---

---

4.2 Rovnováha tekutin

Dosadíme-li do rovnice rovnováhy kontinua vyjádření napětí z (4,1) , dostaneme rovnici

,

(4,7)

kterou můžeme zapsat též v tvaru (srov. I, stať 3.4.4)

.

(4,7´)

Objemová síla (viz (1,76) ) je síla působící na jednotkový objem. Síly, které dávají vznik objemovým silám působícím na tekutinu, typickou takovou silou je tíže, jsou síly, jejichž velikost je úměrná hmotnosti objektu, na který působí. Objemové síly jsou tedy v tekutině úměrné hustotě .

U kapalin je hustota konstantní a napíšeme-li rovnici (4,7) v tvaru

,

(4,7´´)

můžeme její pravou stranu stanovit před řešením rovnice. Hustota plynů je proměnná a závislá na tlaku p. Když závislost vyjádříme dle (4,6) , je pravá strana rovnice (4,7´´) funkcí tlaku a její hodnotu nelze před řešením celé rovnice stanovit. Pro plyny je proto výhodnější místo objemové síly zavést do rovnice (4,7´´) intenzitu silového pole (srov. I, čl.3.5), kterou označíme . Intenzita silového pole je síla působící na jednotku hmotnosti tekutiny. Její vztah k objemové síle je tedy

.

(4,8)

Zavedeme-li do rovnice (4,7´´) intenzitu silového pole (4,8) , dostaneme po vydělení hustotou rovnici

.

(4,9)

V této rovnici je možno i pro plyn stanovit explicitně pravou stranu již před řešením. Proto jí pro obecnou formulaci podmínek rovnováhy tekutin bývá dávána přednost před rovnicí (4,7) .

Řešením rovnice hydrostatické rovnováhy je stanovení funkce

,

(4,10)

která udává rozložení tlaku v tekutině. Funkce (4,10) plně charakterizuje stav kapaliny v rovnováze. U plynu je nutno ještě stanovit rozložení hustoty

.

(4,11)

Pro barotropní plyn funkci (4,11) získáme dosazením závislosti (4,10) do vyjádření hustoty (4,6) .

Z rovnice (4,7) nebo (4,9) plyne, že pro kapalinu ( ) jsou parciální derivace nezávislé na tlaku. Objemovými silami je rozložení tlaku v kapalině určeno až na aditivní konstantu k. Je-li funkce řešením rovnice (4,7) , je jejím řešením také každá funkce

,

(4,12)

kde k je libovolná konstanta. Hodnota konstanty se stanoví z okrajových podmínek konkrétního řešeného příkladu. Jelikož však jde o určení jediné konstanty, redukují se okrajové podmínky na znalost tlaku p v jednom libovolném bodě kapaliny. Změní-li se v tomto bodě tlak o hodnotu , změní se o stejnou hodnotu i konstanta k, a tedy i tlak v každém bodě kapaliny.

Vlastnost vystižená Pascalovým zákonem je základem řady hydraulických zařízení, která užívají kapaliny jako media k rozvádění síly. Známe hydraulické ovládaní brzd a dalších prvků dopravních prostředků, hydraulické lisy a pod. V hydraulických zařízeních přenášený tlak, odpovídající konstantě k z rovnice (4,12) , bývá velký ve srovnání se změnami tlaku způsobenými objemovou, obvykle tíhovou silou. V rovnici (4,12) můžeme funkci zanedbat oproti konstantě k a tlak p pokládat za konstantní a rovný k v celém objemu kapaliny.

Z této poslední věty vychází při zjednodušeném výkladu činnosti zařízení aplikujících Pascalův zákon.

Na obr.58 je znázorněn princip hydraulického lisu. Silou o velikosti způsobíme v místě, kde se píst o ploše stýká s kapalinou, tlak p o velikosti . Dle poslední formulace Pascalova zákona pak předpokládáme stejný tlak p v celém objemu kapaliny, tedy i v místě, kde se nachází píst . Má-li být kapalina v rovnováze, musí na píst působit síla o velikosti taková, aby tlak byl roven p. Musí tedy platit rovnice a pro poměr velikostí sil působících na pístech o plochách dostáváme

. (4,13)

Je-li plocha , bude . Působíme-li na píst malou silou , získáme na pístu velkou sílu . Stlačujeme-li píst , posune se píst směrem vzhůru a stojí-li v jeho cestě předmět opřený o pevnou podložku, je lisován velkou silou . Velikost posunů pístu a pístu jsou v opačném poměru než velikosti sil , takže práce vykonané oběma písty jsou stejné;

.

(4,14)

Snadný rozvod tlaku a možnost získání velkých sil jsou důvody, pro které jsou hydraulická zařízení v technické praxi často užívána. Pro plyny platí Pascalův zákon ve zde vyložené formě pouze přibližně. Jeho přesnou formulaci pro případ barotropních plynů lze nalézt např. v [1], čl. 11.3.

4.2.1 Hydrostatický tlak, barometrická rovnice

Vyšetříme, jak se chová tekutina v tíhovém poli (tíhové pole viz I, čl. 4.2). Objemovou tíhovou sílu jsme uvažovali v čl. 3.6, když jsme studovali deformaci válce způsobenou jeho vlastní tíhou. Zvolíme-li stejně jako v čl. 3.6 první osu souřadnic ve svislém směru s kladným smyslem mířícím vzhůru, budou složky objemové tíhové síly dány rovnicemi (3,95)

.

(3,95)

Intenzita tíhového pole je pak dle (4,8)

.

(4,15)

Dosadíme-li (4,15) do (4,9) nebo (3,95) do (4,7) , dostáváme stejné rovnice

(4,16)

pro určení hledané závislosti . Z druhých dvou rovnic systému (4,16) plyne, že tlak p nezávisí na souřadnicích , a je tedy funkcí pouze souřadnice . V první rovnici systému pak můžeme nahradit parciální derivaci úplnou derivací;

.

(4,17)

Je-li tekutinou kapalina, je a řešením rovnice (4,17) dostáváme pro tlak výraz

.

(4,18)

Je-li tekutinou plyn, musíme do rovnice (4,17) dosadit předpokládaný tvar závislosti (4,6) . Rovnice (4,17) bude na pravé straně obsahovat hledanou funkci p a budeme ji tedy muset řešit jako rovnici diferenciální (viz postup za rovnicí (4,24) ).

Rovnice (4,18) dává známý výraz pro hydrostatický tlak v kapalinách. Na obr.59 je znázorněna kapalina v nádobě. Počátek O souřadnicové soustavy uvažované při odvození rovnice (4,18) je zvolen v hladině kapaliny. Hydrostatický tlak bývá zvykem udávat v závislosti na hloubce h. Z obr.59 plyne, že a rovnici (4,18) můžeme přepsat na tvar

. (4,19)

Z rovnice (4,18) nebo (4,19) plyne, že v hladině kapaliny, kde , je tlak p roven konstantě k; . Na hladinu kapaliny působí z vnějšku barometrický tlak b, tedy . Konstanta k v rovnicích (4,18) a (4,19) je v případě naznačeném na obr.59 rovna barometrickému tlaku b. Při vyšetřování tlaku p v kapalinách nás často zajímá pouze rozdíl mezi tlakem p a barometrickým tlakem b a ne absolutní hodnota tlaku p. Pro rozdíl tlaků , který někdy bývá přímo nazýván hydrostatickým tlakem a označovaným jednoduše p (viz např. [2] ), dostáváme pak výraz

.

(4,20)

Přesněji se rozdíl tlaku p v určitém místě a okolního tlaku , kterým je často barometrický tlak b, nazývá přetlak. Je-li přetlak záporný, používá se v češtině pro jeho absolutní hodnotu i název podtlak.

K výrazu (4,20) lze dospět i elementárně. Myslíme-li si v hloubce h v kapalině plochu S rovnoběžnou s hladinou, spočívá na této ploše vzhledem k nepřítomnosti smykových napětí právě tíha celého sloupce kapaliny nad touto plochou. Vydělíme-li sílu plochou S, dostáváme pro tlak působící na plochu S právě výraz (4,20) . Jelikož v kapalině je na všech plochách procházejících daným bodem stejným bodem stejný tlak, působí přetlak v hloubce h i na plochách, které nejsou rovnoběžné s hladinou. Při elementárním odvození předpokládáme, že nad plochou S je kapalina až k hladině. Pro vznik hydrostatického tlaku však takový předpoklad není nutný. Přetlak daný rovnicí (4,20) vzniká v kapalině v hloubce h ve všech místech, bez ohledu na to, zda se nad nimi nachází kapalina nebo ne. Stačí si připomenout v dřívější výuce vyložené případy hydrostatického paradoxu a spojitých nádob.

Srovnáme chování kapaliny a pružného pevného tělesa v tíhovém poli. Znamená to porovnat rovnice (4,19) s rovnicemi (3,103) . Nejpodstatnější rozdíl mezi oběma závislostmi je v tom, že v kapalině všechna hlavní napětí, tj. jsou rovna stejné hodnotě , zatímco v pružné pevné látce (v hookovské látce) napětí a jsou podstatně různá.

Barometrická rovnice

Závislost tlaku plynu na výšce v tíhovém poli lze určit, předpokládáme-li nějaký konkrétní tvar funkce (4,6) . Nejjednodušší je předpokládat, že se plyn chová dle Boyleova-Mariottova zákona ( [3], kap. 4, [5], čl. 5.7, [51], čl. 2.5)

.

(4,21)

V rovnici (4,21) V je měrný objem plynu a k konstanta. Jelikož V je měrný objem, je to objem, který zaujímá zcela určitý počet molekul plynu. Označíme-li m úhrnnou hmotnost těchto molekul, hustotu plynu můžeme vyjádřit jako

.

(4,22)

Dosadíme-li z (4,22) za V do (4,21) , dostáváme

neboli

.

(4,23)

V rovnici (4,23) jsme označili K konstantní výraz . Rovnice (4,23) je konkrétní tvar funkce (4,6) odpovídající Boyleovu-Mariottovu zákonu. Vyjádříme-li dle ní v rovnici (4,17) , dostáváme

.

(4,24)

Rovnice (4,24)

je lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty bez pravé strany. Jejím obecným řešením je tedy funkce

.

(4,25)

Hodnotu určíme řešením charakteristické rovnice

(4,26)

a A je volitelná konstanta, jejíž hodnotu lze určit z okrajové podmínky. Řešením rovnice (4,24) je tedy závislost tlaku na výšce daná funkcí

.

(4,27)

Rovnice (4,27) bývá užívána k přibližnému vyjádření závislosti tlaku vzduchu na výšce v atmosféře. V tomto případě se počátek soustavy souřadnic volí u země, případně u hladiny moře. Je-li pro tlak , dostáváme dosazením této okrajové podmínky do rovnice (4,27) pro konstantu A hodnotu . Je-li hustota plynu pro , můžeme dle (4,23) konstantu K vyjádřit jako . Rovnici (4,23) potom zapíšeme v tvaru

,

(4,28)

kterému se říká barometrická rovnice. Konstanty a jsou rovny atmosférickému tlaku a hustotě vzduchu, tedy a při . Uvažujeme-li normální podmínky, dosadíme normální atmosférický tlak a hustotu suchého vzduchu při tomto tlaku a teplotě .

Boyllův-Mariottův zákon, který dle stavové rovnice ideálního plynu ([3], kap. 4, [1], čl. 5.7, [51], čl. 2.5) platí pro izotermický děj, je v atmosféře, kde teplota vzduchu s výškou klesá, splněn pouze přibližně. Jak lze odvodit závislost tlaku plynu na výšce v tíhovém poli, když uvažujeme obecnější závislost (4,6) , než je přímá úměrnost (4,23) , je ukázáno např. v [1], čl. 11.3.

Existenci atmosférického tlaku lze prokázat pokusem naznačeným na obr.60. Tento pokus poprvé provedený v r. 1643 Torricellim je na jeho počest označován jako Torricelliův pokus. Tímto pokusem se existence atmosférického tlaku dokáže tím, že tento tlak udrží ve skleněné trubici na jednom konci zatavené sloupec rtuti o výšce . Pokus se provádí tak, že trubice delší než asi 0,8 m se v poloze, kdy zatavený konec je dole, naplní rtutí, horní konec se uzavře a trubice se překlopí do nádobky s rtutí. Uzavření se pod hladinou rtuti uvolní, přebytečná rtuť z trubice vyteče do nádobky a hladina rtuti se v trubici ustálí ve výšce h, jak je naznačeno na obr.60. Nad rtutí se v trubici ustálí zanedbatelný tlak nasycených rtuťových par, který pokládáme za nulový. V hladině nádobky se tak vyrovná atmosférický (barometrický) tlak b s tlakem vyvolaným sloupcem rtuti o výšce h. Výška h měří aktuální atmosférický tlak v místě nádobky.

Hydrostatický tlak vyvolaný 0,76 m vysokým sloupcem rtuti je roven normálnímu atmosférickému tlaku, tj. tlaku . Milimetr rtuťového sloupce zvaný torr byl dříve často užívanou jednotkou tlaku. Předminulá věta udává přepočtový vztah mezi SI jednotkou pascal a jednotkou torr;

760 torr = 1,01325.10⁵ Pa.

4.2.2 Archimédův zákon

Když jsme v čl. 3.1 odvozovali rovnici rovnováhy kontinua, vyšli jsme z podmínky, že kontinuum je v rovnováze, je-li v rovnováze každá jeho část. Myslíme-li si v kontinuu jistý objem V (obr.61), výslednice

(4,29)

objemových sil působících v tomto objemu musí být rovna záporně vzaté výslednici plošných sil

,

(4,30)

které na objem V působí přes hraniční plochu S;

*) (4,31)

Je-li objemovou silou tíhová síla (3,95) , jediná nenulová složka síly je

,

(4,32)

a tedy dle rovnice (4,31)

.

(4,33)

Při zavedení objemové síly (3,95) byla první osa souřadnic zvolena ve svislém směru s kladným smyslem mířícím vzhůru. Přes plochu S působí na objem V kontinua které je v rovnováze a nachází se v tíhovém poli, síla mířící vzhůru, jejíž velikost je rovna tíze kontinua obsaženého v objemu V. Tato síla působí v každém kontinuu. Uvažujeme-li libovolnou část válce z čl. 3.6, zjistíme, že na ni od okolních částí válce taková síla působí.

 

Zvláštní význam má zmíněná síla v tekutině. Tam totiž objem V může být vyplněn pevným tělesem, aniž se tím poruší rozložení napětí, tedy pro tekutinu tlaku. Na objem V vyplněný pevným tělesem pak od tekutiny působí přes hraniční plochu S stejné síly, jako kdyby objem V byl vyplněn tekutinou. Na pevné těleso, ponořené v tekutině, která je v tíhovém poli, působí síla (4,33) . Tato síla, které říkáme vztlak, míří svisle vzhůru a její velikost je rovna tíze stejného objemu V tekutiny, jako je objem ponořeného tělesa.

Dostáváme tak známý Archimedův zákon, který bývá formulován větou: Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno silou, která je rovna tíze (váze) tekutiny tělesem vytlačené.

 

Mějme v nádobě kapalinu a v ní ponořený válec (obr.62), jehož vrchní podstava je v hloubce a spodní v hloubce pod hladinou. Je-li plocha podstavy S, působí na spodní podstavu síla o velikosti

a na vrchní podstavu síla o velikosti

mířící dolů. Tlak p je vyjádřen dle rovnice (4,19) . Síly působící na válcovou plochu mají v každé vrstvě rovnoběžné s podstavou válce stejnou velikost a v protilehlých bodech ležících na stejném průměru opačný smysl. Proto výsledná síla působící na válcovou plochu je nulová. Velikost výsledné síly působící na celý ponořený válec je tedy rovna rozdílu sil

(4,34)

a míří vzhůru. Výraz je roven objemu válce V a pro velikost vztlaku můžeme psát vyjádření

.

(4,35)

Jelikož v rovnici (4,35) je hustota kapaliny a ne hustota válce, vidíme, že velikost vztlaku je rovna tíze takového množství kapaliny, které má objem rovný objemu válce V. Uvedenou úvahou bývá Archimedův zákon jednoduše dokazován (např. [2]).

 

S Archimedovým zákonem se setkáme v různých aplikacích i při výkladu jevů kolem nás. Užívá se např. při zjišťování hustot látek (podrobněji viz [6] stať 2.1.4). Vztlak, kterým působí vzduch na vážený předmět, je třeba uvažovat při přesném vážení (např. [6], čl. 2.1.3.6). Let balónů a vzducholodí je umožněn v Archimédově zákoně uvažovanou statickou vztlakovou silou. Tělesa plovou na kapalině, když jejich průměrná hustota je menší než hustota kapaliny. Plováním těles se budeme podrobněji zabývat ve stati 4.2.4.

 

4.2.3 Rovnováha kapaliny v rotující nádobě

Vyřešíme příklad, kdy rovnici hydrostatické rovnováhy užijeme pro sledování rovnováhy kapaliny v jiném než tíhovém poli objemových sil. Mějme kapalinu, která se spolu s nádobou, v níž je umístěna, otáčí úhlovou rychlostí (obr.63). Vektor leží ve svislé přímce. Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic pevně spjatou s kapalinou, jejíž první osa má směr vektoru a míří vzhůru. Tato neinerciální soustava souřadnic se otáčí stálou úhlovou rychlostí vůči soustavě inerciální. Dle I, stať 2.4.2 v takové soustavě souřadnic vedle pravých sil působí zdánlivé síly odstředivá a Coriolisova. Jediná působící pravá síla je objemová síla tíhová, která ve zvolené soustavě souřadnic má složky

.

(4,36)

Zdánlivá síla odstředivá, vyjádříme-li ji jako sílu objemovou , je dána složkami

.

(4,37)

Zdánlivá síla Coriolisova se neuplatní, protože kapalina se otáčí spolu s nádobou, a tedy rychlost částic kapaliny vůči neinerciální soustavě souřadnic je nulová.

 

Výslednou objemovou sílu dosadíme do pravé strany rovnice (4,7´´) ;

.

(4,38)

Z prvé rovnice (4,38) plyne

.

(4,39)

Dosadíme-li toto vyjádření tlaku do druhé rovnice (4,38) , dostáváme pro funkci podmínku

,

z které plyne

.

(4,40)

Tedy

.

(4,41)

Z poslední rovnice (4,38) pak dostáváme

,

odkud

.

Dosadíme-li takto vyjádřenou funkci do rovnice (4,41) , dostaneme hledaný výraz pro rozložení tlaku p v rotující kapalině;

.

(4,42)

Hodnotu konstanty k lze určit, je-li známa absolutní velikost tlaku v jednom bodě kapaliny. Plochy, v kterých kapalina nabývá stejného tlaku - takové plochy nazýváme hladinami - jsou v uvažovaném případě rotační paraboloidy

.

(4,43)

Konstanta K udává hodnotu tlaku p v dané hladině. Jednotlivé hladiny se liší velikostí tlaku K = p, a tedy i velikostí konstanty . Jednou z hladin je také volná hladina kapaliny[+], tj. hladina, kde kapalina je v kontaktu se vzduchem. Na volné hladině tlak p je roven atmosférickému (barometrickému) tlaku b.

 

Otáčí-li se kapalina stálou úhlovou rychlostí kolem svislé osy, zaujme její volná hladina tvar rotačního paraboloidu. Na obr.63 je znázorněn řez otáčející se kapalinou a křivka znázorňující volnou hladinu je parabola. Dosáhnout toho, aby se kapalina v celém objemu nádoby otáčela stálou úhlovou rychlostí je dosti obtížné. Rozhodně toho nedosáhneme, když budeme míchat čaj v hrnku. V takovém případě kapalina lne ke stěnám nádobky a její úhlová rychlost stoupá od kraje hrnku ke středu. Výsledný tvar volné hladiny se pak blíží spíše nálevkovitému tvaru než rotačnímu paraboloidu. Přiblížit se rovnoměrné úhlové rotaci kapaliny, a tím i parabolickému tvaru volné hladiny, lze nejlépe, otáčíme-li nádobkou delší dobu stálou úhlovou rychlostí.

4.2.4 Plování těles

Plováním tělesa rozumíme děj, kdy těleso je částečně ponořeno v kapalině a částečně vyčnívá nad volnou hladinu kapaliny. Pro plování lodí je důležité, aby při malém vychýlení lodi z rovnovážné polohy vznikl moment síly, který je do rovnovážné polohy vrátí. Probereme nyní, jak lze zajistit takové podmínky nezbytné pro stabilní plování lodí. (Viz též  řešený příklad 2, kap. 9 z [8].)

 

Těleso plove, když vztlak působící na plně ponořené těleso je větší než jeho tíha. V tom případě se těleso natolik vynoří z kapaliny, aby vztlak působící na jeho ponořenou část právě vyrovnal tíhu tělesa, tedy aby výslednice sil působící na těleso byla nulová. Aby došlo k rovnovážnému plování je ještě nutné, aby i výsledný moment sil působící na těleso byl nulový.

 

Na obr. 64 je zachyceno těleso plovající na hladině v obecné, tedy nerovnovážné poloze. V hmotném středu tělesa S na něj působí jeho tíže a v hmotném středu vytlačené kapaliny S_K vztlak . V rovnováze musí výsledná síla i výsledný moment působící na těleso být nulový, tedy

a

.

Z druhé rovnice, která udává, že výsledná dvojice sil působící na těleso musí být nulová, plyne, že vzdálenost d přímek, v kterých působí síly a , musí být nulová. Vztlak a tíha musí při rovnovážném plování působit v jedné svislé přímce, která se nazývá osa plování. Na ose plování musí tedy ležet jak hmotný střed (těžiště) S tělesa tak i působiště vztlaku, kterým je hmotný střed (těžiště) S_K vytlačené kapaliny.

 

Je-li těleso homogenní a symetrické, pak každá geometrická osa symetrie tělesa může teoreticky být osou plování. Skutečné plování však nastane jen pro tu osu plování, vůči které je plování stabilní nebo indiferentní (srov. I, str. 162). Plování tělesa je stabilní, když při jakémkoliv vychýlení plovoucího tělesa z jeho rovnovážné polohy dvojice sil tvořená vztlakem a tíhou tělesa se snaží těleso vrátit do jeho rovnovážné polohy. Plování tělesa je indiferentní, když při vychýlení tělesa z rovnovážné polohy nevzniká žádný moment síly.

Plování desky je stabilní, když plove na hladině svou širokou stranou, plování na úzkých stranách je labilní a nelze je proto realizovat. Plování homogenní koule je indiferentní, všechny přímky procházející středem koule mohou být osami plování. Plování homogenního válce je indiferentní pro rotaci kolem osy válce.

 

Obecně můžeme stabilitu plování vyšetřovat, najdeme-li v tělese plochu, na níž leží působiště vztlaku pro různá natočení plovoucího tělesa, tato plocha se nazývá plocha těžišť. Těžištěm se zde míní těžiště kapaliny vytlačené tělesem na obr.64 označené . Na obr.65 jsou vyznačeny řezy kvádrem vedené jeho geometrickým a vzhledem k předpokládané homogenitě i hmotným středem S kolmo ke dvěma jeho hranám. Na řezech (řezy takto vedené označujeme jako hlavní řezy) jsou vyznačeny jejich průsečnice p s plochou těžišť. Je vidět, že při vychýlení kvádru z plování na širší straně silová dvojice tíhy působící v hmotném středu tělesa S a vztlaku vede k obnovení plování na širší straně kvádru (obr.65 a) ), v případě plování na užší straně táž silová dvojice (obr.65b)) kvádr převrátí. Plování na širší straně kvádru je realizovatelné stabilní plování, na užší straně nelze pro labilitu plování realizovat.[span> Vztlaková síla působí v těžišti ponořené části kvádru, tedy v bodu plochy těžišť, který přísluší danému naklonění kvádru. Vztlak míří svisle vzhůru a je kolmý k průsečnici p.

 

Na obr.66 jsou znázorněny silové poměry při plování homogenní koule. Zde tíha a vztlak působí při libovolném natočení v jedné přímce. Průsečnice p je totiž kružnice se středem v hmotném středu koule S, a tedy vztlak musí působit podél přímky procházející působištěm tíhy. Obr.66 platí beze změny i pro hlavní řez válcem vedený kolmo k jeho ose symetrie. Rovnováha při plování koule a při plování válce pro rotaci kolem osy je indiferentní. Dostat se z vody na kládu nebo míč je obtížné, protože když se snažíme na ně vylézt, neustále se otáčejí.

 

Pro vystižení míry stability rotace se zavádí pojem metacentrum. Metacentra se obvykle definují (např. [1], str.378) jako středy křivosti hlavních normálových řezů plochy těžišť v místě, kde ji osa plování o protíná. Na obr.67 jsou vyznačena metacentra M pro znázorněné hlavní řezy kvádru. Pro kvádr plovoucí na šířku je užito označení a pro příslušnou osu plování , pro kvádr plovoucí na výšku a . Pro libovolný řez homogenní koulí či řez homogenním válcem kolmo k rotační ose (hlavní řez) je metacentrum ve středu kružnice, kterou tvoří průsečnice plochy těžišť s hlavním řezem. Metacentrum M v tomto případě padne do hmotného středu (těžiště) tělesa S, jak je také naznačeno v obr.67. Metacentrum pro druhý hlavní řez válce spadá do nekonečna. I zde shora uvedenou definici je třeba brát s rezervou vyplývající z předchozí poznámky pod čarou. Metacentrum je nutno brát jako střed kružnice, která nejlépe aproximuje průsečnici v ne příliš malém okolí bodu, kde osa plování protíná průsečnici, a ne striktně jako střed křivosti průsečnice v tomto bodě. Metacentrum pro konečný válec také neleží v nekonečnu, ale v konečnu. Kládu lze ve vodě přetočit kolem příčné osy, i když obtížně.

 

Každá plocha má v daném místě dva hlavní řezy. To platí samozřejmě i pro plochu těžišť, a proto i metacentra příslušná místu, kde ji osa plování protíná jsou dvě. Pro stabilní plování podél dané osy plování je nutné, aby obě metacentra ležela nad hmotným středem (těžištěm) plovoucího tělesa. Menšímu z obou převýšení metacentra nad hmotným středem říkáme metacentrická výška.

 

Metacentrická výška udává míru stability plování tělesa; čím je větší, tím je plování stabilnější. Pro plování s indiferentní rovnováhou (válec, koule) je metacentrická výška nulová. Hodnota metacentrické výšky hraje důležitou roli při konstruování lodí. Zvláště sportovní lodě, které mají plout v bouřlivém prostředí otevřeného moře, vybavujeme těžkými kýly. Kýl sníží polohu těžiště a tím zvýší metacentrickou výšku plavidla. Metacentrická výška námořních dopravních lodí činí asi 0,3 m, u válečných lodí i více než 1 m. Metacentrická výška je obvykle trojnásobkem až pětinásobkem vzdálenosti hmotného středu od plochy těžišť.

 

---

---