Obvody velkých rozměrů, vysoké kmitočty.

V těchto obvodech už není možné uvažovat okamžitý vliv jedné části obvodu na druhou. Čas potřebný k tomu, aby se efekt dostal z jedné části obvodu na jinou část, může být srovnatelný nebo i mnohem větší než je perioda, se kterou se efekt mění. Proto je nutné uvažovat retardaci.V první části obvodu vznikne příčina pro změnu ve druhé části obvodu, ale tato změna tam nastane až za určitý čas.

V elektrodynamice je tento efekt zahrnut v řešení vlnové rovnice:

◻        ,        ◻ ,

kde potenciály svazuje Lorentzova kalibrační podmínka (viz.[3] str.189 -196).

Řešením vlnových rovnic jsou retardované potenciály

      ,      ,

kde [ ] znamenají, že rozložení hustoty náboje ρ eventuálně proudu počítáme v čase ,  kde .

Následující příklad vysvětluje retardaci v jednoduchém případě: 

Mějme malý proudový element délky h , který nese proud IS (obr.1.9.1), který se mění harmonicky s časem mezi dvěma kuličkami, na nichž se akumulují náboje. Počítejme celkový potenciál v místě P, které je ve vzdálenosti r od středu elementu - je velmi daleko. Integrál přes objem celého prostoru pak přejde jen na integrál podél elementu, neboť jinde je proud nulový: . Pokud dále předpokládáme, že proud má jedinou komponentu IZ a že h << r, můžeme integrál nahradit prostým násobením (r se podél elementu h nemění) a dostaneme pro AZ : .

Obr. 1.9.1 Ilustrace k příkladu

Předpokládali jsme harmonickou změnu proudu I_Z s časem . 

Pro A_Z tedy platí:

,  kde   a  k je vlnové číslo: .

Retardace se projevila fázovým posunem o velikosti –k.r.

Obecně je možné psát pro případ harmonicky proměnného zdrojového členu:

.

Je zřejmé, že retardace je započtena faktorem e^-jkr. Ten  způsobuje fázový posun každého příspěvku potenciálu v závislosti na vzdálenosti příslušného zdroje od bodu P, ve kterém potenciál počítáme.

V případě ustáleného stavu harmonicky a monochromaticky proměnných zdrojů, je zbytečné počítat skalární potenciál zvlášť, neboť Lorentzova kalibrační podmínka svazuje .

i se pak dá vyjádřit pouze pomocí :

.

Vliv nábojů je svázán s proudy přes rovnici kontinuity. V harmonickém případu platí: .

Vraťme se nyní k případu rozměrného obvodu - rozměrného ve srovnání s vlnovou délkou. Všimněme si vlivu elementu v bodě A (obr.1.9.2) na element v bodě B. Pokud bychom předpokládali nekonečnou rychlost šíření vzruchu, pak bychom pro harmonický proměnný proud v bodě A dostali přesně o 90o otočené indukované napětí v bodě B ( 90o -  z derivace podle času). Pokud ovšem započítáváme konečnou rychlost šíření efektu z bodu A do bodu B, pak vzdálenost mezi těmito body může být tak velká, že fázový posun, který magnetický efekt cestou „nasbírá“, bude už signifikantní. Indukované pole v místě B nebude mít fázový posuv oproti proudu přesně 90o. Indukované napětí bude mít složku ve fázi s proudem i složku kolmou na proud.

Obr. 1.9.2 Rozměrný obvod

Pro názornost uvažujeme zjednodušeně, že proud se v obvodu mění stacionárně podél celého obvodu. Toto zjednodušení si lze představit například tak, že celý obvod se nachází ve vnějším homogenním magnetickém poli, které se harmonicky s časem mění a indukuje tak ve smyčce proud. Retardaci započítáváme v tomto případě jen při vzájemném působení jednotlivých částí obvodu na sebe. Retardaci máme započítávat, jestliže čas, který je potřebný k šíření vzruchu způsobeného změnou proudu v jednom bodě obvodu na druhý,  je srovnatelný s periodou změny tohoto proudu a vzniká fázový posuv mezi proudy v různých místech. Tyto dva jevy jsou úzce spojeny. 

Abychom ukázali tento efekt, budeme uvažovat pouze jeden z nich a předpokládat, že proud je stacionární ve velikosti i fázi podél celého obvodu ve tvaru e^jωt. 

Zkusme spočítat induktivní úbytek napětí (1.5.6)      .

vypočítáme ze vzorce .

Integrál přes celý prostor přejde na integrál přes křivku obvodu (příčné rozměry vodiče zanedbáváme) .

Počítáme vliv na .

Po dosazení e^jkr = cos kr + j.sin kr do vztahu: získáme vztah:

     neboli

   , kde

•     [Ω]        je radiační odpor

•  [ H]              je indukčnost

 Nesmíme zapomenout, že a tedy L je funkcíω. Jakou funkcí lze zjistit,  rozvineme-li  do řady:

a pro nízké kmitočty nebo malé r:

  což  je Neumannův tvar pro vzájemnou indukčnost - zde má význam vlastní indukčnosti smyčky. 

Pro nízké kmitočty se tedy uplatní jenom induktivní člen. Tož odpovídá faktu, že bez uvážení retardace máme fázový posuv mezi proudem a indukovaným napětím 90^o.

Když se teď podíváme na výraz R_r, resp. na IR_r , jedná se o ohmický člen, neboť napětí a proud jsou ve fázi. Na tomto členu se tedy ztrácí výkon - vyzařuje se do prostoru. Disipace na tomto členu tedy odpovídá elektromagnetické energii, která se vyzařuje.

Rozvineme-li tento, dostaneme:

 ;

roznásobením prvního členu vypadne r. Protože , lze vztah zjednodušit:

.

Členu R_r se říká radiační odpor. Je nutné mít na paměti, že tento vzorec není obecný, ale že byl odvozen za předpokladu stacionárního stavu v původním obvodu. Nicméně efekt je zjevně pozorovatelný a je důsledkem uvážení retardace.

Příklad :

	Mějme kruhový závit o poloměru a. Zanedbáme rozměry vodiče  ,           . Vzdálenost r se dá spočítat z úhlu φ a poloměru a:      . Spočítáme jenom 1.člen v rozvoji pro Rr :  Pokud bude smyčka ve vakuu, pak Pokud bude mít smyčka obvod vlnové délky tj. pak = 0,773 Ω.
Obr. 1.9.3 Ilustrace k příkladu

<<< předchozí | hlavní stránka | další >>>