Optické vlnovody (světlovody)

Význačnou vlastností vlnovodů je šíření elektromagnetické energie ve směru jejich osy. U vlnovodů obklopených vodivým obalem je tato vlastnost zajištěna triviálním způsobem. Je však možné použít i dielektrický vlnovod (např. válec z dielektrika, jehož permitivita se liší od permitivity okolního prostředí).

Není nezajímavé, že dielektrickými vlnovody se zabýval český vědec F. Záviška, profesor Univerzity Karlovy, již ve třicátých letech. Teorie byla dostatečně propracována, avšak v mikrovlnné oblasti nenalezly dielektrické vlnovody praktického použití zejména vzhledem k velkým ztrátám. S rozvojem kvantové elektroniky v optické oblasti se začaly používat jako vlnovody tenká dielektrická vlákna pokrytá vrstvou látky s menším indexem lomu. Vzhledem k tomu, že optický vlnovod tohoto typu je formálně podobný koaxiálnímu vlnovodu, stručně o něm pojednáme, i když aplikace se nevztahují k mikrovlnné, nýbrž optické oblasti.

n₁ > n₂

Obr.3.5.1 Řez optickým vlnovodem (světlovodem)

Vlnovod se skládá z dielektrického kruhového válce, v němž se mění skokem index lomu (na obr. 3.5.1 n₁ > n₂). Základní rovnice (3.3.1) a (3.3.5) až (3.3.8) zůstávají stejné i v tomto případě, okrajové podmínky jsou jiné.

Nejprve naznačíme, o co z fyzikálního hlediska usilujeme. Chceme, aby se  elektromagnetické vlny šířily vnitřním válcem s indexem lomu n₁  a ve vnějším obalu s indexem lomu n₂ se rychle tlumily. Poloměr a musí být v optické oblasti nutně mnohem větší než vlnová délka l, takže se současně obecně může šířit velké množství vidů (modů). Vhodnou volbou můžeme dosáhnout toho, že i při rozměrech  2a několika mikronů se bude šířit jen několik modů, případně jen jeden.

Aniž bychom prováděli všechny výpočty, naznačíme postup řešení: pro r<a volíme pro E_z, H_z řešení

Příslušné složky E_z, E_r, H_r, H_f dostaneme ze vztahů  (3.3.5) až (3.3.8). Dále zde platí

Vně jádra r>a volíme řešení ve tvaru Hankelových funkcí   imaginárního argumentu, protože tato řešení budou exponenciálně klesat pro velké hodnoty r.

Položíme  a volíme

a ostatní složky opět dostaneme z rovnice (3.3.5) až (3.3.8).

Dále platí

Okrajové podmínky jsou v (dielektriku) dány rovností tangenciálních složek E_t, H_t na rozhraní obou prostředí. Dostáváme tedy

pro r = a, což jsou rovnice pro určení konstant A, B, C, D. 

Z požadavku, aby determinant této soustavy  byl roven nule, dostaneme rovnici určující konstantu šíření  (vlnový vektor směru z):

      (3.5.1)

Bylo použito vztahu 

Rozborem rovnice (3.5.1) vyjde najevo, že obecně mody mají šest složek vektorů pole, takže je nelze rozdělit na TE a TM - jsou to tzv. hybridní mody. Výjimečný je případ pro n = 0, kdy skutečně dostáváme mody TE a TM.

Z praktického hlediska je nejdůležitější určení kritické frekvence pro jednotlivé mody. K tomu použijeme následující úvahu:

Mody se šíří dielektrickým vlnovodem tehdy, jestliže elektromagnetická vlna je koncentrována především v jádře vlákna a v blízkosti rozhraní  jádro - obal . Použijeme-li asymptotické přiblížení pro velké hodnoty argumentu , dostaneme

.

Pro velké hodnoty h₂ je tedy elektromagnetická vlna zkoncentrována v jádře a jeho blízkosti, pro malé hodnoty h₂ vystupuje z jádra a pro h₂ = 0 úplně opouští vlnovod. ( pro kritickou frekvenci). Je tedy rozumné hledat přibližné řešení pro kritické frekvence v blízkosti nulových hodnot h₂. To znamená použít rozvojů příslušných funkcí pro malé hodnoty argumentů h₂a. Dostaneme pak tyto výsledky:

TE a TM mody:    

(Index  K u h₁ značí hodnotu odpovídající kritické frekvenci). Dříve jsme značili nulové body této rovnice jako , kde první index se vztahoval k Besselově funkci a druhý čísloval nulové body, tj. i = 1, 2, 3, ... atd.

Další mody mají kritické frekvence dané podmínkou

Zde je první kořen nulový, takže h₁a =  0 má za následek nulovou kritickou frekvenci a označuje se jako modus HE_1i. (První index se vztahuje k Besselově funkci, druhý čísluje kořen, takže vyšší mody tohoto typu se označují jako HE_1i, kde i = 2, 3, ...). Pro indexy Besselových funkcí n > 1existují dva typy hybridních modů, které se označují EH_ni a HE_ni, protože kromě podmínky J_n (h₁a) = 0 vychází ještě složitější podmínka ve tvaru transcendentní rovnice

.

V tabulce jsou uvedeny kritické hodnoty  a pro různé kombinace n a i pro .

Z této tabulky je vidět, že nejnižší modus HE₁₁ se může šířit v intervalu frekvencí od nuly až do kritické frekvence pro TE₀₁ a TM₀₁, tj.

Obr.3.5.2 Graf závislosti b/k₂ na k₂a  pro hodnoty n₂ = 1  a n₁ = 1,01

 Mody vyšších indexů  se šíří až při vyšších hodnotách k₂a.

Obr.3.5.3 Frekvenční závislost modu HE₁₁

Vzhledem k tomu, že grupová rychlost je definována vztahem  , je vidět, že v okolí inflexního bodu, kde , nezávisí prakticky na frekvenci. To znamená, že neexistuje disperze a tím ani zkreslení signálu. Inflexní bod však leží na frekvenci, při níž se šíří více modů,  jejich počet není velký. Prakticky je možné pracovat v okolí této frekvence s malým zkreslením signálu. Bylo stanoveno, že ztráty v křemenných vláknech jsou řádu 2-3 dB/km. Kromě přenosu signálu je možné pomocí svazků z vláken přenášet optický obraz, přičemž jednotlivé vlákno přenáší světlo odpovídající jednomu bodu obrazu. Další použití optických vláken spočívá v kontrole světelných zdrojů, které nejsou přístupny přímému pozorování (např. zadní světla v automobilu).

<<< předchozí | hlavní stránka | další >>>