobrazení překonají a upřesnění dalších zde naznačených postupů lze nalézt v již citovaném článku.15.5 z [1], Podrobně se metodou konformního zobrazení se zaměřením na problémy rovinné pružnosti zabývá kniha [60].

4.7.3 Hydraulika

Hydraulika je technická nauka, která se zabývá aplikací zákonů mechaniky tekutin při řešení praktických úkolů tečení kapalin a plynů. Zákony mechaniky tekutin užívá v co nejjednodušší formě a doplňuje je praktickými experimentálně zjištěnými poznatky nezbytnými pro řešení konkrétních úloh. Výsledky hydraulických výzkumů se před jejich aplikacemi prověřují a upřesňují důkladnými laboratorními a provozními zkouškami.

V hydraulice se zkoumá proudění kapalin a plynů. Vycházíme přitom z Bernoulliovy rovnice (4,84) a rovnice kontinuity (4,52) . Uvažujeme je obvykle v nejjednodušších tvarech a jako rovnice platné pro průměrné hodnoty v jednotlivých průřezech trubice či koryta. Plyny uvažujeme jen do takových tlaků, kde můžeme změny jejich hustoty při proudění zanedbat a užívat Bernoulliovu rovnici v tvaru (4,91) a rovnici kontinuity v tvaru (4,53) .

Popis proudění viskózních tekutin nevychází v hydraulice z Navierových-Stokesových rovnic, ale z Bernoulliovy rovnice. Vystižení energetických ztrát při proudění viskózních tekutin trubicemi a koryty se provádí zavedením pojmu hydrodynamický odpor potrubí či koryta. Bernoulliova rovnice se doplňuje o veličinu zvanou ztrátová výška (podrobněji viz 4.7.4).

Uvedená omezení hydrauliky se vztahují k jejím klasickým formám. V poslední době vychází hydraulika při řešení stále složitějších případů technicky důležitých proudění ze všech dostupných závěrů teoretické mechaniky tekutin. Specifikou hydrauliky pak zůstává nutnost doplnění problematiky o zahrnutí i těch podmínek proudění, které dosud nejsou plně teoreticky zpracovány, a. nezbytnost důkladného experimentálního prověření výsledků.

Hlavní obory hydrauliky:

. tečení v potrubí a potrubní rozvody,

tečení v otevřených korytech, kanálech a řekách,
vytékání z otvorů, trysek, splavů apod.,
tečení pórovitými materiály, filtrace.

Při hydraulickém zkoumání potrubí a potrubních rozvodů se především sledují otázky jejich kapacity a výkonnosti. Navrhují se např. městské rozvody vody a plynu nebo dálkové rozvody vody, plynu a nafty. Znamená to určit optimální průměry potrubí, nezbytné výkonnosti čerpadel, odolnost potrubí proti vibracím a rázům, které v nich mohou vznikat apod. U dálkových rozvodů se zkoumají i otázky možného snížení hydrodynamického odporu (viskozity) přidáním různých příměsí do transportovaných látek. Snížení odporu přináší úspory na dopravních nákladech. Základní otázky této problematiky probereme v stati 4.7.4.

Při výzkumu proudění tekutin je také nutno zjišťovat, jakými silami tekutina působí na své okolí. Sem spadá např. otázka, jak nejlépe převést energii tekutiny na pohon strojů, tedy otázky konstrukce vodních kol a turbín. Dále pak zkoumání, jak proudící tekutina působí na potrubí, kterým je vedena nebo jak řeka vymílá své břehy a usazuje nánosy ve svém okolí. Ve stati 4.7.5 si uvážením změn hybnosti proudící tekutiny objasníme některé základní otázky této problematiky, např. to, proč je zapotřebí značné síly k ovládání hasičské stříkačky, kterou posíláme proud vody na oheň. Jak se při letošních povodních (rok 2002) ukázalo, jsou velmi důležité otázky hydrologockých a ekologických úprav vodních toků. Tyto otázky jsou již mimo zaměření našeho textu a probírány nebudou..

Trysky, otvory a různé výpustě se konstruují tak, aby co nejlépe vyhovovaly svému účelu, výtok byl co nejhladší a zařízení byla co nejméně opotřebovávána. Opět zde k čisté hydrodynamice přistupují další obory, které je nutné respektovat, např. nauka o materiálech, která nám umožní najít vhodný materiál pro navrhované prvky. U trysek je často třeba zvolit tvar, který umožňuje co nejrychlejší výtok tekutiny. Je možné navrhovat i systémy, které upravují cestu tryskajícího paprsku, např. přepínají paprsek mezi dvěma různými směry. Zde k zákonům hydrodynamiky přistupují úvahy o povrchovém napětí (kapilárních silách). Některé otázky výtoku tekutiny probereme ve stati 4.7.6.

Tečení pórovitými materiály se zkoumá jednak v souvislosti s pohyby tzv. spodních vod, jednak s problematikou filtrování. Znalost pohybu vody v zemi je důležitá např. pro zakládání staveb. Při filtrování je úkolem najít optimální poměr mezi kvalitou oddělení součástí, dobou trvání procesu a jeho energetickou náročností. Podrobnější seznámení s těmito a dalšími hydraulickými problémy najde čtenář např. v [62], [63].

4.7.4 Proudění tekutiny potrubím

Prouděním reálné tekutiny trubicí jsme se již zabývali ve stati 4.4.1. Tam jsme se však omezili na laminární proudění. Pro případ, kdy tekutina je newtonovská, jsme odvodili Poiseuillův zákon (4,127) , který jsme pro nenewtonovské tekutiny s rovnicí toku zobecnili na tvar daný rovnicí (4,132) . Ve stati 4.4.1 jsme se z tekutin omezili na kapaliny. V hydraulice uvažujeme jen nestlačitelné plyny, a pro ty platí stejné rovnice jako pro kapaliny, a proto dále v tomto článku budeme objekt našeho zájmu označovat jako tekutinu, abychom nestlačitelné plyny z úvah nevyřazovali.

Omezení na laminární proudění je pro hydrauliku nepřijatelné. Většina tekutin dopravovaných potrubími (především voda, nafta, topný plyn) v nich teče turbulentně. Stanovíme-li např. Reynoldsovo číslo (4,137) pro vodu teploty okolo 20^oC (kinematická viskozita ), která protéká rychlostí potrubím kruhového průřezu o poloměru R = 0,1 m, dostaneme,

což jest hodnota jasně spadající do oblasti turbulentního proudění (srov. text za rovnicí (4,138) ). Přitom uvedené hodnoty rychlosti proudění a poloměru trubky se při rozvodu vody běžně vyskytují.

V textu za obr.75 jsme odvodili Bernoulliovu rovnici z předpokladu, že práce vykonaná na tekutinu v proudové trubici způsobí zvýšení její kinetické energie (viz rov. (4,94) )

.	(4,94)

Přitom práce A_I,II se rovná úbytku potenciální energie zvětšenému o práci VDp , kterou vykoná okolní tekutina, když rozdílem tlaků Dp posune tekutinu z pozice I do pozice II. Symbolem V je označen objem posunuté tekutiny. Protože se jedná o ideální tekutinu, nepočítáme s žádnou disipací (rozptýlením) energie a z uvažované úvahy získáme Bernoulliovu rovnici v tvaru (4,91)

(4,91)

Při odvození Poiseuillova zákona (viz stať 4.4.1) uvažujeme proudění vodorovnou trubicí, mezi jejímiž konci je rozdíl tlaku Dp a předpokládáme, že na obou koncích trubice je stejná rychlost. Bernoulliova rovnice v tvaru (4,91) tedy zřejmě neplatí, protože při rozdílných tlacích by na koncích vodorovné trubice musela být i rozdílná rychlost. V uvažované trubici však proudí viskózní tekutina, v které na rozdíl od ideální tekutiny k disipaci energie dochází.

Ve výchozí rovnici (4,94) práce disipativních sil právě kompenzuje práci VDp okolní tekutiny za podmínek, které uvažujeme při odvození Poiseuillova zákona. V případě, že trubicí uvažovanou v rovnici (4,94) proudí reálná tekutina, musíme do práce A_I,II zahrnout i práci disipativních sil působících v tekutině. Proudí-li tekutina laminárně, lze to učinit explicitním započtením práce viskózních sil - alternativně tak lze odvodit Poiseuillův zákon (4,127) . V případě turbulentního proudění trubicí, které je pro hydrauliku podstatné, se práce disipativních sil zahrne do rovnice (4,94) jako celek vyjadřující ztrátovou energii. Velikost však již nelze určit na základě jedné materiálové konstanty newtonovských tekutin (viskozity h), případně známé tokové funkce nenewtonovských tekutin, ale je nutné ji stanovit experimentálně.

Pro hydraulické výpočty se takto upravená rovnice (4,94) přepíše do podoby (srov. [63])

(4,210)

nebo jako rovnice mezi výškami

.	(4,211)

Tyto rovnice jsou psány v tvaru analogickému Bernoulliově rovnici a je k nim přidán člen vystihující ztráty. V rovnici (4,210) je to veličina Y_z nazývaná měrná ztrátová energie, v rovnici (4,211) veličina Dh_z nazývaná ztrátová výška.

Protože obě rovnice podobně jako Bernouliova rovnice vycházejí z rovnice (4,94) , která říká, že práce vykonaná na systém se rovná přírůstku kinetické energie soustavy, bývají často označovány také jako Bernoulliovy rovnice, přesněji Bernoulliovy rovnice pro proudění reálné tekutiny. Závěry ze stati 4.3.4 však na tyto rovnice převést nelze a je možné jen najít některé analogie. Tak např. rovnici (4,210) získáme z rovnice (4,88) , převedeme-li všechny členy na levou stranu, potenciál V vyjádříme dle (4,90) jako gh a pro rozdíly veličin z levé a pravé strany rovnice (4,88) indexované 1, resp. 2, zavedeme označení D. Sčítance v rov. (4,210) mají rozměr . Měrná ztrátová energie tedy vyjadřuje ztracenou energii vztaženou na kilogram proudící tekutiny. Sčítance v rovnici (4,211) , která vznikne z rovnice (4,210) vydělením tíhovým zrychlením g , mají rozměr délky. První sčítanec na levé straně rovnice se nazývá místní výška, druhý tlaková výška a třetí rychlostní výška.

Aplikujeme-li rovnici (4,210) na případ ustáleného laminárního proudění viskózní newtonovské tekutiny vodorovnou trubicí všude stejného průřezu (viz obr.75), z kterého byl odvozen Poiseuillův zákon, dostaneme

,	(4,212)

protože jak Dh tak Dv² jsou nulové. Z této rovnice plyne, dosadíme-li do ní za Dp z tvaru (4,135) Poiseuillovy rovnice, že velikost měrné ztrátové energie je pro tento případ dána rovnicí

.	(4,213)

Tedy měrná ztrátová energie je přímo úměrná objemovému toku Q , kinematické viskozitě , délce potrubí l a nepřímo úměrná čtvrté mocnině poloměru trubice R.

V případě turbulentního proudění potrubím se nám již takový jednoznačný vzorec nepodaří sestavit. Tvar závislosti měrné ztrátové energie na objemovém toku se aproximuje vztahem

,	(4,214)

kde exponent a roste od hodnoty a = 1 pro laminární proudění (viz rovnici (4,213) ) po hodnotu a = 2 pro plně turbulentní proudění, tj.pro Re>10⁴. Výraz k_p nazývaný někdy průtokovou konstantou vystihuje vlastnosti daného potrubí. Ty se vyjadřují empirickými vzorci zahrnujícími obvykle délku a průměr potrubí, součinitel délkových třecích ztrát l a součinitel místních ztrát z . Součinitel třecích ztrát l závisí na Reynoldsově čísle a hrubosti vnitřního povrchu potrubí. Součinitel místních ztrát z vystihuje odpor potrubí souvisící se zařazením různých armatur, kolen a zúžení či rozšíření potrubí. Hodnoty součinitelů bývají vystiženy empirickými vzorci a jsou pro jednotlivé typy a prvky potrubí udávány tabelárně či graficky. Často je musíme pro daný prvek určit experimentálně. Podrobněji se lze s užívanými postupy seznámit v knize [64] zaměřené na čerpací techniku, či v obecněji zaměřeném učebním textu [65].

4.7.5 Hybnost proudící tekutiny

Podobně jako jsme v předchozí stati vycházeli z obecné věty, že práce vykonaná na soustavu je rovna přírůstku kinetické energie soustavy (užili jsme ji v úpravě (4,94) ), vyjdeme v této stati z obecné věty o hybnosti soustavy neboli první věty impulsové (I, stať 5.3.1), která říká, že časová změna hybnosti soustavy se rovná výsledné vnější síle působící na soustavu (I5,33);

.	(4,215)

Tuto větu aplikujeme na jisté množství tekutiny (jistý počet částic tekutiny), jehož objem V v průběhu času mění svou polohu, tvar a v případě stlačitelné tekutiny i svou velikost. Tento objem, který tekutina postupně zaujímá při svém pohybu, se nazývá tekutý objem. Aplikujeme-li na tekutý objem rovnici (4,215) a jeho hybnost vyjádříme pomocí hustoty tekutiny r a její rychlosti , dostaneme

.	(4,216)

Výsledná vnější síla se skládá z výslednice objemových sil a výslednice plošných sil , tj. sil, které na tekutý objem působí přes hraniční plochu S, tedy

.	(4,217)

Rovnice (4,217) je vyjádřením první věty impulsové pro tekutý objem, zanedbáme-li ve výrazu pro plošné síly smykovou složku obecného napětí a předpokládáme, že okolí na vybraný tekutý objem může působit pouze tlakem p*). V dalším se vzhledem k zaměření na hydrauliku omezíme jen na jednoduché aplikace rov. (4,217) , obecnější pohled lze najít v [1], čl.13.4 a 13.5.

Jednoduchá, ale prakticky velmi důležitá je aplikace rov. (4,217) na stacionární ustálené proudění v zahnuté trubici, kterou si v hydraulice představujeme jako reálnou trubici, tedy jako zahnutou část potrubí. Taková část potrubí (hovorově koleno) je znázorněna na obr.92. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že trubice má všude stejný průřez a že rozdíly v nadmořské výšce a ztráty rychlosti dané odporem trubice lze v malém uvažovaném úseku zanedbat. Neuvažujeme v něm tedy modifikace proudění vyšetřované v předchozí stati, všechny členy v rov. (4,210) či (4,211) pokládáme za nulové. Potom je rychlost proudění ve všech průřezech trubice stejná. Okamžitou časovou změnu hybnosti tekutiny obsažené v trubici mezi průřezy S₁ a S₂ (viz obr.92), tj. výraz na levé straně rovnice (4,217) , určíme jako rozdíl časových derivací hybnosti tekutiny , která průřezem S₂ z trubice vytéká, a hybnosti tekutiny , která průřezem S₁ do trubice vtéká;

.	(4,218)

V rovnici (4,218) jsme po úvodních definičních úpravách na pravé straně třetí rovnice užili z rovnice kontinuity (4,52) plynoucí závěr, že hmotnost v trubici proudící tekutiny se nemění, , a na pravé straně čtvrté rovnice jsme hmotnost, která trubicí proteče za jednotku času, tedy hmotnostní tok (4,55) , označili jeho standardním znakem q_m.

Změna hybnosti tekutiny v trubici je způsobena silami na pravé straně rovnice (4,217) . Objemové síly v řešeném zjednodušeném případě neuvažujeme, a tedy zbývá výsledná plošná síla , která působením přes stěny trubice změní hybnost proudící tekutiny. Tato síla je rovna změně hybnosti (4,218) . Reakcí na ní je síla , kterou tekutina díky změně směru své hybnosti v zahnutém místě působí na potrubí. Z předchozího pro ní plyne vyjádření

.	(4,219)

Na obr.92 je znázorněn úhel ohybu potrubí 2a , síla a vektorový trojúhelník zobrazující její vznik. Z tohoto vektorového trojúhelníku plyne, že síla působí ve směru osy ohybu, míří ven z ohybu a její velikost je dána výrazem

(eq0034), (4,220)

kde v značí velikost rychlosti tekutiny proudící potrubím, kterou pokládáme za konstantní v celém potrubí.

Proudí-li potrubím reálná tekutina, musíme pro překonání odporu trubice, reprezentovaného např. měrnou ztrátovou energií , na trubici působit přetlakem Dp. Z rov. (4,210) plyne, že pro udržení rovnoměrného proudění (Dv=0) v takové trubici, při předpokládaném zanedbání objemových sil (člen gDh z rovnice vypouštíme), musí platit

.	(4,221)

Přetlak Dp podél trubice klesá. Zanedbáme-li velikost poklesu mezi průřezy S₁ a S₂ , můžeme celé oblasti kolena z obr.92 přiřadit jednu hodnotu přetlaku, v obrázku označenou Dp . Síly vyvolané přetlakem (zvýšením tlaku oproti obvykle atmosférickému tlaku v okolí trubice) se v rovných úsecích trubice vyrovnají, ale v místech ohybu, kde vnější plocha trubice je větší než vnitřní plocha, dají nenulovou výslednici , která míří stejným směrem jako síla vyvolaná změnou hybnosti tekutiny.

Sílu lze stanovit z následující úvahy. Kdyby úsek trubice z obr.92 byl v místech průřezů S₁ a S₂ uzavřen a byl v něm vyvolán tlak Dp, žádná výsledná síla by nevznikla, síla působící na vnější větší plochu kolena by byla kompenzována silami působícími na plochy průřezů S₁ a S₂. Velikost součtu těchto sil, jejichž velikost je S Dp , a které míří ve směru vnějších normál průřezů, je . Součet sil míří dovnitř kolena ve směru jeho osy symetrie. Oba výsledky lze snadno určit z obr.92. Součet sil kompenzuje sílu působící na vnější plochu kolena. Na koleno tedy působí síla stejné velikosti opačně orientovaná. Tato síla působí na koleno i v případě, kdy kapalina, v které je přetlak Dp kolenem proudí. V tom případě však již úsek trubice není v místech průřezů S₁ a S₂ uzavřen a síla není kompenzována. Pro velikost hledané síly působící na koleno v důsledku přetlaku tak dostáváme

,	(4,222)

kde S je označena plocha neproměnného průřezu trubice. Celková síla působící na úsek trubice zahnutý o úhel 2a (viz obr.92) protékaný reálnou tekutinou má velikost

(4,223)

a míří v ose zahnutí ven ze zahnuté části. Při závěrečné úpravě rovnice (4,223) jsme užili definičního vztahu hmotnostního toku q_m (viz text u rov. (4,55) ). Hmotnost tekutiny, která projde průřezem S za jednotku času, jsme vyjádřili pomocí hustoty tekutiny r a její rychlosti v;

.	(4,224)

Rovnice (4,223) a úvahy, kterými jsme k ní dospěli, nám nejen ukáží, jak musíme dimenzovat uchycení zahnutých částí potrubí, ale umožní nám i pochopit leckdy podivné chování hadic, kterými stříkáme zahradu či hasíme požár a jsou základem pro výklad činnosti vodních (mlýnských) kol a turbín.

Síly uvažované v rovnici (4,223) vznikají v důsledku změny směru vodního proudu, kterou v pevném potrubí jeho zahnutí způsobí. Pustíme-li do měkké hadice proud vody, snaží se síly typu (4,223) hadici narovnat. V rovné hadici tyto síly vymizí a proudění je stabilní. Chceme-li usměrnit stříkající proud, musíme sami vynaložit sílu, která hadici ohne, a tím změníme směr hybnosti tekutiny žádaným způsobem.

Konec hadice, z které tryská proud tekutiny, se chová jako tryska rakety (srov. I, čl.7.4); snaží se pohybovat v opačném směru, než z něj proudí tekutina. I tento jev lze vysvětlit nejen způsobem užitým v citovaném článku prvního dílu knihy, ale i způsobem užitým v této stati. Konec hadice je možno chápat jako otevřené ukončení systému, který na druhém konci je uzavřený. Můžeme si také představit, že hadici na konci ohneme a pak proti otevřenému konci stojí vnitřní stěna ohybu, na kterou působí místní tlak Dp , který v otevřeném konci hadice není kompenzován, a tlak vzniklý od změny směru hybnosti proudící tekutiny. Konec hadice je tedy proti směru z ní tryskající tekutiny unášen silou o velikosti

,	(4,225)

kde Dp je přetlak v místě konce trubice a k je součinitel závislý na stupni natočení hadice v blízkosti jejího konce. Pro rovný konec hadice je k = 0, otočíme-li konec hadice proti směru přicházejícího proudu tekutiny, tj. stočíme-li ji o úhel a=180^o, je k = 2.

Pro velké hasičské hadice stříkající silný proud vody pod velkým přetlakem nabývá síla (4,225) značných hodnot. Proto je manipulace s ní náročná vyžadující sílu jednoho, či více hasičů. V současné době se ruční ovládání hasičské hadice nahrazuje umístěním stříkaček na těžkých podvozcích či autech, kde je umístěna i cisterna s vodou. Zajímavé efekty vyvolané silou (4,225) vznikají však i u tenkých hadic, kterými zaléváme zahradu. Upustíme-li takovou hadici, její konec se hadovitě pohybuje zpět a může kromě zahrady zalít i něco či někoho jiného.

Zařízení velmi názorně ukazující efekt síly (4,225) je znázorněno na obr. 93. Nazývá se Segnerovo kolo. Je to válcová nádoba, ke které jsou radiálně naletována ramena ukončená pravoúhle zahnutými tryskami do axiálního směru, jak je ukázáno na obrázku. Do nádoby uložené otočně na čepu nalijeme vodu a necháme ji tryskami vytékat. Síly působící na trysky roztočí kolo v naznačeném smyslu. Otáčení je zrychlené, přičemž zrychlení klesá s úbytkem vody ve válci až po vyrovnání s odporem čepu, které v závěru pohyb utlumí.

Další důležitou oblastí hydrauliky, kde lze jevy výhodně vyložit prostřednictvím změn hybnosti tekutiny , je zkoumání činnosti vodních kol a turbín. Nejprve v této souvislosti vyšetříme, jakou silou působí dopadající proud tekutiny na nepohyblivou rovnou stěnu kolmo postavenou ke směru proudu (viz obr.94). Hybnost tryskajícího proudu tekutiny se o stěnu roztříští tak, že v ideálním případě, který budeme dále uvažovat, částice kapaliny se budou podél stěny pohybovat radiálně od místa dopadu proudu. Jejich množství i rychlost se rozloží tak, že obraz proudění bude symetrický vůči bodu, kam dopadne střed tryskajícího proudu. Celková hybnost tekutiny po dopadu na stěnu tak bude nulová. Analogicky s rovnicí (4,218) pak pro změnu hybnosti tekutiny při dopadu na stěnu dostáváme

(4,226)

a pro sílu působící na stěnu, která je reakcí na sílu měnící hybnost tekutiny, pak dle (4,215) platí

.	(4,227)

V rovnicích (4,226) a (4,227) je rychlost tekutiny proudící přívodní trubicí o průřezu S , q_m hmotnostní tok touto trubicí a r hustota tekutiny.

Pro činnost vodních kol a turbín je nejdůležitější zjistit, jaký maximální výkon jim lze z proudící tekutiny předat. Výkon je dle I, rov. (I3,8) roven součinu síly a rychlosti. Pro základní odhad vypočteme výkon, který tekutina proudící rychlostí předá stěně kolmé k proudu, která se pohybuje ve směru proudu rychlostí . Pro výkon dostaneme vyjádření

,	(4,228)

v kterém je hmotnostní tok v místě ustupující stěny, který je úměrný čtverci rozdílu rychlosti proudu a stěny. Zjistíme, pro jakou rychlost stěny při dané rychlosti je tento výkon maximální. Položíme-li derivaci výkonu podle rychlosti rovnu nule, dostaneme

.	(4,229)

Extrém výkonu tedy nastane při . První hodnotě, kdy stěna proudu plně ustupuje, odpovídá minimum výkonu, protože síla na stěnu a tedy i výkon jsou nulové. Druhý případ odpovídá hledanému maximu, které v uvažovaném případě nastane, když stěna se pohybuje třetinovou rychlostí, než je rychlost proudu tekutiny.

Uvedené příklady jenom hrubě naznačují, jak se při vyšetřování činnosti turbín a vodních kol postupuje. Podrobněji se problematikou zabývají Horákovy učebnice technické fyziky (např. [66]), detailní popis jednotlivých zařízení lze nalézt např. v [67]).

4.7.6 Výtok tekutiny otvorem

Výtok tekutiny otvorem v nádobě závisí na rozdílu mezi tlakem v nádobě a tlakem v jejím okolí , na reologických vlastnostech tekutiny (viz kap.2) a na velikosti, tvaru a povrchu otvoru. Při vyšších výtokových rychlostech je třeba respektovat stlačitelnost plynů a jejich výtok studovat odděleně od výtoku kapalin. Vytéká-li nestlačitelná tekutina hustoty r z nádoby tak malým otvorem, že nemusíme uvažovat pokles tlaku v nádobě v průběhu výtoku, dostáváme z Bernoulliovy rovnice (4,91) pro rychlost výtoku

,	(4,230)

kde jsme označili Dp přetlak mezi nádobou a okolím; .

Nejběžnější aplikací rovnice (4,230) je případ, kdy kapalina v tíhovém poli vytéká ze široké nádoby malým otvorem v hloubce . Potom její rychlost je dána tzv. Torricelliůvým vzorcem

,	(4,231)

neboť přetlak Dp je v tomto případě dán hydrostatickým tlakem, který dle (4,20) je roven rgh, kde g je velikost tíhového zrychlení. Zanedbání poklesu tlaku v nádobě v průběhu výtoku zde znamená, že při odvození rovnice (4,231) jsme zanedbali pokles volné hladiny tekutiny v nádobě; v Bernoulliově rovnici (4,91) jsme položili rychlost hladiny v nádobě rovnu nule. Neučiníme-li toto zanedbání, dostaneme pro rychlost výtoku kapaliny otvorem vzorec

,	(4,232)

který platí i pro výtok větším otvorem.

Rovnici (4,230) lze použít i pro plyn, vytéká-li z nádoby pod malým přetlakem Dp.. Vzorec plyne z Bernoulliovy rovnice v tvaru (4,91) , tedy v tvaru platném pro nestlačitelnou tekutinu. Lze jej tedy použít pouze, když je změna hustoty plynu s poklesem tlaku zanedbatelná, např. pro vzduch za normálních podmínek do výtokové rychlosti přibližně . V těchto případech nemusíme mezi plynem a kapalinou rozlišovat a můžeme je vyšetřovat společně jako tekutinu, jak jsme to dosud ve statích věnovaných hydraulice dělali.

Objem tekutiny vyteklé otvorem za jednotku času, tj. objemový tok (viz (4,136) ), však nelze získat prostým vynásobením plochy otvoru rychlostí výtoku (4,230) . Při výtoku tekutiny dochází za výstupním otvorem ke zúžení (kontrakci) vytékajícího paprsku a skutečný objemový tok kapaliny otvorem vyjádříme jako

, (4,233)

kde a je číslo menší než jedna. Číslo se nazývá činitel kontrakce (činitel zúžení) nebo též kontrakční číslo. Zúžení paprsku vytékající tekutiny je způsobeno tím, že tekutina, která v nádobě je v klidu, nedosáhne výtokové rychlosti dané rovnicemi (4,230) či (4,231) okamžitě v místě otvoru, ale až v jisté vzdálenosti od otvoru. Na této vzdálenosti nekoná tekutina rovnoměrný, ale zrychlený pohyb. Z rovnice kontinuity (4,43) plyne pro průřez S₁ v místě zúžení paprsku

,	(4,234)

kde je rychlost v místě otvoru plochy S , je plocha průřezu tekutiny v místě kontrakce a v je výtoková rychlost daná rovnicí (4,230) , resp. (4,231) .

Činitel kontrakce nabývá hodnot v intervalu . Pro výtok kruhovým otvorem v tenké stěně nabývá činitel kontrakce hodnoty přibližně 0,6. Vytvaruje-li se vhodně výstupní hubici, lze dosáhnout hodnot blízkých jedné. Někdy stačí k podstatnému snížení kontrakce úprava výtokové hubice v tlustší stěně. Tyto úpravy znamenají, že tvarem hubice usnadníme brzké dosažení konečné výtokové rychlosti tekutiny v, kterou tekutina téměř dosáhne na konci hubice. S problémem nalezení vhodného tvaru výtokové hubice se často setkáváme v běžném životě, např. když chceme koupit dobrou čajovou konvici.

Uvažovanou kontrakci paprsku jsme vysvětlili v rámci zákonů platných pro proudění ideální tekutiny. Nezahrnuje tedy vliv viskozity či obecnějších reologických vlastností proudící tekutiny a vliv tvarových či povrchových vlastností hubice na objemový tok tekutiny vytékající z nádoby. Toto snížení objemového toku se vystihuje rychlostním činitelem j zavedeným analogicky jako činitel kontrakce a (viz rov. (4,233) ). Pro vodu se tento činitel blíží jedné ( ) a lze ho tedy často zanedbat, ale pro některé viskóznější látky, např. pro oleje, může být velmi podstatný. U některých reologicky složitějších látek se může i stát, že zahrnutí jejich vlastností rychlostním činitelem je nedostatečné a výtok těchto látek otvorem se musí studovat jinými metodami, než jsou metody vyložené v této stati.

Součin činitele kontrakce a rychlostního činitele se nazývá výtokový činitel a označuje se m..

Zahrneme-li i vlivy snížení výtoku tekutiny vystižené rychlostním činitelem j , dostaneme z rovnice (4,433) pro objemový tok otvorem

.	(4,235)

Porovnáním objemového toku zjištěného z naměřeného objemu tekutiny, která za určitý čas z nádoby vytekla, s jeho ideální hodnotou můžeme experimentálně zjistit hodnotu výtokového činitele m.. Rozklad m na jeho součinitele, tedy oddělení vlivu kontrakce a třecích ztrát na snížení výtoku z nádoby už je obtížnější.

Výtok plynu při větším přetlaku

Výše v této stati jsme uvedli, že pro vzduch můžeme rov. (4,230) užít do rychlosti výtoku přibližně rovné 100 ms^-1. Této poměrně vysoké výtokové rychlosti odpovídá přetlak

který nedosahuje ani jedné desetiny atmosférického tlaku p_at ( ), tedy ani jedné desetiny atmosféry, kde atmosférou rozumíme dříve často užívanou jednotku tlaku přibližně rovnou atmosférickému tlaku (srov. stať 4.2.1).

Pro vyšší přetlak mezi tlakem v nádobě a tlakem v prostoru , do kterého plyn vytéká (expanduje), nelze již zanedbat změny hustoty plynu při tomto ději. Děj je natolik rychlý, že nedojde k vyrovnání teploty mezi expandujícím plynem a jeho okolím. Plyn se znatelně ochladí, někdy natolik, že dojde i k jeho fázové změně. Např. když vypouštíme oxid uhličitý z tlakové nádoby, můžeme jej dostat ve formě jehliček pevné látky, které se říká suchý led. I když nebudeme přihlížet k těmto extrémním případům, nelze expanzi plynu vyvolanou větším přetlakem pokládat za děj izotermický a musíme ji popisovat jako děj adiabatický, při kterém se teplota plynu mění. Do mechaniky kontinua tak přidáváme další veličinu - teplotu - a do řešení problému musíme zapojit další disciplínu - termodynamiku (viz např. [51]).

Uvažujeme-li stlačitelnost plynu, nemůžeme vyjít z Bernoulliovy rovnice v tvaru (4,91) , ale musíme použít obecnější tvar (4,84) , v kterém zanedbáme působení objemových sil, tedy vynecháme druhý člen rovnice. Na proudnici plynu porovnáme místo v nitru nádoby, kde položíme rychlost plynu rovnou nule a místo v oblasti otvoru, kde stanovíme výtokovou rychlost v. Z rovnice (4,84) pak plyne

.	(4,236)

Stanovíme nyní primitivní funkci

(4,237)

k funkci pro případ adiabatického děje. Pro něj platí rovnice.(viz např. [51])

,	(4,238)

kde V je objem jednoho molu plynu, m_mjeho hmotnost. a je Poissonova konstanta, tj. poměr měrné tepelné kapacity plynu při stálém tlaku, k měrné tepelné kapacitě při stálém objemu. Z rovnice (4,238) plyne pro závislost hustoty plynu na jeho tlaku vyjádření

,	(4,239)

kde K je konstanta. Dosadíme-li závislost (4,239) do (4,237) , dostaneme

.	(4,240)

Na levou stranu Bernoulliovy rovnice (4,236) dosadíme hodnotu funkce f_p pro bod uvnitř nádoby, tedy hodnotu , a pro hodnotu primitivní funkce na pravé straně . Hodnoty aditivní konstanty k se objeví na obou stranách rovnice, a tedy vypadnou a z rovnice (4,236) po pracných, ale elementárních úpravách dostaneme pro výtokovou rychlost plynu vyjádření

.	(4,241)

Vzorec (4,233) však platí jen do kritické výtokové rychlosti, kterou je rychlost zvuku v daném prostředí. Ta se ustaví, když poměr dosáhne jisté mezní hodnoty. Pro dvouatomový plyn, jakým je v dobrém přiblížení i vzduch, je tato hodnota 0,53. Poissonova konstanta pro takový plyn má hodnotu . K dosažení kritické výtokové rychlosti dvouatomového plynu tedy stačí, aby tlak v nádobě, říkáme ji v této souvislosti též zásobník, byl přibližně dvojnásobný oproti tlaku ve vnějším prostředí.

Jak jsme si již dříve v tomto článku říkali, při nadzvukových rychlostech je třeba řešit problémy dynamiky tekutin zcela jiným způsobem (viz např.[59]), než jejich modelováním ideální tekutinou, což jsme zde při odvození vztahu (4,241) učinili. Proto ani nepřekvapí, že pro hodnotu , tedy pro výtok do vakua, dá rovnice (4,241) zcela nerealistickou nulovou hodnotu. Tuto rovnici musíme chápat jako rovnici, která dává přibližné vyjádření výtokové rychlosti plynů, platné do té míry do jaké můžeme plyn pokládat za ideální a výlučně pro rychlosti menší, než je rychlost zvuku v daném prostředí při teplotě ve výtokové oblasti. Je-li tlak v prostoru, do kterého plyn vytéká menší, než je tlak kritický , zůstává již rychlost výtoku na své kritické hodnotě a dále se nezvyšuje. Pro tlaky velikost výtokové rychlosti na tlaku nezávisí. Jednoduchá rovnice pro výtokovou rychlost

(4,242)

tak nahrazuje rovnici (4,241) pro tlaky .

Při výtoku tenkým otvorem nastává i u plynů kontrakce proudu. Analogicky s rov. (4,235) můžeme pro objemový tok plynu psát rovnici

,	(4,243)

kde m je výtokový činitel a výtoková rychlost v je nyní dána rovnicí (4,241) . Výtokový činitel u neupravených otvorů činí až 0,64. Pro jeho zvýšení, a tedy pro zlepšení výtoku plynu, se v praxi užívají výtokové hubice, u plynů se nazývají trysky nebo dýzy, vytvarované tak, aby co nejlépe vystihly zužování (kontrakci) volného paprsku. Vybavíme-li trysky leštěným povrchem a zaoblíme všechny hrany, lze dosáhnout hodnoty výtokového činitele m až 0,98.

Existence kritické výtokové rychlosti plynů nezávislé na zvyšování přetlaku omezuje možnosti získání dostatečně velké kinetické energie tryskajících plynů, což omezuje možnosti např. při konstrukci raket nebo parních turbín. Existuje však způsob, jak vhodným uspořádáním výtokové hubice zvýšit konečnou rychlost plynu opouštějícího systém nad hodnotu kritické rychlosti . Děje se tak. užitím Lavalovy trysky znázorněné na obr.95. Na rozdíl od běžných trysek má Lavalova tryska za nejužším místem rozšiřující se část. Hodnota kritické rychlosti nezávislé na přetlaku je dosažena v nejužším místě trysky s průřezem S_k. Rozšíření trysky nemůže přinést zvýšení množství (hmotnosti) plynu, který opouští nádobu, protože musí mezi průřezem S_k a výstupním průřezem S být splněna rovnice kontinuity proudění. Rozšíření trubice způsobí snížení tlaku pod jeho kritickou hodnotu , kterou nabývá v nejužším místě trysky. Okolní prostor o tlaku je tak rozšiřující se částí trysky oddálen od místa , kde je tlak kritický a hodnota jeho tlaku, tj. , je menší, než je hodnota kritického tlaku . V celém systému od nádoby až po konec trysky tak dosáhneme většího přetlaku , než je přetlak kritický a větší rychlosti výtoku plynu z trysky, než je kritická rychlost . Mluvíme o nadkritické rychlosti výtoku dosažené zavedením Lavalovy trysky do systému.

Lavalova tryska může mít vrcholový úhel přibližně kuželovitého rozšíření nejvýše 10^o, aby nedocházelo k odtržení proudu plynu od stěny a tím i ke vzniku nežádoucí kavitace, která silně narušuje materiál trysky. Podrobnější výklad o výtoku plynů lze najít. např. v [66] nebo [56].

Doposud jsme vždy předpokládali, že střední volná dráha molekul plynu je zanedbatelná vůči charakteristické délce (např. průměru) otvoru. U plynů za sníženého tlaku, tedy ve vakuové technice, je často třeba zkoumat případy výtoku plynu, kdy střední volná dráha molekul je srovnatelná s rozměry otvoru, případně i jiné otázky dynamiky plynů, kde rozměry zařízení a volná dráha molekul jsou srovnatelné. V takových případech nelze plyn pokládat za kontinuum a otázky jeho proudění je třeba řešit za přispění jiných teorii, zde konkrétně za přispění kinetické teorie plynů (viz např. [51]). Některé otázky na pomezí mechaniky a kinetické teorie plynů jsou řešeny též v [56].

4.7 Jak se zkoumá proudění reálných tekutin v složitějších případech.

4.7.1 Vířivé proudění

4.7.2 Rovinné proudění, konformní zobrazení

4.7.3 Hydraulika

4.7.4 Proudění tekutiny potrubím

4.7.5 Hybnost proudící tekutiny

4.7.6 Výtok tekutiny otvorem