Základní úlohou teorie pružnosti je najít napětí a deformaci v každém bodě tělesa, známe-li rozložení napětí nebo deformací na povrchu tělesa. Přitom předpokládáme, že těleso je po deformaci v rovnováze. V klasické teorii pružnosti (hookovská látka) lze tuto úlohu pro izotropní těleso formulovat takto: máme najít pro každý bod tělesa složky tenzoru napětí

a složky vektoru posunutí

, které vyhovují rovnicím rovnováhy

Rovnice (3,8) a (2,8) reprezentují devět rovnic pro devět neznámých funkcí

, uvážíme-li, že v rovnici (2,8) můžeme složky

tenzoru deformace nahradit jejich vyjádřením dle složek vektoru posunutí

Objemové síly

jakožto vnější síly pokládáme za známé. Aby úloha mohla být jednoznačně řešitelná, je nutno zadat hodnoty funkcí

na okraji tělesa, neboli, jak se říká v teorii parciálních diferenciálních rovnic ([9], kap. 18), je nutno zadat okrajové podmínky. Jsou-li na povrchu tělesa dána posunutí

, jsou tím hned dány okrajové podmínky pro funkce

. Dosazením do rovnic (1,31) získáme tenzor deformace

pro body povrchu tělesa a dalším dosazením do Hookova zákona (2,8) i hodnoty složek

napětí v bodech povrchu tělesa, tedy hledané funkce

Známe-li vektory napětí

na povrchu tělesa, vychází se při stanovení okrajových podmínek z rovnice (1,82)

která musí být splněna v bodech povrchu tělesa. Při řešení úloh klasické teorie pružnosti není třeba vzhledem k předpokladu o malých deformacích rozlišovat mezi deformovaným a nedeformovaným stavem tělesa. Tím se řešení úloh značně zjednoduší.

Rovnice (3,8) a (2,8) pokládáme za rovnice určující tenzor napětí

a vektor posunutí

. Taková formulace umožňuje uvažovat o rovnicích (3,8) a (2,8) jako o devíti rovnicích pro devět neznámých funkcí. Kdybychom rovnice (3,8) a (2,8) uvažovali jako rovnice pro neznámé složky

tenzoru napětí a

tenzoru deformace, měli bychom pouze devět rovnic pro dvanáct neznámých funkcí. Rovnicemi (1,31) je šest funkcí

určeno na základě tří funkcí

. Mají-li funkce

popisovat deformaci spojitého tělesa, které zůstane spojitým i po deformaci, nelze je volit libovolně, ale musí splňovat jisté podmínky plynoucí z rovnice (1,31) . Těmto podmínkám se říká rovnice kompatibility deformací (viz např. [1], čl. 4.3). Rovnice kompatibility je nutno připojit k rovnicím (3,8) a (2,8) , chceme-li je řešit přímo pro neznámé

Udáním rovnic (3,8) , (2,8) (1,31) , (3,14) jsme naznačili, co je problémem teorie pružnosti. Při řešení jednotlivých úloh se základní formulace upravuje na tvary příhodnější ke konkrétním výpočtům. Jak se takové úpravy provádějí, způsoby řešení problémů, důkazy jednoznačnosti řešení apod., lze nalézt v [1] a v dalších učebnicích citovaných na začátku této kapitoly.

Pro řešení konkrétních úloh teorie pružnosti je velmi důležitý Saint-Venantův princip, který umožňuje zjednodušit při analytickém zadání skutečné okrajové podmínky úlohy. Dle tohoto principu stav napětí a deformace v místech tělesa dostatečně vzdálených od povrchu, na kterém působí vnější síly, je téměř stejný, nahradíme-li jedno rozložení sil jiným o stejné výsledné síle a stejném výsledném momentu sil.

Např. při běžné tahové zkoušce, kdy na vzorek V upevněný svorkami K působíme tahovými silami

(viz obr.43a) ), lze dle Saint-Venantova principu zanedbat vliv svorek na způsob, jakým jsou síly

na vzorek přenášeny. Napětí ve vzorku V v dos-tatečné vzdálenosti od jeho konců pokládáme za shodné s tím, jaké by bylo způsobeno napěťovým vektorem

, jehož velikost by v obou čelních plochách vzorku byla konstantní a rovna F/S. Symbolem S je označena plocha průřezu vzorku. Směr a smysl vektoru

na každé z čelních ploch splývá se skutečně působícími silami

(viz obr.43b) ). Kdybychom skutečné rozložení vnějších sil při tahové zkoušce, z které je pro vzorek z hookovské látky odvozen elementární Hookův zákon pro tah

nemohli nahradit rozložením napěťových vektorů znázorněných na obr.43b), bylo by analytické zpracování i tohoto nejjednoduššího elastického pokusu značně obtížné.

3.2 Formulace základní úlohy teorie pružnosti