---

---

3.5 Magnetické pole v látkách

3.5.1 Chování látek v magnetickém poli

Již v úvodu oddílu 3.3 bylo zdůrazněno, že k výslednému magnetickému poli v daném bodě mohou kromě makroskopických proudů přispívat také zmagneto­vané látky. Byly rovněž uvedeny některé experimentální údaje, které ukazují, že magnetické pole může existovat i bez přítomnosti makroskopických proudů. Vektor magnetické indukce byl v článku 3.3.1 definován vztahy (3.57) , respek­tive (3.58) . Jak bylo na uvedeném místě zdůrazněno, platí tato definice obecně, bez ohledu na to, jakými zdroji je magnetické pole vybuzeno a jde-li o magne­tické pole ve vakuu či v látkovém prostředí. (Pole v látkovém prostředí zde ovšem opět chápeme makroskopicky, podobně jako v oddílu 1.5 pole elektro-statické.)

Přesto, že se v této kapitole zabýváme fenomenologickým popisem magnetic­kých jevů z makroskopického hlediska, bude pro získání větší názornosti uži­tečné uvést zpočátku alespoň kvalitativně některá nejzákladnější fakta o magne­tických vlastnostech atomů a molekul.

Každý atom, jako soustava vzájemně se pohybujících nabitých částic, je také magneticky aktivní. Elektron obíhající kolem jádra můžeme považovat za prou­dovou smyčku a jeho magnetické účinky můžeme charakterizovat příslušným magnetickým momentem (srov. příklad 3.4.6a). Kromě toho je dnes dostatečně prokázáno, že některé elementární částice samotné (elektron, proton, neutron) mají vlastní magnetický moment. Jedním ze základních rysů magnetismu ele­mentárních částic a atomů je přímá souvislost mezi magnetickým momentem an> a momentem hybnosti L . Mezi oběma momenty platí vždy přímá úměrnost cha­rakterizovaná gyromagnetickým poměrem γ , an>  = γ  L  . (Souvislost mezi magne­tickým dipólovým momentem a mechanickým momentem hybnosti není ovšem omezena jen na mikroskopické objekty - srov. příklady 3.4.6a a 3.4.6b). Části-ce, která má od nuly různý magnetický moment, má tedy vždy nenulový i mecha-nický moment hybnosti a charakter jejího pohybu ve vnějším magnetickém poli je vždy do určité míry podobný pohybu setrvačníku. Jak uvidíme v kapitole 7, je tato okolnost podstatná pro chování látek ve stacionárním i časově proměnném magnetickém poli. Momenty, které získává elektron v důsledku svého pohybu kolem jádra, se nazývají orbitálními momenty. Vlastní moment hybnosti elementárních částic (elektronů, nukleonů apod.) se nazývá jejich spinem. Spinu příslušný magnetický moment se nazývá spinovým magnetickým momentem.

Z kvantové mechaniky víme, že moment hybnosti orbitálního pohybu elektronu v atomu je kvantován a jeho složka do daného směru může nabývat pouze hodnot, které jsou celistvým ná­sobkem veličiny h = h/2e h B  6,626.10^-34 J.s je Planckova konstanta . Podle (3.128) je tedy kvantován i příslušný magnetický moment. Nejmenší orbitální magnetický moment elektronu odpovídá nejmenší nenulové hodnotě orbitálního momentu hybnosti, která je rovna h, a nazývá se Bohrův magneton _B. Podle (3.128) platí

.

Z kvantové mechaniky dále plyne, že i spinový magnetický moment elektronu může mít v daném směru velikost rovnou _B, gyromagnetický poměr má však v tomto případě hodnotu γ _s = e/m_e. Magnetické dipólové momenty nukleonů a jader se vyjadřují pomocí analogické veličiny _N, zvané jaderný magneton. Platí pro něj

,

kde m_p je hmotnost protonu. Podrobněji je o této problematice pojenáno v čl. 7.1.4 a v Dodatku 2.

Výsledný magnetický moment atomu (a tedy i jeho chování ve vnějším magnetickém poli) je dán vektorovým součtem magnetických momentů jed­notlivých jeho složek. Výsledný magnetický moment elektronového obalu má řádovou velikost Bohrova magnetonu, magnetické momenty jader jsou obecně o tři řády menší a mohou být v prvním přiblížení zanedbány. Hodnota výsled­ného magnetického momentu závisí samozřejmě na stavech, v nichž se jednot­livé elektrony nacházejí. Výsledný moment může být nulový i v případě, kdy atom či molekula obsahuje značný počet elektronů, a naopak může být od nuly různý pro velmi jednoduché atomy či molekuly. Jeho hodnota závisí také na chemických faktorech, takže atom daného prvku může mít různý magnetický moment v různých typech sloučenin. Specificky složitá je situace zejména v případě kovů, v nichž existují volné (vodivostní) elektrony, které jsou společné všem atomům kovu.

U většiny látek jsou atomové momenty za nepřítomnosti vnějšího magnetic­kého pole orientovány chaoticky, takže výsledný magnetický moment makro­skopického množství látky je roven nule. Teprve při vložení do vnějšího magne­tického pole působí na atomové magnetické momenty moment síly (3.108) , který se snaží orientovat je do směru pole. Látka pak jeví nenulový makrosko­pický magnetický moment; říkáme, že je zmagnetována. (Kromě uvedeného orientačního mechanismu může vnější pole také ovlivňovat stavy elektronů v atomu, a tím ovlivňovat i magnetické momenty jednotlivých atomů.)

Právě uvedená fakta ukazují, že lze každému atomu či molekule dané látky připsat určitou střední hodnotu magnetického momentu p _m = ₀m , který je jed­noznačně určen fyzikálním stavem látky a uplatní se v jejích makroskopických projevech. V dalším textu této kapitoly se budeme již výhradně zabývat tímto makroskopickým popisem magnetického pole a budeme vycházet jen z právě uvedeného kvalitativního poznatku. Všechny otázky podmíněné konkrétními vlastnostmi a mikrofyzikální strukturou atomu ponecháme stranou. Pozornost jim bude věnována v kapitole 7.

3.5.2 Magnetická polarizace (magnetizace) látek, magnetizační proudy

Z toho, co bylo řečeno, vyplývá, že magnetické pole vytvořené zmagnetovanými látkami je možné považovat za magnetické pole soustavy prostorově rozlože­ných dipólů. Jak bylo ukázáno v článku 3.4.4, je průběh tohoto pole jednoznačně určen charakterem prostorového rozložení dipólů. Podobně jako v případě elek­trostatického pole (viz oddíl 1.5) v látkovém prostředí, je i zde výhodné použít vektorovou funkci polohového vektoru, která popisuje v makroskopickém mě­řítku zmíněné parametry atomových dipólů. Mluvíme o magnetické polarizaci P _m(r ), respektive o magnetizaci M (r ) dané látky (srov. čl. 3.4.4). Vektor P _m, respektive M vyjadřuje magnetický moment připadající na její jednotkový ob­jem. V případě magnetické polarizace jde o moment Coulombův, v případě magnetizace o moment Amp`erův. Platí tedy vztah (3.111)

Definiční vztahy pro magnetickou polarizaci (magnetizaci) jsou zcela analo­gické příslušným vztahům pro polarizaci elektrickou (viz články 1.3.4 a 1.5.2). Uvedeme proto jen jejich velmi stručný přehled. Uvažujme malý objem Δ V vy­šetřované látky, který je však dostatečně velký, aby z makroskopického hlediska mohly být zanedbány fluktuace magnetického momentu na vzdálenostech srov­natelných s rozměry atomu a tento objem mohl být považován za kontinuum. Jeho magnetický moment p _{m,Δ V} může být potom vyjádřen dvěma způsoby: jed­nak jako součet momentů p _m,i jednotlivých atomů

(3.130)

jednak po zavedení limitní veličiny (magnetické polarizace)

(3.131)

ve tvaru

přičemž polohový vektor r může být v objemu Δ V zvolen libovolně. Magnetický moment p _{m,Δ V} libovolného objemu V, je zřejmě možné vyjádřit ve tvaru objemo­vého integrálu

(3.132)

Ve speciálním případě, kdy je magnetická polarizace v celém objemu homo­genní, platí

(3.133)

Pro magnetizaci lze napsat analogické výrazy

(3.131a)

(3.132a)

(3.133a)

Rozměr magnetické polarizace je shodný s rozměrem magnetické indukce. Její jednotkou v Mezinárodní soustavě je tesla (T). Jednotkou magnetizace je ampér na metr (A.m^-1).

V článku 3.4.1 jsme zavedli pojem bodového magnetického dipólu při studiu magnetického pole proudové smyčky. Z druhé strany je jasné, že magnetické pole každého dipólu je možné (bez ohledu na jeho vnitřní strukturu) reprezento­vat magnetickým polem proudové smyčky stejného magnetického momentu. Uvedené skutečnosti umožňují vyjádřit magnetické pole zmagnetovaného tělesa (jež je polem soustavy dipólů) pomocí magnetického pole proudových smyček. Právě získaný výsledek vyjadřuje v podstatě hypotézu o existenci molekulárních proudů, kterou zavedl A. M. Amp`ere, když předpokládal, že příčinou magne­tické aktivity látek jsou mikroskopické proudy, které se uzavírají v molekulár­ních rozměrech.

Úvahy tohoto druhu lze dále rozvíjet, když si uvědomíme, že soustava "mole­kulárních" proudových smyček může reprezentovat i určité makroskopické proudy.

Vznik takových proudů lze kvalitativně pochopit z obr. 3.28a, který je analo­gický s obr. 3.26 (objasňujícímu ekvivalenci proudové smyčky a magnetické dvojvrstvy) a který schematicky znázorňuje řez zmagnetovaným tělesem s magnetizací kolmou k rovině nákresny. Plochu řezu si můžeme představit roz­dělenou na malé plošky, z nichž každá reprezentuje proudovou smyčku, po je­jímž obvodu protéká "molekulární proud" I_mol. Je zřejmé, že pokud budou proudy ve všech smyčkách stejné, budou se vzájemně rušit ve společných stra­nách sousedících smyček a nezrušeny zůstanou pouze proudy na povrchu tělesa. Lze tedy soudit, že magnetické pole vytvořené homogenně zmagnetovaným tělesem bude totožné s polem vhodně zvolených makroskopických plošných proudů tekoucích po povrchu tělesa. Největší hustotu budou mít zřejmě v mís­tech, kde je povrch rovnoběžný s vektorem magnetizace, a naopak v místech, kde je povrch k magnetizaci kolmý, bude jejich hustota nulová.

Nebudou-li proudy ve všech smyčkách uvnitř tělesa stejné, nebudou se vzá­jemně rušit a uvnitř tělesa budou moci vznikat objemové makroskopické proudy. (Na obrázku je tato situace reprezentována jednou chybějící smyčkou.) Lze tedy říci, že objemové makroskopické proudy mohou reprezentovat nehomogenity v magnetizaci těles.

Na základě právě uvedených úvah lze očekávat, že magnetické pole libovol­ného zmagnetovaného tělesa bude možné také vyjádřit jako pole makroskopic­kých plošných proudů tekoucích na povrchu tělesa a makroskopických objemo­vých proudů tekoucích uvnitř tělesa. Tyto proudy se nazývají magnetizačními proudy a mají charakter efektivních vázaných proudů, o nichž byla řeč v článku 3.1.2.

Obr. 3.28 K výkladu souvislosti magnetizačních proudů s nehomogenitou magnetizace.

Vyjádření magnetického pole zmagnetovaného tělesa pomocí pole magnetizačních proudů má výhodu v tom, že dovoluje použít všechny vztahy platné pro pole makroskopických proudů ve vakuu také pro popis magnetického pole zmagnetovaných těles. V tomto smyslu je zde plná analogie s elektrostati­kou (viz oddíl 1.5), kde je také možné vyjádřit elektrostatické pole zpolarizova­ných těles (tj. pole soustavy elektrických dipólů) pomocí pole vázaných nábojů. Avšak zatímco vázané náboje jsou reálně existující makroskopickou veličinou, v případě vázaných magnetizačních proudů tomu tak není. Tyto proudy nemají nic společného se skutečnými kondukčními či konvekčními proudy, tj. s přemis­ťováním nábojů v makroskopickém měřítku. Mohou být od nuly různé jak ve vodivém, tak i v nevodivém prostředí a představují jen efektivní veličinu umož­ňující pohodlně popsat magnetismus zmagnetovaných těles.

Právě zmíněná možnost vyjádření magnetického pole zmagnetovaných těles pomocí magnetického pole vázaných magnetizačních proudů je ovšem podmí­něna nalezením takového rozložení proudů, o kterém bude předem známo, že vytvoří stejné magnetické pole jako zmagnetované těleso. Tato otázka však již byla bez ohledu na právě provedené názorné úvahy v podstatě vyřešena v článku 3.4.4. Ze vztahů (3.114) a (3.117) vyplynul z požadavku ekvivalence obou způ­sobů vyjádření vztah mezi magnetizací M (r ) a hustotami plošných magneti­začních proudů ^(m)j _S(r ) (3.115) a objemových magnetizačních proudů ^(m)j (r ) (3.116)

kde n je jednotkový vektor normály na povrchu zmagnetovaného tělesa. Zdů­razněme znovu, že plošné magnetizační proudy jsou nenulové na povrchu těchto těles a objemové magnetizační proudy jsou nenulové uvnitř těles.

Výraz (3.116) je možné bez obtíží převést na integrální tvar, neboť výsledný magnetizační proud ^(m)I protékající libovolnou plochou S je dán vztahem

Použitím Stokesovy věty je možné příslušný plošný integrál převést na křivkový integrál přes křivku l ohraničující plochu S. Platí tedy

.

(3.116a)

Připomínáme (viz Dodatek 1), že orientací plochy S, která je nezbytná pro sta­novení znamení proudu, je určena i orientace křivky l ve vztahu (3.116a) .

Vztahy (3.115) a (3.116) lze získat i matematicky jednodušším elementárním (i když méně rigo­rózním) postupem. Budeme nejdříve uvažovat situaci na povrchu zmagnetovaného tělesa o magnetizaci M , jehož část je zobrazena na obr. 3.28b. Předpokládejme, že na tomto povrchu teče plošný magnetizační proud reprezentovaný hustotou ^(m)j _S(r ). Zvolme úzkou orientovanou obdélní­kovou plošku, jejíž delší strany Δ V jsou rovnoběžné s jednotkovým tečným vektorem t a jejíž plocha protíná povrch tělesa v kolmém směru (viz obr. 3.28b). Celkový proud protékající touto ploškou můžeme počítat dvěma způsoby: za prvé makroskopicky pomocí předpokládané hustoty ^(m)j _S(r ) a za druhé mikroskopicky sečtením příspěvků všech molekulárních proudů I_mol reprezentu­jících magnetické momenty molekul.

Pro první způsob výpočtu zavedeme jednotkový vektor N  = n  ℜ ×  t (srov. čl. 3.3.4). Hledaný proud pak lze vyjádřit ve tvaru [ ^(m)j _S(r ).N ] Δ l. Za druhé předpokládejme, že na jednotkový objem tělesa připadá n₀ molekul, z nichž každá je reprezentována smyčkou o magnetickém momentu m  = I_molS _mol. Ze zvětšené části smyčky na obrázku je zřejmé, že k celkovému proudu plochou obdélníčku budou přispívat jen smyčky vyplňující válcové těleso objemu Δ V, o kolmém průřezu t .S _mol. (Smyčky, které jsou celé uvnitř obdélníčku, protínají jeho plochu dvakrát a k celkovému proudu nepřispívají.) Vezmeme-li v úvahu platnost vztahu M  = n₀m , dostaneme pro hledaný proud vyjádření I_moln₀Δ l = -I_moln₀(t .S _mol)Δ l = -(M .t ) Δ l. Ze srovnání obou postupů plyne vztah

představující jen jiné vyjádření (3.115) .

Pro vyšetření poměrů uvnitř zmagnetovaného tělesa budeme počítat celkový magnetizační proud ^(m)I protékající plochou libovolně zvolené křivky l (viz obr. 3.28c). Lze opět postupovat dvěma způsoby; jednak makroskopicky pomocí předpokládané objemové hustoty ^(m)j magnetizač­ního proudu a jednak mikroskopicky sečtením příspěvků jednotlivých molekulárních proudů. V prvním případě lze magnetizační proud ^(m)I vyjádřit plošným integrálem typu (3.5) přes libovolnou plochu S ohraničenou křivkou l. Při použití druhého postupu si podle obr. 3.28c snadno uvědomíme, že nenulový příspěvek mohou dát jen smyčky, jejichž středy leží uvnitř čerchovaně vyznačeného prstencovitého tělesa. Jeho krátký úsek Δ l bude zřejmě přispívat hodnotou Δ ^(m)I = I_moln₀Δ V = I_mol(S _mol.Δ l )n₀ = M .Δ l . Integrací podél křivky l a využitím Stokesovy věty do­staneme ihned hledané vyjádření (3.116a) a (3.116) .

3.5.3 Amp`erův zákon v látkovém prostředí

Z výsledků předchozího odstavce je patrné, že libovolné magnetické pole je možné popsat rovnicemi formulovanými v článku 3.3.2, jestliže kromě skuteč­ných volných proudů budeme za zdroje tohoto pole považovat také vázané proudy reprezentující magnetizaci příslušných látek.

Kromě toho je zřejmé, že i v látkovém prostředí zůstane zachována uzavře­nost magnetických indukčních čar. Tok vektoru magnetické indukce libovolnou uzavřenou plochou S bude vždy nulový, nezávisle na tom, leží-li tato plocha ve vakuu či v látkovém prostředí, viz (3.72) ,

V libovolném bodě bude tedy platit, viz (3.73) ,

Pro libovolnou uzavřenou křivku l bude platit Amp`erův zákon (3.68) . Na pravé straně musí však vystupovat celkový volný I i vázaný ^(m)I proud protéka­jící plochou křivky l

(3.134)

Za vázaný proud je možné dosadit z rovnice (3.116a) . Dostaneme

(3.135)

nebo pomocí magnetické polarizace

.

(3.135a)

Poslední výraz lze zapsat ve velmi jednoduchém tvaru, ve kterém vystupují jen volné proudy, zavedeme-li novou veličinu

,

(3.136)

nazývanou intenzita magnetického pole. Platí

(3.137)

Předpokládáme-li, že plochou ohraničenou křivkou l nepřetékají žádné plošné proudy, můžeme známým postupem využívajícím Stokesovu větu přejít k dife­renciálnímu vyjádření vztahu (3.137)

(3.138)

v němž veličina vyjadřuje hustotu volného objemového proudu v daném bodě.

Výrazy (3.137) a (3.138) vyjadřují Amp`erův zákon pro magnetické pole v přítomnosti látkového prostředí. Pro doplnění jeho diferenciálního vyjádření (3.138) zbývá vyšetřit chování vektoru intenzity magnetického pole v okolí plošných proudů. Nechť danou libovolnou plochou S tečou volné i vázané plošné proudy o hustotách j _S, ^(m)j _S. Prostor nad plochou S nechť je vyplněn pro­středím (1), jehož magnetická polarizace je P _m1 a magnetická indukce je B ₁. Podobně prostor pod ní nechť je vyplněn prostředím (2), o magnetické polarizaci P _m2 (srov. obr. 3.17). Podle (3.84) bude při průchodu plochou S platit

Po dosazení z (3.115) za ^(m)j _S a po zavedení vektoru intenzity pole dostaneme konečnou podmínku

(3.139)

Vidíme z ní, že nespojitost tečných složek vektoru intenzity magnetického pole je dána pouze hustotou volných plošných proudů. Při průchodu plochou, na níž jsou pouze vázané plošné proudy (například při průchodu povrchem zmagneto­vaného tělesa), zůstávají tečné složky intenzity pole spojité.

Využitím Amp`erova zákona ve tvaru (3.137) je možné určit jednotku inten­zity magnetického pole. V Mezinárodní soustavě pro ni dostaneme ampér na metr (A.m^-1).

Intenzita magnetického pole byla zavedena formálně vztahem (3.136) . Vzniká proto otázka, jaký je její význam pro popis magnetického pole za pří­tomnosti látkového prostředí. Tento význam spočívá v platnosti výrazů (3.137) , (3.138) a  (3.139) , které určují vztah vektoru intenzity magnetického pole k vol­nému proudu. Použití intenzity pole k popisu magnetického pole zmagnetova­ných látek umožňuje vyloučit z explicitních úvah vázané proudy. Je ovšem sa­mozřejmé, že pro bezprostřední vyjádření fyzikálních účinků magnetického pole (tj. pro vyjádření sil působících na pohybující se náboje - a jak uvidíme v kapi­tole 4 - také pro vyjádření jevu elektromagnetické indukce) zůstává i v látkovém prostředí určující veličinou vektor magnetické indukce.

Výrazy (3.137) , (3.138) , (3.139) a právě vyložený význam vektoru intenzity magnetického pole v mnohém připomínají situaci v oddílu 1.5, kde byla pro popis elektrostatického pole v dielektriku zavedena rovněž vektorová funkce - vektor elektrické indukce (srov. vztahy (1.247) , (1.248) , (1.252) ). Vlastnosti intenzity magnetického pole jsou skutečně v mnohém podobné vlastnostem vektoru elektrické indukce. Z praktického hlediska je však třeba považovat in­tenzitu magnetického pole za potřebnější veličinu než vektor elektrické indukce. Magnetické soustavy jsou totiž téměř vždy zadány rozložením volných proudů v prostoru. Je proto téměř vždy výhodné uvažovat veličinu, která má bezpro­střednější vztah k těmto makroskopickým zdrojům. Užitečnost takového postupu bude demonstrována v následujících dvou článcích.

3.5.4 Materiálové vztahy, magnetická susceptibilita a permeabilita

Při dosavadních úvahách o magnetickém poli za přítomnosti zmagnetovaných látek jsme považovali vektor magnetizace (respektive vektor magnetické polari­zace) za známou funkci souřadnic a nestarali jsme se o to, jak souvisí jeho hod­nota s fyzikálními podmínkami, ve kterých se látky nachází. Při řešení konkrét­ních úloh je ovšem znalost této souvislosti nezbytná. Je různá pro různé typy látek a je možné ji popsat pomocí fenomenologických materiálových veličin zavedených na základě výsledků experimentálního studia chování látek v mag­netickém poli. (Srov. analogický postup v případě elektrostatického pole v čl. 1.5.4 či postup při formulaci Ohmova zákona ve stacionárním elektrickém poli v čl. 3.2.2.)

Uvedené relace mezi magnetickými veličinami, závislé na vlastnostech látek, se nazývají materiálovými vztahy. Na rozdíl od obecných rovnic formulovaných v článku 3.5.3, které popisují vlastnosti magnetického pole přesně, tj. v plné shodě s veškerou dosavadní experimentální zkušeností, vyjadřují dané konkrétní materiálové vztahy zpravidla jen přibližně chování skutečných látek. Pro různé účely je často třeba volit vztahy různého tvaru. V tomto článku se omezíme jen na zavedení lineárních materiálových relací v nejjednodušším tvaru, které rela­tivně dobře vyhovují pro stacionární pole. Podrobnější diskusi chování látek v elektromagnetickém poli odkládáme do kapitoly 7.

Pro popis magnetických vlastností látek je nejdůležitější stanovit souvislost mezi magnetizací (popř. magnetickou polarizací) a magnetickým polem uvnitř látek. Vzhledem k tomu, že se vlastnosti látek zpravidla zkoumají ve vnějším poli vybuzeném proudem ve vodičích vhodného tvaru, je výhodné určovat souvislost mezi magnetizací a intenzitou pole uvnitř látky. Intenzita pole má totiž bezprostřednější vztah k volným proudům, jimiž je pole zadáno, než vektor magnetické indukce - viz článek 3.5.3.

Vyloučíme-li zatím z úvah látky v supravodivém stavu, o nichž bude jednáno v kapitole 7, je možné z hlediska chování v magnetickém poli rozdělit všechny látky do dvou velkých skupin. Do první skupiny zařazujeme látky, jejichž mag­netizace nabývá jen malých hodnot. Mluvíme o látkách slabě magnetických. Do druhé skupiny zařazujeme naopak látky, jejichž magnetizace může nabývat značných hodnot. Jde o látky silně magnetické.

Pro slabě magnetické látky je až na výjimky charakteristická lineární závis­lost mezi intenzitou pole a magnetizací, která je velmi přesně splněna do značně vysokých polí (s výjimkou oboru velmi nízkých teplot). Je zvykem ji zapisovat ve tvaru

(3.140)

Konstantu úměrnosti χ _m nazýváme magnetickou susceptibilitou látky.[26] Pro magnetickou polarizaci dostaneme zřejmě podle (3.111)

(3.141)

Vzhledem k definičnímu vztahu pro intenzitu pole, můžeme snadno určit také vztah mezi magnetickou indukcí a intenzitou pole

(3.142)

Veličina  = ₀(1+χ _m) se nazývá permeabilitou látky, veličina _r = 1+χ _m její relativní permeabilitou. Zatímco relativní permeabilita a magnetická susceptibi­lita jsou bezrozměrné veličiny, permeabilita má rozměr a jednotku shodnou s konstantou ₀, a to (newton.ampér)^-2. Ze vzorce (3.142) je také zřejmý původ názvu permeabilita vakua pro konstantu ₀. Pro magnetické pole ve vakuu platí totiž  = ₀ takže

(3.143)

Oba vektory se liší pouze konstantou; zavádění vektoru intenzity je tedy ve va­kuu zbytečné.

Magnetická susceptibilita zavedená vztahem (3.140) je skalární veličina. Vektor magnetizace je v tomto případě vždy rovnoběžný s vektorem intenzity pole. To však platí jen v případě izotropních látek. V anizotropních látkách (např. v některých krystalech) je směr magnetizace obecně různý od směru in­tenzity pole. Magnetickou susceptibilitu je pak nutné považovat za symetrický tenzor druhého řádu (srov. vztahy (1.261) a (3.23) ). Pak platí

(3.140a)

Magnetická susceptibilita může být kladná i záporná. Je-li záporná, mluvíme o látkách diamagnetických, látky s kladnou susceptibilitou nazýváme paramag­netickými. Diamagnetické jsou některé kovy, dále nekovové pevné látky, kapa­liny a plyny (ale také například plazma) a většina látek organického původu. Paramagnetismus vykazuje většina kovů, některé soli v krystalickém stavu, vodné roztoky těchto solí, některé plyny (např. kyslík).

Magnetická susceptibilita diamagnetických látek téměř nezávisí na teplotě. Rovněž susceptibilita některých paramagnetických látek (zejména alkalických kovů) je teplotně nezávislá. U většiny paramagnetických látek se však sus­ceptibilita s teplotou mění. Susceptibilita mnohých z nich splňuje tzv. Curieův zákon, který lze vyjádřit vztahem

(3.144)

v němž T je absolutní teplota a C tzv. Curieova konstanta, charakteristická pro danou látku. Absolutní hodnoty magnetické susceptibility slabě magnetických látek se za normálních podmínek zpravidla pohybují v intervalu 10^-6 až 10^-3.

Silně magnetické látky se od slabě magnetických neliší pouze velikostí magnetizace. Jejich dalším charakteristickým rysem je složitá závislost magneti­zace na intenzitě pole, na historii vzorku, i na mnoha dalších faktorech.

Klasickými představiteli silně magnetických látek jsou látky feromagnetické. Při jejich cyklickém magnetování je závislost magnetizace na intenzitě pole dána tzv. hysterezní smyčkou. Na obrázku 3.29 jsou schematicky zobrazeny typické hysterezní smyčky feromagnetika odpovídající dvěma různým hodnotám maxi­málního pole H_m1 a H_m2[27] . Magnetizace vzorku, který byl ve výchozím stavu nezmagnetován, roste se vzrůstající intenzitou pole nejdříve podle křivky 0, M_m2, M_m1 nazývané křivkou prvotního magnetování. Maximálním hodnotám pole při daném cyklu H_m1, popř. H_m2, odpovídají maximální hodnoty magnetizace M_m1, popř. M_m2. Jak je z obrázku vidět, pro hodnoty pole menší než jistá hodnota H_S magnetizace poměrně rychle vzrůstá. Při poli o hodnotě H_S dosahuje vzorek magnetického nasycení a při jeho dalším zvyšování magnetizace vzrůstá již jen nepatrně. Hodnota magnetizace M_S se nazývá spontánní magnetizací da­ného feromagnetika. Závisí na teplotě a představuje jednu z jeho základních charakteristik. Například pro čisté železo při pokojové teplotě je P_mS = ₀M_S = 2,15Wb.m^-2.

Obr. 3.29 Hysterezní smyčka feromagnetika.

Při následujícím snižování pole klesá magnetizace podle zcela jiné křivky. Například, byl-li vzorek magneticky nasycen, bude to křivka M_m1, M_r. Nenulová hodnota magnetizace M_r, odpovídající nulovému poli se nazývá remanentní magnetizací. Další snižování magnetizace může být dosaženo přiložením pole opačného směru. Hodnota intenzity H_c, při níž magnetizace klesne opět na nulu, se nazývá koercitivním polem. Při dalším zvyšování pole má magnetizace opačný směr a vzrůstá podle křivky -H_c, -M_m1 do své maximální hodnoty -M_m1 a při opětném snižování pole se proces opakuje podle křivky -M_m1, -M_r. Opako­vané cyklické změny intenzity pole s danými maximálními hodnotami vyvolávají cyklické změny magnetizace určené jednotlivými větvemi smyčky M_m1, -H_c, -M_m1, H_c; nulové hodnotě pole již neodpovídá nulová magnetizace. Kvalitativně podobný charakter má průběh magnetizace i v případě, kdy vzorek nedosahuje nasycení (viz obr. 3.29). Nezmagnetovaný stav, kdy nulovému poli odpovídá nulová magnetizace, může být opět dosažen cyklickým magnetováním s postupně kle­sající amplitudou pole k nule; amplituda magnetizace při jednotlivých cyklech pak klesá k nule podle křivky prvotního magnetování.

Pro feromagnetické látky lze zavést pojem permeability a relativní permeability _r. Analogicky k (3.142) definujeme

(3.145)

přičemž požadujeme, aby magnetizace probíhala po křivce prvotního magneto­vání. Takto definovanou permeabilitu lze tedy změřit jedině na vzorku, který měl v nulovém stavu nulovou magnetizaci, tj. byl v nezmagnetovaném stavu. Relativní permeabilita feromagnetických látek má zpravidla hodnotu značně větší než jedna. Je samozřejmě závislá na intenzitě magnetického pole. Na ob­rázku 3.30 je uvedena typická závislost tohoto druhu pro ocel "Armco". Vý­značnými body na této křivce jsou počáteční permeabilita _r,p, odpovídající ma­lým hodnotám pole, a maximální permeabilita _r,max.

Nejznámějšími představiteli látek jevících feromagnetismus za pokojové teploty jsou prvky železo, kobalt, nikl, gadolinium. Kromě gadolinia jeví fero­magnetismus za nižších teplot také další vzácné zeminy. Dále se feromagnetis­mus projevuje u velkého množství slitin i sloučenin nekovového charakteru. Pro technické účely se připravují feromagnetické materiály z různých hledisek.

Za prvé mohou feromagnetické látky zmagnetované do určitého stavu sloužit jako zdroje magnetického pole, tj. jako trvalé magnety. Pro tento typ použití je žádoucí, aby magnetický stav látky byl pokud možno stálý, tedy aby co nejméně závisel na různých vnějších vlivech, speciálně na vnějších polích. Tento požada­vek bude zřejmě splněn, bude-li látka mít co největší hodnotu koercitivního pole. Feromagnetika s vysokou hodnotou koercitivního pole se nazývají magneticky tvrdá. V praxi se za magneticky tvrdé považují látky, pro něž je H_c   10³A.m^-1. Vysoké koercitivní pole však není jediný požadavek kladený na magneticky tvrdé materiály. Pro konstrukci trvalých magnetů je také žádoucí co největší hodnota remanentní magnetizace M_r. Kvalita magneticky tvrdého feromagnetika se proto nejčastěji vyjadřuje velikostí součinu H_c M_r.

Při použití v elektrických strojích (generátorech, elektromotorech, transfor-mátorech) a jiných zařízeních s proměnným magnetickým polem (viz oddíl 4.2) je naopak žádoucí používat materiály s nízkým koercitivním polem a s vysokou hodnotou permeability. V tomto případě mluvíme o magneticky měkkých fero­magnetikách. Za magneticky měkká se v praxi považují feromagnetika, pro než platí H_c   100A.m^-1. Zmíněná ocel "Armco" má H_c ℜ ≈  50A.m^-1; je klasickým magneticky měkkým feromagnetikem.

Jak již bylo řečeno, spontánní magnetizace feromagnetika závisí na teplotě. S rostoucí teplotou klesá, až při jisté kritické teplotě , nazývané Curieovou teplotou, klesne na nulu. Nad Curieovou teplotou se látka zpravidla chová jako paramagnetikum.

Silný magnetismus látek může mít i jinou fyzikální podstatu než feromag-netismus.[28] Například technicky důležité magnetické materiály, nazývané ferity, jsou ferimagnetika. Bez ohledu na konkrétní podstatu silného magnetismu je pro tyto látky vždy charakteristické nelineární chování a hystereze. Pro přesný popis magnetického pole v takových látkách je tudíž vždy nutné znát příslušnou magnetizační křivku či smyčku. Pro méně přesné účely a pro mnohé obecné úvahy není třeba brát v úvahu detaily materiálových vztahů. Zavádějí se proto dva abstraktní typy magnetických látek, vystihující extrémní vlastnosti. Za prvé je to pojem ideálně magneticky měkkého prostředí, o němž se předpokládá, že je izotropní a splňuje přesně vztah (3.140) , respektive (3.142) . Za normálních podmínek vyhovují těmto předpokladům vlastně všechna magneticky izotropní diamagnetika a paramagnetika. Z magneticky silných materiálů je možné uve­dený pojem přibližně použít pro magneticky měkké látky, přičemž se jejich vlastnosti podle situace popisují buď počáteční, nebo maximální permeabilitou (susceptibilitou).

Za druhé se zavádí pojem ideálně tvrdého magnetika, u něhož předpoklá­dáme určitou hodnotu permanentní magnetizace, jež již nemůže být ovlivněna působením vnějšího magnetického pole. Je zřejmé, že tento pojem přibližně vystihuje například vlastnosti magneticky tvrdých feromagnetik. Za jejich per­manentní magnetizaci je obvykle možné položit remanentní magnetizaci.

3.5.5 Magnetický obvod

Problém výpočtu magnetického pole v látkách je jednoduchý v případě, kdy je celý prostor v němž pole uvažujeme, vyplněn homogenním, izotropním a lineár­ním prostředím. Pro vztah mezi magnetickou indukcí a intenzitou pole pak platí (3.142) , přičemž permeabilita je konstanta nezávislá na prostorových souřad­nicích. Amp`erův zákon (3.137) lze užitím (3.142) vyjádřit pomocí magnetické indukce ve tvaru

,

(3.146)

zcela analogickém s (3.68) , který platí pro magnetické pole makroskopických proudů ve vakuu. Z této shody je patrné, že za uvedené situace můžeme použít všechny postupy formulované v článku 3.3.5. Je možné počítat přímo magnetic­kou indukci tak, že v příslušných vzorcích z článku 3.3.5 nahradíme permeabi­litu vakua μ ₀ permeabilitou daného materiálu .

Nejsou-li uvedené předpoklady splněny, je při výpočtu pole nutné vyjít z obecných rovnic formulovaných v článku 3.5.3. Speciálně při vyšetřování pole na plošném rozhraní dvou různých homogenních materiálů je nutné použít vztahů (3.72) a (3.139) . Z (3.72) vyplývá, že při průchodu rozhraním jsou spojité normálové složky vektoru magnetické indukce a z (3.139) plyne naopak spoji­tost tečných složek intenzity pole (neboť na vyšetřovaném rozhraní jsou volné plošné proudy nulové).

Velmi užitečnou pomůckou při řešení magnetických soustav v látkovém pro­středí je pojem magnetického obvodu. Tento pojem vychází z toho, že magne­tické indukční čáry jsou uzavřené křivky, podobně jako proudové čáry stacio­nárního proudu. Analogicky k proudovým trubicím stacionárního proudu je možné zavést pojem magnetické tokové trubice, která je rovněž uzavřená a vy­mezuje určitý konstantní magnetický tok. Na základě uvedené analogie je možné vyšetřovat magnetický tok tekoucí danou trubicí metodami stejnými, které byly v článcích 3.2.3 a 3.2.4 použity k vyšetřování stacionárního elektrického ob­vodu. Vznikne tak možnost formulovat vztahy zcela analogické s Ohmovým zákonem a Kirchhoffovými pravidly, pomocí nichž lze za určitých předpokladů počítat magnetické pole jednodušších soustav metodami vypracovanými pro elektrické obvody.

Magnetickým obvodem tedy rozumíme část prostoru vymezenou magnetic­kou tokovou trubicí, v níž se uzavírá určitý magnetický tok, buzený zpravidla elektrickým proudem protékajícím v okolních vodičích. Technický význam mají zejména obvody, jejichž podstatná část je tvořena materiály s vysokou magne-tickou permeabilitou. Příslušná toková trubice je pak vymezena povrchovými plochami součástí zhotovených z těchto materiálů.

Abychom mohli formulovat zákonitosti pro magnetický obvod, budeme uvažovat uzavřenou trubici magnetického toku Φ podle obr. 3.31. Trubice nechť prochází několika homogenními izotropními prostředími o permeabilitách ₁, ₂,..., >N. Uvnitř této trubice zvolme jistou indukční čáru l, jejíž úseky v jednotlivých prostředích označme l₁, l₂,..., l_N. Konečně předpokládejme, že trubice je dostatečně úzká, aby magnetické pole uvnitř ní bylo možné považovat za homogenní. Magnetický tok bude potom možné vyjádřit ve tvaru Φ  = BS, kde S je libovolný průřez trubice kolmý k indukční čáře l.

Nechť křivka l obepíná celkový proud I_c. Pro intenzitu pole H bude potom platit

.

Veličina

(3.147)

představuje míru, kterou se na vytvoření magnetického pole v obvodu podílí vnější makroskopický proud. Nazývá se magnetomotorickým napětím působícím v obvodu.

Magnetický tok je podél celého obvodu konstantní. Pro libovolný úsek l_i proto platí

(3.148)

V analogii s elektrickým obvodem je možné zavést veličinu

(3.149)

kterou nazveme magnetickým napětím (spádem magnetického potenciálu) na úseku obvodu l_i. Dále můžeme srovnat křivkový integrál

(3.150)

s výrazem (3.20a) vyjadřujícím elektrický odpor určité části proudové trubice. Vzhledem k formální shodnosti obou výrazů můžeme zmíněný křivkový integrál (3.150) považovat za magnetický odpor příslušné části magnetického obvodu. (Permeabilita bude mít pak zřejmě význam měrné magnetické vodivosti.) Ozna­číme-li jej R_m můžeme místo (3.148) psát

(3.151)

Jestliže přirovnáme magnetický tok k elektrickému proudu, můžeme vztah (3.151) považovat za obdobu Ohmova zákona. Vyjadřuje skutečnost, že spád magnetického potenciálu je roven součinu magnetického toku a magnetického odporu, a bývá někdy nazýván Hopkinsonovým zákonem.

Pro celý obvod podle obr. 3.31 bude zřejmě platit

(3.152)

a z druhé strany

(3.153)

čímž jsme opět dostali vztah zcela analogický s rovnicí (3.37) pro elektrický obvod.

Jednotkou magnetomotorického napětí i magnetického napětí je v soustavě jednotek SI zřejmě ampér. Vzhledem k tomu, že proud I_c v (3.147) představuje celkový proud protékající plochou křivky l, užívá se pro magnetomotorické na­pětí někdy také jednotka ampérzávit. Tento název vystihuje v praxi častou situ­aci, kdy je magnetické pole vytvářeno cívkou o z závitech protékanou proudem I. Pro celkový proud pak platí I_c = Iz.

V hledání analogií mezi elektrickým a magnetickým obvodem by bylo možné pokračovat například tím, že bychom uvažovali libovolně složitý rozvětvený obvod. Vzhledem k tomu, že výchozí vztahy (3.151) a (3.153) jsou totožné s odpovídajícími vztahy pro elektrický obvod, dále díky rovnici (3.72) , jíž je možné považovat za analogii rovnice kontinuity proudu, bychom jistě i v tomto případě dostali výsledky shodné s elektrickým obvodem. Speciálně bychom mohli formulovat Kirchhoffova pravidla pro magnetický obvod. Vzhledem k tomu, že analogie mezi oběma typy obvodů je dostatečně průhledná, nebu­deme se již podrobným rozvíjením těchto úvah zabývat. V dalším výkladu ale budeme demonstrovat použití právě vyložených postupů na řešení několika příkladů.

3.5.6 Magnetostatické pole

V článku 3.5.3 jsme vyřešili otázku, jak mohou zmagnetovaná tělesa přispívat spolu s makroskopickými proudy k vytváření magnetického pole. V článku 3.5.4 bylo dále při vyšetřování vlastností feromagnetik poukázáno na možnost exis­tence nenulové magnetizace i bez přítomnosti vnějšího pole. Uvedená vlastnost feromagnetik vytváří jednu z konkrétních možností existence magnetického pole vytvářeného pouze zmagnetovanými látkami, o níž byla zmínka v úvodu tohoto oddílu.

Magnetické pole, které vzniká bez přítomnosti volného makroskopického proudu a je pouze důsledkem nenulové magnetizace látek, se nazývá polem magnetostatickým. Jeho vlastnosti jsou plně popsány obecnými rovnicemi uve­denými v čl. 3.5.3, neboť jde o speciální případ magnetického pole v látkovém prostředí. Libovolná úloha o magnetostatickém poli může být vyřešena pomocí těchto rovnic; stačí znát magnetické vlastnosti a prostorové rozložení přísluš­ných látek. V tomto článku se proto omezíme pouze na zdůraznění některých speciálních vlastností.

Ze vztahu (3.137) plyne pro libovolnou uzavřenou křivku

.

(3.154)

Podobně z (3.138) dostáváme pro libovolný bod

.

(3.155)

Magnetostatické pole, které je polem objemově rozložených magnetických di­pólů, je tedy potenciální a může být popsáno skalárním potenciálem. (O této vlastnosti magnetického pole objemově rozložených dipólů jsme se jiným způ­sobem přesvědčili již v článku 3.4.4.)

Ze známého průběhu magnetizace zmagnetovaných těles lze určit objemovou ρ _m(r ℜ' ) a plošnou σ _m(r ℜ' ) hustotu magnetických nábojů, a to ze vztahu, viz (3.118) ,

a magnetický potenciál může být vyjádřen vztahem (srov. (3.119) )

(3.156)

Intenzita magnetostatického pole je pak dána zřejmým vztahem

(3.157)

a magnetická indukce podle (3.136) vztahem

(3.158)

Pro magnetostatické pole zůstávají samozřejmě v platnosti beze změny vztahy (3.72) , respektive (3.73) , neboť v nich volné proudy explicitně nevystu­pují. Dostáváme tedy soustavu rovnic, která je zcela totožná s rovnicemi elektro­statického pole za předpokladu nepřítomnosti volných nábojů (viz (1.253) ). (Ta­kové elektrostatické pole je tvořeno pouze vázanými náboji na zpolarizovaných tělesech.) Na magnetostatické pole se tedy můžeme dívat jako na analogii pole elektrostatického.

Ze srovnání analogických rovnic vychází jako analogické veličiny intenzity pole E a H a podobnou analogii je možné vidět také mezi vektory elektrické a magnetické indukce D a B . Je však třeba si uvědomit, že tato analogie je pouze formální. Fyzikální účinky magnetického pole jsou bezprostředně popsány vek­torem magnetické indukce B podobně, jako jsou fyzikální účinky elektrostatic­kého pole bezprostředně popsány vektorem intenzity pole E . Proto, chceme-li hledat analogii mezi oběma typy polí, je nutné vidět fyzikálně opodstatněnější analogii mezi veličinami E a B . Úlohou zbylých veličin D a H je doplnit popis příslušných polí v látkovém prostředí. Charakteristickým znakem obou těchto vektorů je přitom jejich bezprostřednější vztah k makroskopickým zdrojům pří­slušných polí (k volným nábojům a k volným proudům). Konkrétní příklad ře­šení magnetostatického problému je uveden v 3.5.7b.

3.5.7 Řešené příklady

a) Magnetické pole na rozhraní dvou prostředí

Uvažujme plošné rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí o permeabi­litách ₁ a ₂. Označme ϑ ₁ úhel, který svírá magnetické pole v prvním prostředí s normálou rozhraní, a ϑ ₂ analogický úhel pro magnetické pole ve druhém pro­středí. Snadno nalezneme vztah mezi úhly ϑ ₁, ϑ ₂ a hodnotami permeabilit ₁, ₂. Jelikož je na rozhraní nulová hustota volného plošného proudu, plyne z (3.139) spojitost tečných složek intenzity magnetického pole H₁sin ϑ ₁  =  H ₂ sin ϑ ₂ . Z  (3.72) dostaneme postupem stejným jako v článku (1.5.6) spojitost normálových složek vektoru magnetické indukce. Tedy B₁cosϑ ₁ = B₂cosϑ ₂. Použitím (3.142) obdr-žíme z těchto podmínek výsledek

(3.159)

shodný s analogickým vztahem (1.278) pro elektrostatické pole.

Speciálně, je-li první prostředí vzduch a druhé prostředí má vysokou hodnotu permeability, platí ₁ = ₀, ₂ >>  ₀. Odtud získáme

(3.160)

což je možné jen v případě, že ϑ ₁ B  0. Z prostředí o vysoké permeabilitě vy-stupuje tedy magnetické pole kolmo na jeho povrch.

b) Toroidní jádro se vzduchovou mezerou

Jako příklad na použití vlastností magnetického obvodu vypočítáme magnetické pole toroidní soustavy podle obr. 3.32. Nechť jádro zhotovené z materiálu o vysoké relativní permeabilitě _r >>  1 ve tvaru prstence o středním poměru r₀ se vzduchovou mezerou δ je ovinuto cívkou o z závitech. Vypočítáme magnetické pole v jádru i v mezeře za předpokladu, že cívkou teče proud I.

Budeme předpokládat, že průřez jádra je S. Dále budeme předpokládat, že šířka mezery je malá, takže magnetický tok Φ teče plochou S i v této mezeře. Pro magnetické odpory mezery i jádra potom dostaneme

Po dosazení do (3.153) můžeme vypočítat magnetický tok tekoucí obvodem

(3.161)

Zavedeme označení B_j, H_j pro magnetickou indukci a intenzitu pole v jádru a podobně B_v, H_v pro tyto veličiny v mezeře. Bude pak platit

(3.162)

Vidíme, že zatímco magnetická indukce má stejnou hodnotu ve vzduchu i v jádru, intenzita pole ve vzduchu je _r-krát větší.

Právě vyřešený příklad ilustruje, proč je výhodné užívat při konstrukci magnetických soustav materiálů s vysokou permeabilitou. Jejich užitím se sníží magnetický odpor obvodu, čímž v příslušném poměru vzroste magnetický tok.

Ve stejném uspořádání si nyní ukážeme způsob řešení magnetostatického problému. Předpokládejme, že v cívce z obr. 3.32 byl vypnut proud, přičemž ve feromagnetickém jádru zůstala nenulová magnetizace konstantní hodnoty M₀, (P_m,0 = ₀M₀), jejíž směr je v každém bodě rovnoběžný se směrem tečny kruž­nice o středu ležícím na ose prstence. Při použití označení zavedeného v čl. 3.5.5 bude platit

a dále vzhledem ke kolmosti vektorů B _j, B _v k povrchu jádra

Odtud dostaneme jednoduchým výpočtem

(3.163)

(3.164)

Ze získaných výsledků je patrné, že intenzita pole H_j uvnitř jádra má opačný směr než vektor magnetické indukce a než intenzita pole ve vzduchové mezeře. To je dáno tím, že celou její hodnotu určuje demagnetizační pole. Z (3.164) pro ni dostaneme

(3.165)

Velikost magnetické indukce B i intenzity pole uvnitř jádra H_j je úměrná magnetizaci jádra M₀. Hodnotu H_j lze odečíst z hysterezní smyčky. Je dána prů­sečíkem demagnetizační přímky (3.165) s klesající větví hysterezní smyčky (průsečík analogický bodu D na obr. 3.33).

c) Koule v homogenním magnetickém poli

Rozložení magnetického pole vytvořeného magneticky homogenní a izotropní koulí vloženou do vnějšího magnetického pole je možné počítat způsobem zcela analogickým s tím, který byl použit při výpočtu elektrostatického pole dielek­trické koule (viz příklad 1.5.6c). Ze stejných důvodů především platí, že homo­genní těleso tvaru koule (nebo obecněji elipsoidu), vložené do vnějšího homo­genního magnetického pole B ₀, bude homogenně zmagnetováno. Označíme-li tuto jeho magnetizaci M ₀, bude výsledný magnetický dipólový moment tělesa roven

(3.166)

Výsledné magnetické pole vně koule bude superpozicí vnějšího pole B ₀ a pole B _m vytvořeného v daném bodě zmagnetovanou koulí. Podle výsledků příkladů 3.4.4 a 1.5.6c je zřejmé, že vně koule bude pole B _m totožné s polem magnetic­kého dipólu o magnetickém momentu m _V umístěného ve středu koule.

Stejným postupem jako v 1.5.6c pro pole elektrostatické bychom zjistili, že uvnitř koule se vlivem jejího zmagnetování vytvoří homogenní demagnetizační pole o intenzitě H _d, které se vektorově sečte s původním vnějším polem B ₀. Analogicky k (1.184) platí

(3.167)

a pro výsledné pole uvnitř koule dostaneme

(3.168)

V případě, že materiál koule může být považován za lineární měkké magneti­kum, může být magnetizace vyjádřena pomocí magnetické susceptibility; M ₀ = χ _mH a pro výsledné pole dostaneme výrazy

(3.169)

které jsou analogické k (1.281) , popř. (1.282) .

V případě, že materiál koule je feromagnetikum, je situace složitější, neboť vztah mezi magnetizaci a výsledným polem uvnitř koule je dán hysterezní smyčkou. Skutečná magnetizace materiálu koule M ₀ i výsledné magnetické pole uvnitř může být určeno z hysterezní smyčky způsobem uvedeným v obr. 3.33. Závislost demagnetizačního pole H _d na magnetizaci, daná vztahem (3.167a) , může být v obrázku znázorněna přímkou (l) a podobně závislost výsledného pole H na magnetizaci přímkou (2). Průsečíky A, B, C této přímky s hysterezní smyč­kou udávají možné hodnoty magnetizace materiálu. O tom, která z nich se bude skutečně realizovat, rozhodne postup, jakým bylo vnější pole nastaveno. Napří­klad při jeho monotónním zvyšování z nuly na konečnou hodnotu H₀ za předpo­kladu, že materiál byl původně v nezmagnetovaném stavu, nastane případ A. Z křivky prvotní magnetizace lze pro danou hodnotu magnetizace M₀ odečíst i příslušnou hodnotu výsledného pole H.

d) Elipsoid magnetovaný ve směru hlavní osy

Výsledky získané v předchozím příkladu pro těleso tvaru koule snadno zobec­níme pro obecný elipsoid za předpokladu, že vnější pole je orientováno ve směru jedné z jeho hlavních os. Využijeme k tomu opět analogii mezi elektrostatickým a magnetickým polem prostorově rozložených dipólů (srov. čl. 1.3.4 a 3.4.4).

Podobně jako v elektrostatickém poli (viz 1.5.6c) platí, že magneticky homo­genní těleso tvaru elipsoidu je ve vnějším homogenním magnetickém poli H ₀ homogenně zmagnetováno. Pro jeho výsledný magnetický dipólový moment platí opět vztah (3.166) .

Za předpokladu, že vnější pole H ₀ je orientováno ve směru jedné z hlavních os elipsoidu, má homogenní demagnetizační pole H _d uvnitř elipsoidu rovněž směr této osy a platí

,

(3.167a)

kde N_i je hlavní hodnota demagnetizačního (depolarizačního) faktoru příslušející dané hlavní ose elipsoidu[29] . Výsledné magnetické pole uvnitř elipsoidu je pak místo (3.168) dáno vztahem

(3.168a)

Pro lineární magneticky měkké magnetikum pak platí

(3.169a)

V případě feromagnetického tělesa lze opět postupovat podle obr. 3.33 s tím, že demagnetizační přímky mají směrnici danou demagnetizačním faktorem.

Obr. 3.34 K výkladu demagnetizačních polí v rotačním elipsoidu magnetovaném ve směru rotační osy z: a) protáhlý elipsoid, b) zploštělý elipsoid. V daném označení os platí pro hlavní hodnoty demagnetizačního faktoru N₁ = N_x, N₂ = N_y, N₃ = N_z.

Výsledky (3.167) až (3.169) pro kouli dostaneme jako speciální případ z  (3.167a) až (3.169a) , uvědomíme-li si, že pro kouli platí N₁ = N₂ = N₃ = 1/3. Důležité jsou rovněž dva další speciální případy: velmi protáhlý rotační elipsoid magnetovaný podél osy rotační symetrie (obr. 3.34a) a zploštělý rotační elipsoid magnetovaný rovněž podél své rotační osy (obr. 3.34b). V prvním případě mů­žeme zřejmě přibližně položit N_x = N_y B  1/2, N_z B  0. Demagnetizační pole je tedy podle (3.167a) přibližně nulové a intenzita pole uvnitř elipsoidu je přibližně rovna H ₀ . Ve druhém případě platí naopak N_x = N_y B  0, N_z B  1 a pro demagneti­zační pole platí

.

(3.167b)

Výsledné pole uvnitř elipsoidu je podle (3.168a) v prvním případě rovno

(3.168b)

a v druhém případě platí

.

(3.168c)

---

---