Obr.3.4.1 Řez koaxiálním vedením
Na obr. 3.4.1 je znázorněno koaxiální vedení, které se též
někdy označuje jako koaxiální vlnovod. Zajímá nás pouze útvar s kruhovým
průřezem. Na první pohled je patrné, že vzhledem k tomu, že tento vlnovod je
obklopen dvěma vodivými válcovými plochami, může tímto útvarem téci i
stejnosměrný proud.Vlnovod je propustný pro libovolně nízkou frekvenci
a kritická frekvence je nulová, kritická vlnová délka
je nekonečná a platí,
že
.
Je-li však
, není možné, aby se šířily vlny
TE, TM a jedině možná vlna
je TEM. Strukturu této vlny v koaxiálním vlnovodu kruhového průřezu určíme
snadno.
Za prvé víme, že
. Za druhé pro
neplatí rovnice
(3.1.7)
až (3.1.10). Víme, že vlna je TEM, tj. šíří se ve směru z a má složky
Er , Hf
. Vzhledem k tomu, že není důvodu, aby struktura pole
závisela na frekvenci je Er (r,z)
obdobné, jako struktura
pole ve válcovém kondenzátoru, takže
kde
Obdobně pro magnetické pole Hf dostaneme
,
kde
je vlnový odpor
vakua.
K těmto výsledkům můžeme ovšem dojít též pomocí Maxwellových rovnic (ve válcových souřadnicích), položíme-li Ez = Hz =0, a dále
Obr.3.4.2 Struktura vlny TEM
Koaxiálním vlnovodem se však mohou též šířit vlny TE,TM.
To,že dvojitý vodivý obal umožňuje existenci vln TEM (s kritickou frekvencí
nulovou), nezajišťuje ještě, že není možné šíření vlny pro níž . Pak ovšem bude pro složky
Ez (resp. Hz) platit rovnice
(3.3.1) a pro ostatní složky rovnice
(3.3.5)
až (3.3.7). Řešení rovnice
(3.3.1) však nemůžeme vyjádřit ve tvaru
(3.3.2)
nebo (3.3.9), tj. pouze pomocí Besselových funkcí Jn , neboť bychom
nemohli splnit okrajové podmínky na dvou plochách (r
= a ; r = b), které nyní obklopují vlnovod. Musíme tedy napsat obecné
řešení Besselovy rovnice, takže pro vlnu TE platí
(3.4.1)
kde Nn jest Neumanova
funkce. Poněvadž Ef
= 0 pro r = a i pro r = b a z Maxwellových
rovnic plyne, že Ef~
dostaneme z (3.4.1)
odtud
(3.4.2)
pro n =0,1,2,3,......
Obdobně dostaneme pro vlnu TM z Ez = 0 pro r = a i pro r = b obdobnou rovnici
(3.4.3)
(3.4.2) a (3.4.3) jsou transcendentní rovnice pro určení h a odtud příslušných kritických vlnových délek. Vzhledem k tomu, že řešený problém je takto málo „průhledný“, uchýlíme se k tomu, že budeme hledat přibližné řešení pro mezní případy: velmi malé a velmi velké hodnoty argumentů Besselových a Neumannových funkcí při nějaké hodnotě indexu n.
Zvolíme n = 0 a předpokládáme, že
. Potom
Dosazením do (3.4.3) dostaneme
Mezní případ (pro velmi nízké frekvence) je takový, že h = 0, ale to je opět vlna TEM.
Pro druhý
mezní případ
(velmi vysoké
frekvence), použijeme asymptotické formule pro Besselovy a Neumannovy funkce,
tj.
Dosazením do (3.4.3) dostaneme po úpravě
, odkud
a kritická vlnová
délka je
Kritická vlnová délka je velmi malá, kritická frekvence vysoká. Tak vysoké frekvence se však reálným koaxiálním vedením nemohou šířit pro velký útlum, což je vysvětleno dále. Docházíme k závěru, že jediný vid, který se reálně může šířit koaxiálním vedením je vlna TEM.