 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O kontinuu v rovnováze mluvíme tehdy, je-li v rovnováze každá jeho
část. Při odvozování rovnice rovnováhy vyjdeme z úvah týkajících se
konečného objemu kontinua jako při odvození rovnic
(1,82)
a
(1,87)
. Výhodné je
zvolit objem ve tvaru kvádru, jehož hrany o délkách a, b, c jsou rovnoběžné s osami souřadnic
(obr.42).
 . |
(3,1) |
V rovnici
(3,1)
stejně jako v článku 1.4
značíme
vektor napětí působící na tu stranu plochy
kolmé k i-té ose souřadnic,
která je obrácena ke kladnému smyslu osy souřadnic. Postupujeme-li ve směru
rostoucích souřadnic
,
napětí na první ploše kvádru kolmé k první ose souřadnic značíme
,
napětí na druhé ploše kvádru kolmé k první ose značíme
.
Obdobný je význam symbolů
(viz obr.42). Plošné síly
,
,
,
,
,
a objemová síla
jsou všechny vnější síly působící na
uvažovaný kvádr, proto jejich součet klademe v
(3,1)
roven nule. Ve smyslu vět
o středních hodnotách diferenciálního počtu (např. [9], kap. 11),
pokládáme
za vhodně volenou hodnotu napětí
v jednom bodě příslušné stěny kvádru a
za hodnotu ve vhodně voleném bodu uvnitř
kvádru. Dle
(1,75)
složky vektorů
jsou složkami
tenzoru napětí. První složku vektorové
rovnice
(3,1)
můžeme tedy zapsat v tvaru
 . |
(3,2) |
Dle úvah užívaných ve větách o střední hodnotě lze rozdíly hodnot složek napětí na dvou protilehlých stěnách vyjádřit jako součin vzdálenosti obou ploch a derivace složky napětí dle souřadnice kolmé k uvažovaným plochám, přičemž hodnota derivace přísluší některému vnitřnímu bodu kvádru. Pro každou složku je to obecně jiný bod. Tedy
 . |
(3,3) |
S uvážením rovnice (3,3) přepíšeme rovnici (3,2) na tvar
 . |
(3,4) |
Provádíme-li limitní zmenšování objemu kvádru, hodnotu
objemu abc můžeme v rovnici
(3,4)
vykrátit a hodnoty
a
,
původně příslušné různým vnitřním bodům kvádru, v limitě přejdou na
hodnoty příslušné stejnému bodu, ke kterému limitním postupem kvádr stáhneme.
Pro tento bod pak platí rovnice
 . |
(3,5) |
Volba polohy kvádru v kontinuu i poloha bodu, ke kterému tento kvádr limitním postupem stáhneme, je libovolná, a proto rovnice (3,5) platí pro každý bod kontinua, které je v rovnováze.
Stejným postupem, jakým jsme z první složky vektorové rovnice (3,1) odvodili rovnici (3,5) , můžeme z druhé složky rovnice (3,2) odvodit rovnici
 |
(3,6) |
a z třetí složky rovnice (3,1) rovnici
 . |
(3,7) |
Rovnice (3,5) , (3,6) , (3,7) tvoří hledanou rovnici rovnováhy kontinua, kterou s užitím složkové symboliky a sčítacího pravidla stručně zapíšeme jako
Odvození rovnice (3,8) užívající metod vektorové analýzy je uvedeno např. v [1], čl. 3.3.
Síly uvažované v rovnici (3,1) představují všechny vnější síly působící na kvádr, i když kontinuum není v rovnováze. Pro kvádr pak dle (I5,35) lze psát pohybovou rovnici
 , |
(3,9) |
v které M je hmotnost kvádru a
zrychlení hmotného středu kvádru.
Hmotnost M vyjádříme jako
,
kde
je hustota v některém vnitřním bodě
kvádru. Uvážíme-li smysl vektoru posunutí
zavedeného rovnicí
(1,19)
, je zřejmé, že
zrychlení
lze psát jako druhou derivaci dle času
vektoru posunutí hmotného středu, tj.
vnitřního bodu kvádru abc. Rovnici
(3,9)
můžeme pak přepsat na tvar
 . |
(3,10) |
Užijeme-li úpravy (3,4) levé strany rovnice (3,10) , dostaneme pro její první složku
 . |
(3,11) |
Limitním zmenšováním kvádru získáme z (3,11) rovnici
 |
(3,12) |
platnou v každém bodě kontinua. Rovnice (3,12) spolu s rovnicemi
 |
a
 , |
které plynou z druhých dvou složek rovnice (3,10) , tvoří pohybovou rovnici kontinua. Stručně pohybovou rovnici užitím složkové symboliky zapíšeme jako
Rovnice (3,13) je výchozí rovnicí dynamiky kontinua. Užívá se např. při vyšetřování pohybu tekutin (viz čl. 4.3) a při sledování vln šířících se kontinuem ([1], kap. 9).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
.