Ideální vlnovod kruhového průřezu


Na obr. 3.3.1 je znázorněn vlnovod kruhového průřezu. Z geometrie plyne, že vektory pole je vhodné vyjádřit jako funkce válcových souřadnic

images/03_3/image002.gif        ;         images/03_3/image004.gif

 

images/331.gif

Obr.3.3.1 Řez vlnovodem kruhového průřezu

Vzhledem k tomu, že opět předpokládáme šíření vlny ve směru osy z , píšeme symbolicky pro ideální vlnovod

images/03_3/image008.gif   ;    images/03_3/image010.gif

Dále pak postupujeme stejně jako v případě vlnovodu obdélníkového průřezu pomocí Maxwellových rovnic. Operace div a rot však musíme vyjádřit ve válcových souřadnicích:

images/03_3/image016.gif

images/03_3/image018.gif

images/03_3/image020.gif

images/03_3/image022.gif

a analogicky pro vektor images/03_3/image024.gif.

Opět rozdělíme vlny na TM(E) a TE(H). Pro vlnu TM dostaneme vlnovou rovnici pro osovou složku intenzity elektrického pole

images/03_3/image026.gif                    (3.3.1)

Řešení hledáme ve tvaru   images/03_3/image028.gif

a dostaneme po jednoduché úpravě  images/03_3/image030.gif

Zvolíme images/03_3/image032.gif, aby images/03_3/image034.gif a rovnice (3.3.1) přejde v

images/03_3/image036.gif

Snadno se přesvědčíme - substitucí images/03_3/image038.gif a vyjádřením images/03_3/image040.gif,že se jedná o Besselovu rovnici pro images/03_3/image042.gif s indexem n. Besselova rovnice s indexem n má obecně tvar images/03_3/image047.gif.

Jejím řešením je Besselova funkce argumentu hr s indexem n, takže

images/03_3/image052.gif                        (3.3.2)

Okrajová podmínka images/03_3/image054.gif vede k požadavku

images/03_3/image056.gif                                        (3.3.3)

K určení h musíme tedy najít nulové body příslušné Besselovy funkce. (Jsou tabelovány). Označíme-li jako nni-itý kořen rovnice (3.3.3), můžeme h vyjádřit pomocí vztahu images/03_3/image063.gif

Z podmínky  images/03_3/image065.gif

můžeme opět určit kritickou vlnovou délku

images/03_3/image067.gif                 (3.3.4)

Je vidět, že kritická vlnová délka (a též struktura vlny) závisí opět na dvou indexech; n je index Besselovy funkce a má hodnoty n =0,1,2,3,..., kdežto i čísluje nulové body této funkce a probíhá hodnoty i = 1,2,3,...

Při stejném označení jako u obdélníkového vlnovodu dostaneme pro vlnu TM01

images/03_3/image079.gif

Z Maxwellových rovnic dostaneme dále obdobným způsobem jako u vlnovodu obdélníkového průřezu transverzální složky elektrického a magnetického pole odpovídající rovnicím (3.1.7) až (3.1.10)

 

images/03_3/image081.gif

(3.3.5)
(3.3.6)
(3.3.7)
(3.3.8)

 

Pro vlnu TE(H) ve vlnovodu kruhového průřezu dostaneme analogicky s rovnicí (3.3.2)

images/03_3/image085.gif           (3.3.9)

s okrajovou podmínkou images/03_3/image087.gif. Protože podle (3.3.6) platí   images/03_3/image089.gif~ images/03_3/image091.gif, bude tato podmínka splněna, když images/03_3/image093.gif. Označíme-li nulové body této rovnice jako images/03_3/image095.gif , kde n je opět index Besselovy funkce ( n =0,1,2,3,...) a i čísluje kořeny (i =1,2,3, …), máme images/03_3/image102.gif a pro kritickou vlnovou délku vychází  images/03_3/image104.gif.

 

Vlna TM01 TM02 TM11

příčný řez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podélný řez

 

images/332a.gif images/332b.gif images/332c.gif
složky Ez, Er, Hf Ez, Er, Hf Ez, Er, Ef, Hr,Hf
l0 2,61a 1,14a 1,64a
Vlna TE01 TE11

příčný řez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podélný řez

 

images/332d.gif images/332e.gif
složky Hz, Hr, Ef Hz, Hr, Hf, Er,Ef
l0 1,64a 3,41a


Obr.3.3.2 Vlna TM01, TM02, TM11, TE01, TE11

Nebudeme zde opakovat  úvahy o konstrukci siločar, postup je stejný jako u vlnovodů obdélníkového průřezu. Na obr. 3.3.2 jest znázorněna struktura pole pro několik nejnižších vidů. Je zajímavé, že nejdelší kritickou vlnovou délku images/03_3/image106.gif má vlna TM01 , jejíž struktura v rovině z = konst není nejsymetričtější (větší symetrii vykazují vlny  TM01, TE01).