(4,44)

---

Jak jsme již uvedli v čl. 1.1, v obecném případě mají proudnice v různých okamžicích různý tvar. Pouze v případě stacionárního (ustáleného) proudění, kdy rychlosti jsou na čase nezávislé,

je tvar proudnic po celou dobu pohybu tekutiny stejný a proudnice jsou shodné s trajektoriemi částic.

 

4.3.1 Potenciálové a vířivé proudění

První Helmholtzova věta (1,17) udává, že obecně se pohyb tekutiny skládá z translačního, deformačního a otáčivého pohybu. Je-li v určité oblasti tekutiny výraz

který v rovnici (1,17) odpovídá otáčivému (rotačnímu) pohybu, různý od nuly, říkáme že proudění tekutiny je vířivé. Vektorová analýza (např. [9], kap. 78, [1], čl. 1.6) uvažuje ve vektorovém poli výraz o složkách

tj. dvojnásobnou hodnotu antisymetrické části tenzoru jako vektor.[*] Nazývá jej rotací vektoru a označuje . Můžeme tedy říci, že při vířivém proudění je v určité oblasti tekutiny rotace vektoru rychlosti různá od nuly;

Vektor

který je roven dvojnásobné hodnotě úhlové rychlosti otáčení , (viz čl. 1.1, rovnici (1,14) ), nazýváme vírem rychlosti a označujeme jej ;

Je-li v celé vyšetřované oblasti tekutiny vír rychlosti nulový,

říkáme, že proudění je nevířivé. Ve vektorové analýze se dokazuje, že vektor, který splňuje podmínku (4,48) , lze vyjádřit jako gradient nějaké skalární funkce , tedy

Rovnice (4,49) je analogická rovnici (I3,21) (rozdíl ve znaménku je nepodstatný). Funkci f z rovnice (4,49) nazveme rychlostním potenciálem. Znalost rychlostního potenciálu stačí k určení rychlosti nevířivého proudění . Nevířivé proudění se proto též nazývá prouděním potenciálovým.

 

4.3.2 Rovnice kontinuity proudění

Při proudění musí být zachována hmotnost tekutiny. Z tohoto jednoduchého předpokladu vycházíme při odvození rovnice kontinuity proudění. Odvodíme ji nejprve ve tvaru vám známém ze středoškolského studia [2], tj. pro proudění tekutiny trubicí.

 

Mějme trubici znázorněnou na obr.68. Budeme předpokládat, že proudění je stacionární. Na obr.68 je znázorněno několik proudnic a vektor rychlosti , který udává orientaci proudění uvažovanou v následujících slovních formula-cích*). Průřezem kolmým ke směru rychlosti vteče do trubice za časový interval hmotnost tekutiny

. (4,50)

Za stejně dlouhý časový interval vyteče průřezem z trubice hmotnost tekutiny

Veličiny , jsou průměrné hodnoty rychlosti a hustoty v průřezu a , průměrné hodnoty týchž veličin v průřezu . Předpokládáme stacionární proudění, a proto , jsou konstantní hodnoty. Také hustota v jednotlivých bodech uvnitř trubice se nemění s časem. Potom se nemění ani hmotnost tekutiny obsažené v trubici; veškerá hmotnost, která do trubice za časový interval vteče, z ní za stejný časový interval musí vytéct. Tedy hmotnost z rovnice (4,50) se musí rovnat hmotnosti z rovnice (4,51) . Porovnáním obou rovnic po vykrácení stejnou hodnotou dostáváme

Rovnice (4,52) je rovnice kontinuity pro stacionární proudění tekutiny v trubici.

 

Hustota kapaliny je konstantní, . Rovnice (4,52) se pro kapalinu zjednoduší na tvar

platný vzhledem k nestlačitelnosti kapaliny i pro nestacionární proudění.

 

Při odvozování rovnice (4,52) není podstatné, aby trubice z obr.68 měla pevné stěny. Důležité je jenom, aby tekutina se vyměňovala s okolím pouze přes průřezy a ne pláštěm trubice. Tuto podmínku splňuje nejen pevná reálná trubice, ale i myšlený útvar v tekutině, jehož plášť je tvořen proudnicemi. Takový útvar se nazývá proudová trubice [1] nebo též proudové vlákno [2]. Rovnice (4,52) a (4,53) platí nejen v reálných trubicích, ale i v proudových trubicích.

 

Uvedeme též obecnou formulaci rovnice kontinuity, tj. rovnici, která udává vztah mezi veličinami vztaženými k bodům proudového pole a ne vztah mezi průměrnými hodnotami v různých průřezech proudové trubice.

 

Mysleme si uzavřenou plochu S pevnou v prostoru, kterou proudí tekutina (obr.69). Hmotnost tekutiny, která za jednotku času vyteče přes plochu S z objemu V omezeného touto plochou, je dána plošným integrálem

V rovnici (4,54) je jednotkový vektor ve směru vnější normály plochy. Výraz je tok vektoru plochou S (pojem tok vektoru viz např.[9], čl. 7.3 nebo [52], čl. 1.8). Vektor udává hmotnost tekutiny prošlou průřezem kolmým ke směru rychlosti za jednotku času. Tok tohoto vektoru plochou S, tedy výše uvedený výraz, se nazývá hmotnostní tok (např. [52], čl. 2.16);

Na obr.70 je znázorněn řez jednou z proudových trubic procházejících plochou S z obr.69. V předcházejícím odvození rovnice kontinuity jsme tok hmotnosti za jednotku času plochou vyjádřili jako , tok plochou jako . V integrálním vyjádření (4,54) pokládáme trubici za elementární. Tok elementem plochy , který obecně není kolmý k rychlosti , vyjádříme jako , kde je úhel, který rovina elementu svírá s rovinou příčného průřezu. V okolí místa 2, kde tekutina oblast ohraničenou plochou S opouští, je to úhel , který svírá element průřezu s elementem průřezu , průřezu kolmého k rychlosti . V okolí místa 1, kde tekutina vtéká do oblasti ohraničené plochou S, je to úhel mezi rovinou elementu v tomto místě a rovinou elementu průřezu kolmého k rychlosti . Násobení výrazem zabezpečí přirozený požadavek, aby tok plochami a jim příslušnými elementy byl stejně velký.

 

Úhel mezi rovinou elementu a rovinou průřezu kolmého k rychlosti je stejný jako úhel mezi rychlostí a vnější normálou plochy S v místě elementu . Proto lze nahradit skalárním součinem , který k absolutní hodnotě přidá ještě kladné znaménko v případě, kdy tekutina z plochy S vytéká (oblast 2) a záporné znaménko tam, kde tekutina proudí dovnitř plochy S (oblast 1). Pro elementární tok plochou tak dostáváme vyjádření

které stojí za integračním znakem v rovnici (4,54) .

 

Hmotnost m obsaženou v objemu V lze vyjádřit (viz I, čl. 5.1) jako . Změna hmotnosti za jednotku času v objemu V je tedy dána výrazem

a je rovna záporně vzatému množství hmotnosti , které za jednotku času z objemu V vyteče;

Porovnáním předposlední rovnice s rovnicí (4,54) pak dostáváme

Podle Gaussovy věty, citované v poznámce na str. 106, je možné plošný integrál na levé straně rovnice (4,56) převést na objemový integrál . Objem V je v prostoru stálý, a proto lze vyměnit pořadí derivování a integrování na pravé straně rovnice (4,56) ;

Rovnici (4,56) tedy můžeme přepsat na tvar

Převedeme-li oba integrály na jednu stranu rovnice a součet integrálů napíšeme jako integrál součtu, dostáváme

Objem V byl v proudící tekutině zvolen libovolně. Rovnice (4,57) musí tedy být splněna pro každý objem V zvolený v tekutině. To však je možné jen tehdy, když integrand v integrálu (4,57) je roven nule v každém bodě tekutiny.

Rovnice (4,58) , která platí v každém bodě tekutiny, je obecnou formulací rovnice kontinuity proudění.

 

Ve vektorové analýze se skalární výraz

kde je vektorová funkce, nazývá divergence vektoru a užívá se pro něj označení div ;

S tímto označením lze rovnici (4,58) zapsat v tvaru

Výraz můžeme derivovat jako součin;

Hustota je funkcí souřadnic a času , tedy

V rovnici (4,58) upravíme první člen dle identity (4,61) , dostaneme

a za napíšeme ve shodě s (4,62) .

Dostaneme další často užívaný tvar rovnice kontinuity

Zavedeme-li do rovnice divergenci (4,59) vektoru rychlosti, , můžeme rovnici (4,63) přepsat na tvar

Je-li tekutina nestlačitelná, je a . Pro kapalinu je rovnice kontinuity vyjádřena jednoduchou podmínkou:

 

4.3.3 Pohybová rovnice tekutiny

Pro obecnou analytickou formulaci problému proudění tekutin ([1], čl. 13.3) je třeba vedle rovnice kontinuity uvažovat i pohybovou rovnici tekutin. V čl. 3.1 jsme uvedli pohybovou rovnici kontinua (3,13)

Základním předpokladem o chování ideálních tekutin je rovnice (4,1) , která udává, že napětí je dáno výrazem

Do rovnice (3,13) dosadíme za dle (4,1) a souřadnici označíme . Místo členu pak budeme psát . Na pravé straně rovnice zrychlení vyjádříme jako derivaci rychlosti dle času . Dostaneme rovnici

jež je pohybovou rovnicí proudící ideální tekutiny. Upravíme ji na obvykle uvažovaný tvar tím, že za výraz dosadíme dle identity

a celou rovnici vydělíme hustotou , dostaneme:

 

Pro kapalinu ( ) představují rovnice (4,67) a (4,65) systém čtyř rovnic pro určení čtyř hledaných funkcí , popisujících stav proudící kapaliny. Pro stlačitelnou tekutinu je třeba k rovnicím (4,67) a (4,63) ještě připojit známou závislost (4,6) , aby bylo možno určit pět hledaných funkcí charakterizujících stav proudící stlačitelné tekutiny. Přesné řešení hydrodynamických úloh dle uvedeného schématu je velmi obtížné, neboť rovnice (4,67) není lineární rovnicí.

 

4.3.4 Bernoulliova rovnice

Dále budeme vyšetřovat pouze případy, kdy lze udat první integrál rovnice (4,67) , kterým je ze středoškolského studia známá Bernoulliova rovnice. V I, kap. 3 jsme získali první integrál pohybové rovnice hmotného bodu (I2,1)

kterým je zákon zachování energie (I3,16)

V uvedené kapitole jsme současně zaváděli pojmy práce a energie, a proto postup od rovnice k rovnici byl zdlouhavý. Nyní tento postup provedený v I stručně zopakujeme.

 

Pohybovou rovnici hmotného bodu , tj. 2. Newtonův zákon, promítneme do směru trajektorie hmotného bodu, a tento průmět budeme integrovat podél trajektorie, získáme rovnici

Poměr vektoru rychlosti hmotného bodu k velikosti rychlosti v udává jednotkový tečný vektor ve směru trajektorie, jehož smysl je shodný se smyslem pohybu hmotného bodu. Konstanta k na pravé straně rovnice (4,68) odpovídá tomu, že primitivní funkce k dané funkci je určena až na libovolnou volitelnou konstantu. Proto z rovnosti výrazů neplyne přímo rovnost , ale rovnice (4,68) . Výraz na levé straně rovnice (4,68) značí práci sil vykonanou na hmotný bod. Je-li pole sil konzervativní, existuje k němu potenciální energie a dle rov. (I3,21) platí , tedy

Výraz je speciální volbou libovolného diferenciálního posunutí v oboru souřadnic , v kterém je definováno silové pole . Proto můžeme v rovnici (4,69) položit .

 

Upravíme nyní pravou stranu rovnice (4,68) :

V úpravě (4,70) užíváme identit

a

Dosadíme-li z (4,69) a (4,70) do (4,68) , dostáváme

a tedy

Výraz je kinetická energie hmotného bodu a konstantu můžeme označit konst. Dostáváme tedy hledané vyjádření (I3,16)

zákona zachování mechanické energie hmotného bodu, který se pohybuje v konzervativním silovém poli, tj. první integrál pohybové rovnice .

 

Dle rovnice (4,74) součet potenciální energie v libovolném bodě trajektorie a kinetické energie hmotného bodu v okamžiku, kdy se v tomto bodě nachází, je pro všechny body trajektorie stejný. Tento výsledek lze získat též z rovnice (4,72) , nahradíme-li neurčité integrály určitými provedenými mezi libovolnými dvěma místy 1, 2 trajektorie (obr.71). Dostaneme tak rovnici

neboť pro určité integrály není třeba uvažovat konstantu k. Z (4,75) plyne

neboli

 

Ukázaný postup odvození prvního integrálu pohybové rovnice hmotného bodu aplikujeme na odvození prvního integrálu Eulerovy hydrodynamické pohybové rovnice (4,67) . Za integrační cestu zvolíme proudnici. Omezíme se při tom na případ, kdy proudnice jsou s časem stálé, tedy na případ stacionárního proudění. Při stacionárním proudění (viz (4,45) ) není rychlost funkcí času t, a tedy , a rovnice (4,67) se zjednoduší na tvar

Rovnici (4,77) vynásobíme jednotkovým vektorem , který má směr proudnice a smysl shodný s orientací rychlosti částic. Vzniklý průmět do směru proudnice budeme dle proudnice integrovat, dostaneme

Je-li pole objemových sil působících na tekutinu konzervativní, můžeme dle (I3,25) složky intenzity pole vyjádřit jako záporně vzaté parciální derivace potenciálu V dle souřadnic (v proudící tekutině označujeme souřadnice );

Stejně jako v předchozím odvození lze položit , a tedy

Podobně

Pro úpravu výrazu na levé straně rovnice (4,78) užijeme identitu

analogickou s (4,71) ; dostaneme

Dosadíme-li z rovnic (4,80) , (4,81) a (4,83) do (4,78) , získáme, když převedeme všechny integrály na jednu stranu, rovnici

neboli

 

Pro kapalinu je a integrál

v rovnici (4,84) můžeme snadno vypočítat;

Pro kapalinu má Bernoulliova rovnice jednoduchý tvar

který říká, že pro libovolná dvě místa 1, 2 na stejné proudnici (obr.72) se sobě rovnají výrazy

. (4,88)

Index označuje příslušnost veličiny k uvažovanému místu, hustota je konstantní, tedy . Vynásobíme-li rovnici (4,87) hustotou , dostáváme jiný, často užívaný tvar Bernoulliovy rovnice:

Konstanty v rovnicích (4,87) a (4,89) neporovnáváme. Proto jsme užili pro obě stejného označení konst., i když druhá rovnice vznikne z první násobením konstantní hustotou .

 

Potenciální energie hmotného bodu o hmotnosti m v tíhovém poli, když výšku počítanou od libovolně zvolené hladiny nulového potenciálu označíme h, je dána známým výrazem (I4,12) , a tedy potenciál

Dosadíme-li vyjádření (4,90) za V do rovnice (4,89) , dostaneme Bernoulliovu rovnici pro kapalinu v tíhovém poli

Rovnice (4,87) , (4,88) , (4,89) a (4,91) lze užívat i pro plyny, nedochází-li k jejich velkému stlačení (kriteria lze nalézt v [1], kap. 14).

 

Chceme-li přesněji vystihnout chování plynů, musíme vypočítat tlakovou funkci P danou rovnicí (4,85) . Znamená to dosadit do (4,85) konkrétní tvar závislosti (4,6) . Např. pro izotermický děj ideálního plynu je dle (4,23) , a tedy

Dosadíme-li dle (4,92) do rovnice (4,82) a užijeme-li společného označení pro aditivní konstanty obou rovnic, dostáváme Bernoulliovu rovnici

pro izotermické proudění ideálního plynu.

 

Rovnici (4,84) lze odvodit ([1], čl. 14.1) pro nevířivé stacionární proudění jako rovnici platnou v celém prostoru, v kterém kapalina proudí. Konstanta na pravé straně rovnice je stejná pro všechny body, jimiž tekutina proudí a nejen pro body jedné proudnice. Je však nutno upozornit, že podmínka (4,48) nevířivého proudění je přísná a řada technicky důležitých druhů proudění ji nesplňuje. Např. často uvažované Couettovo proudění (1,65) má z parciálních derivací nenulovou pouze derivaci , a tedy nenulovou třetí složku

(eq0200)SETEQ(eq0201)

víru rychlosti . Proto je v aplikacích často výhodnější vycházet z předcházejícího odvození a rovnici (4,84) pokládat za splněnou pouze podél jednotlivých proudnic.

 

K rovnici (4,91) lze dojít i elementární úvahou, sledujeme-li stacionární proudění kapaliny v tíhovém poli v jedné prou-dové trubici. Na obr.73 je naznačen průřez takovou trubicí. Na začátku sledova-ného časového intervalu se nachází uvažované množ-ství kapaliny v poloze I mezi plně vytaženými průřezy a . Na konci intervalu přejde do polohy II mezi čárkovaně značené průřezy. Dle věty (I5,65) práce vykonaná všemi silami působícími na soustavu je rovna přírůstku kinetické energie soustavy. Rozdíl kinetické energie uvažovaného množství kapaliny, přejde-li z polohy I do polohy II, je tedy roven práci vykonané všemi silami na uvažované množství kapaliny při provedeném posunu, tedy

Rozdíl kinetických energií v poloze I a II je dán rozdílem kinetických energií částí vyšrafovaných na obr.68. Kinetická energie společné části poloh I, II (na obr.68 je tato část nešrafovaná) je při uvažovaném stacionárním proudění stejná pro obě polohy kapaliny. Můžeme tedy psát

kde je průměrná velikost rychlosti kapaliny ve vyšrafované oblasti u průřezu a průměrná velikost rychlosti ve druhé vyšrafované oblasti. Objem první vyšrafované oblasti je v uvažovaném přiblížení dán vztahem

a objem druhé oblasti je

Dle rovnice kontinuity, kterou zde můžeme užít v tvaru (4,53) je

a tedy

Jelikož , je hmotnost

obou vyšrafovaných oblastí stejná. Tento výsledek jsme již intuitivně užili v rovnici (4,95) .

Práce uvažovaná v rov. (4,94) se skládá z práce tíhové síly a z práce, kterou na uvažované množství kapaliny vykoná ostatní kapalina. První část práce vyjádříme jako záporně vzatý rozdíl potenciálních energií kapaliny v poloze I a II, pro který v analogii s rovnicí (4,49) napíšeme vyjádření

V rovnici (4,100) je průměrná výška první vyšrafované oblasti a průměrná výška druhé vyšrafované oblasti nad zvolenou nulovou hladinou potenciální energie. Druhá část práce je dána rozdílem kladné práce, kterou vykoná průměrná síla působící na průřez , posune-li se kapalina z polohy I do polohy II a záporné práce, která se spotřebuje na posunutí kapaliny proti síle u průřezu . Velikost posunu u průřezu je , posun u průřezu je . Vyjádříme-li velikost síly jako , kde je průměrná hodnota tlaku v první vyšrafované oblasti, a velikost síly jako , kde je průměrná hodnota tlaku ve druhé vyšrafované oblasti, můžeme pro druhou část práce napsat vyjádření

Celá práce je pak dána výrazem

V posledních dvou členech rovnice lze dle (4,96) , (4,97) a (4,99) za a položit . Práci pak můžeme napsat jako

Do rovnice (4,94) dosadíme vyjádření práce dle (4,101) a rozdílu kinetických energií dle (4,95) ; dostaneme:

Po vykrácení hmotností m, vynásobení hustotou a rozdělení členů dle indexů na jednotlivé strany získá poslední rovnice tvar

Rovnice (4,102) udává vztah mezi průměrnými hodnotami rychlostí, výšek a tlaků ve dvou různých libovolně volených oblastech (na obr.68 značených šrafovaně) jedné proudové trubice. Provedeme-li limitní přechod, při kterém zmenšujeme k nule rozměry oblastí, přejde proudová trubice v proudnici a průměrné hodnoty v oblasti se stanou hodnotami vztaženými k jednomu bodu na proudnici. Žádný z členů v rovnici (4,102) nezávisí přímo na rozměrech uvažovaných oblastí, a proto se tvar rovnice (4,102) limitním přechodem nemění. Pokládáme-li rovnici (4,102) za platnou podél proudnice, je její obsah shodný s obsahem rovnice (4,91) , neboť rovnost výrazů ve dvou libovolných bodech proudnice je totožný výsledek s tvrzením, že výraz je podél proudnice konstantní;

Základním důsledkem Bernoulliovy rovnice (4,91) je zmenšení tlaku v zúženém místě trubice protékané kapalinou (obr.74). Tento zdánlivě paradoxní výsledek - bývá označován jako hydrodynamický paradox - je jednoduchým důsledkem rovnice (4,91) . Mysleme si proudnici znázorněnou na obr.74 a na ní dvě místa označená 1 a 2. Dle (4,91) nebo (4,102) dostaneme

Předpokládáme, že trubice je vodorovná, a proto stejné členy v rovnici (4,103) neuvádíme. Dle rovnice kontinuity (4,53)

Jelikož , musí být . V průřezu je větší rychlost než v průřezu . Potom a z (4,103) plyne

Menší tlak v průřezu je na obr.74 naznačen menší výškou kapaliny v připojené manometrické trubici u průřezu . Tlak v zúženém místě trubice může při větší rychlosti proudění klesnout až pod okolní barometrický tlak a manometrickou trubicí je potom do kapaliny nasáván vzduch. Na tomto principu jsou konstruovány vodní vývěvy, rozprašovače, karburátory k benzinovým motorům a další zařízení. Aplikace Bernoulliovy rovnice jsou velmi mnohostranné. Některé z nich jsou popsány v [6], čl. 2.5.2 a řada početních příkladů je uvedena v [8], kap. 9.