.

(3,55)

.

(3,56)

.

(3,57)

.

(3,58)

.

(3,59)

.

(3,60)

.

(3,61)

.

(3,62)

.

(3,63)

.

(3,64)

.

.

.

.

---

pro plochu s vnější normálou a

pro plochu s vnější normálou .

Obdobně lze vypočítat, že na plochách kolmých k třetí ose souřadnic je vektor napětí nulový. Vektory působící při smyku na kvádr jsou naznačeny na obr.48.

 

Působíme-li na vrchní podstavu kvádru silou a na spodní silou , jak je naznačeno na obr.8 (na str. 27), bude, uvážíme-li tvrzení Saint-Venantova principu (konec čl.3.2), smykové napětí . Zvolíme-li v obr.8 soustavu souřadnic tak, že druhá osa je kolmá k podstavám, na něž působí síly a první osa má směr působící síly , dostáváme případ, který jsme právě vyšetřovali. Smykové napětí je rovno složce tenzoru napětí; . Výpočtem jsme ukázali, že k vytvoření smyku, je kromě sil působících na plochy kolmé k druhé souřadnicové ose nutně působit i silami, které vytváří stejně velké smykové napětí i na plochách kolmých k první souřadnicové ose (viz obr.48).

 

Při výkladu k obr.8 jsme uváděli, že tyto síly přenese na vzorek uložení U zabraňující převrácení vzorku jako celku. Nyní vidíme, že toto uložení musí být takové, aby dle Saint-Venantova principu realizovalo ve vzorku na plochách kolmých k druhé souřadnicové ose v nepříliš velké vzdálenosti od upevnění rovnoměrně rozložené smykové napětí o velikosti   .

 

V souvislosti s odkazem na obr.8 vyjadřujeme smykové napětí jako . Dosadíme-li toto vyjádření do rovnice (3,64) , dostáváme znovu elementární Hookův zákon pro smyk

který jsme pod stejným číslem (2,40) uvedli již v čl. 2.1.

3.4.3 Torze kruhového válce

Torzí rozumíme deformaci tyče (obecného válce), při níž dochází k vzájemnému stáčení průřezů kolmých k podélné ose tyče. Rozebereme podrobněji torzi tyče kruhového průřezu neboli torzi válce s kruhovou podstavou (obr.49). Mírou torze je úhel , o který se vůči sobě pootočí dva průřezy vzdálené od sebe o jednotkovou délku. Je-li délka válce l, je úhel stočení vrchní podstavy oproti spodní podstavě dán výrazem

Každý element vzorku je posunut (translace), otočen a deformován. Na obr.49 je znázorněn jeden takový element. Jeho postavení před torzí je označeno K´, po torzi K. Neuvažujeme-li posunutí a otočení kolem třetí osy, prodělá každý element válce prostý smyk znázorněný na obr.50. Výška na obr.50 znázorněného elementu je . Pootočení roviny, v které se nachází vrchní podstava elementu, proti rovině spodní podstavy je tedy . Pro element vzdálený r od osy válce lze posunutí du vrchní podstavy oproti spodní vyjádřit jako . Pro úhel smyku v uvažovaném přiblížení, kdy pokládáme roven , dostáváme

Z elementárního Hookova zákona (2,40) pak pro smykové napětí působící na podstavách elementu kolmých k ose válce plyne

V souřadnicové soustavě zvolené na obr.49 je osa válce třetí souřadnicovou osou a smykové napětí na plochách kolmých k této ose je tvořeno složkami tenzoru napětí, tedy . Rovina smyku všech elementů je kolmá k poloměru r, proto i smykové napětí (3,67) je kolmé k poloměru. Skalární součin jeho složek s vektorem o složkách , který míří ve směru poloměru, musí být nulový. Z podmínek

dostáváme pro složky vyjádření

Podmínkám (3,68) vyhovuje i řešení a odpovídající opačnému smyslu torze. Toto řešení však z hlediska deformace není třeba odlišovat od řešení (3,69) , a proto dále budeme rozebírat jen řešení (3,69) .

 

Při torzi nepředpokládáme působení jiných než právě uvažovaných smykových napětí, proto položíme všechny ostatní složky tenzoru napětí rovny nule. Tenzor napětí při torzi kruhového přímého válce má složky

Z rovnice (3,70) užitím Hookova zákona (2,8) dostáváme pro složky tenzoru deformace

Zanedbáme-li působení objemových sil, vyhovuje napětí (3,70) podmínkám rovnováhy, jak se lze přesvědčit dosazením jeho složek do rovnic (3,8) . Napětí na plášti válce při torzi má být nulové. Okrajové podmínky (3,14) pro plášť válce po dosazení složek napětí (3,70) dávají

Normála k plášti válce má nulovou třetí složku , a proto první dvě rovnice jsou triviálně splněny. Pro splnění třetí rovnice je nutno uvážit, že normála na válcové ploše má směr poloměru;

kde k je konstanta volená tak, aby normála měla jednotkovou velikost. Dosadíme-li z  (3,70) a (3,73) do poslední rovnice (3,72) , dostáváme

což je zřejmě splněno.

 

Nemá-li tyč podrobená torzi kruhový průřez, rovnice (3,73) neplatí a splnění třetí podmínky (3,72) na plášti válce působí obtíže. Ukazuje se, že pro splnění podmínek torze v případě tyče nekruhového průřezu je třeba uvažovat i posunutí ve směru podélné osy tyče. Průřezy kolmé k ose tyče přestávají po torzi být rovinnými (řešení viz např. [1], čl. 7.4, [17] ).

 

Na vrchní i spodní podstavě kruhového válce budou okrajové podmínky (3,14) splněny, když vektor napětí bude v každém bodě podstavy roven z vnějšku působícímu napětí. Přesně by to znamenalo, uvážíme-li zadání tenzoru napětí rovnicemi (3,70) , vytvořit na obou podstavách vnější smykové napětí působící ve směru kolmém k poloměrům kruhových podstav, při čemž velikost smykových napětí by dle (3,67) vzrůstala se vzdáleností od středu kruhu. Na obr.51 jsou směr a velikost takových smykových napětí znázorněny vektorovými šipkami. Vzhledem k opačnému smyslu normál na obou podstavách, bude na nich i rozdílný smysl, ve kterém se smykové napětí snaží podstavou otočit.

 

Při konkrétní realizaci torze nemusíme vytvořit na podstavách rozložení napětí přesně odpovídající obr.51. Takové rozložení se dle Saint-Venantova principu ustaví v dostatečné vzdálenosti od konců válce, i když torzní napětí na konci válce vytvoříme jiným způsobem. Musíme však zachovat výsledné silové působení, v daném případě musíme zachovat velikost M výsledného momentu sil. Tuto velikost vypočteme.

 

Smykové napětí je kolmé k poloměru (viz obr.51). Elementární příspěvek dM k výslednému momentu sil M je pak dán přímo součinem elementu síly a vzdálenosti r jejího působiště od osy válce; . Velikost M výsledného momentu sil působících při torzi na podstavu válce je tedy

Dosadíme-li do (3,74) velikost danou rovnicí (3,67) a provedeme-li výpočet plošného integrálu přes kruhovou plochu poloměru R podstavy válce, dostaneme postupně

Dosadíme za dle (3,65) a místo napíšeme běžněji užívané označení G modulu pružnosti ve smyku. Získáme důležitý vzorec

Pro danou tyč je moment síly M úměrný úhlu stočení .

3.4.4 Torzní tuhost tyče

Úměrnost mezi úhlem stočení a momentem síly platí i pro torzi tyčí složitějších průřezů. Píšeme

a konstantu úměrnosti nazýváme torzní tuhost[*]. Tyč kruhového průřezu má torzní tuhost

jak plyne z rovnice (3,76) .

 

Přestože řešení torze tyčí jiného než kruhového průřezu je složitější i v rámci klasické teorie pružnosti, jak jsme se zmínili na předcházející straně, rovnice (3,76´) je vhodnou první aproximací i pro ně. Např. pro tyč obdélníkového průřezu s délkou stran b, c ( .)lze užít pro hodnotu aproximační rovnici (např. [17] )

Upnutí vzorku tvaru kvádru je obvykle snazší než upnutí vzorku kruhového průřezu. Proto je často výhodné pro měření modulu smyku G neznámých materiálů volit vzorky s obdélníkovým průřezem a k výpočtu použít právě uvedený vzorec pro torzní tuhost takových vzorků.

 

Odvození vztahu je provedeno v rámci klasické teorie pružnosti. Dochází-li při torzi k velkým deformacím tyče, moment M přestává být úměrný úhlu . Vztah platí pro každou tyč jen do určité hodnoty úhlu stočení . Pro dlouhé kruhové tyče malého poloměru je však úměrnost dobře splněna do značných hodnot úhlu . Úhel je veličina, kterou lze měřit s velkou přesností. Při malých průřezech a značných délkách tyče, které v tomto případě nazýváme vlákny, direkční moment může být velmi malý. Rovnice pak umožňuje citlivé měření momentů sil. Torzně namáhaná vlákna se užívají v řadě citlivých měřících přístrojů, např. v nejcitlivějších galvanometerech, v torzních vahách apod. Kromě vláken kruhových průřezů (drátků) se často užívají i vlákna obdélníkových průřezů (tenké pásky).

 

Veličiny při torzi válcové tyče jsou snadno měřitelné, na základě rovnice (3,76) lze tedy stanovit modul smyku G materiálu, z kterého je tyč vyrobena (viz [6], čl. 2.3.2 ). Jak jsme se zmínili výše, metoda není omezena na tyče kruhového průřezu a při známé torzní tuhosti ji lze užít i na tyče jiného průřezu. V  knize [6] a jejím druhém díle [7] lze nalézt popis řady přístrojů a různých měrných metod užívajících torzně namáhaných vláken.