Předchozí kapitola Předchozí podkapitola Obsah kapitoly Příklady Průvodce Následující podkapitola Následující kapitola


3.3 Vady zobrazení (aberace)

Až dosud jsme se zabývali geometrickou optikou v paraxiální aproximaci, kdy jsme předpokládali, že všechny paprsky se šíří v blízkém okolí optické osy soustavy tak, že s ní svírají malé úhly. Tato podmínka vede například k tomu, že sférické plochy dovolují realizovat dokonalé zobrazení. Víme ovšem také, že konečný rozměr apertury optických přístrojů vede k tomu, že zobrazení je ovlivněno difrakcí světla. Ve skutečnosti je zobrazení porušeno daleko výrazněji tím, že nejsou dobře splněny podmínky paraxiální aproximace. Mluví se o vadách (aberacích) zobrazení. Při návrhu optických prvků je snahou vady zobrazení potlačit (nebo minimalizovat).

V současné době se návrh čoček nebo složitějších optických soustav, jako objektivů, provádí počítačovým sledováním průchodu paprsků. Z jednotlivých bodů předmětu jsou vysílány paprsky různými směry a pomocí Snellova zákona se počítá jejich průchod čočkou (optickou soustavou), sledují se jejich průsečíky s určitou rovinou v obrazovém prostoru. Soustava se optimalizuje a výpočet se opakuje (postup pokus a omyl). Nyní, kdy se rozvíjí digitální záznam obrazu, se v souvislosti s aberacemi objevuje zcela nový trend. Používají se levné optické prvky (objektivy), jejich vady zobrazení se proměří a pak jsou zaznamenané obrazy počítačově korigovány. Tradiční postup založený na složitých algebraických výpočtech, který se používal do rozvoje počítačového přístupu (do zhruba 70. let 20. století), může přinést ovšem jisté fyzikální porozumění vad zobrazení. Je totiž možné vydělit několik typů vad, které se projevují při zobrazení světlem jedné vlnové délky (monochromatické vady). Proto si tohoto tradičního přístupu všimneme.


Obr. 10.31 Paprsková aberace

Obr. 10.32 Vlnová aberace

Uvažujme čočku (optickou soustavu), která zobrazí v paraxiální aproximaci bod P do bodu , viz obr. 10.31. Reálně však konkrétní paprsek po průchodu soustavou může protnout rovinu, jež je kolmá k optické ose a prochází bodem PP, v bodě . Vektor (bx, by) daný úsečkou PP`P` vyjadřuje vadu zobrazení, nazývá se paprskovou aberací. Vadu zobrazení lze charakterizovat také tzv. vlnovou aberací. Uvažujme rovinu výstupní apertury čočky (optické soustavy). V ní leží vlnoplocha spojená s reálnými paprsky, která se ovšem obecně liší od sférické vlnoplochy, která odpovídá paraxiální aproximaci. (viz obr. 10.31). Konkrétní paprsek protíná reálnou plochu v bodě Q, ideální plochu v bodě Qi. Velikost optické dráhy a(Q) odpovídající úsečce QiQ je vlnová aberace. Vlnová a paprsková aberace spolu souvisí. Geometrie pro případ obrazu v rovině yz je na obr. 10.32. Úhel mezi tečnami k vlnoplochám v bodech Q, Qi je α. Paprsková aberace je pak spojena s aberací zřejmě

image757.png (10.226)
kde s ` je vzd álenost paraxiálního obrazu od roviny čočky. Z obr. 10.32 je také vidět, že (do lineárních členů) přírůstek vlnové aberace a souřadnice y jsou spojeny
image759.png (10.227)
V posledním vztahu vystupuje index lomu obrazového prostoru. Z (10.226) a (10.227) můžeme vyjádřit paprskovou aberaci
image761.png (10.228)
Podobně pro paprskovou aberaci ve směru x
image763.png (10.229)
Když jsme odvozovali Abbéův invariant, používali jsme první členy rozvojů goniometrických funkcí. Mocninné rozvoje sinové a kosinové funkce jsou
image765.png (10.230)
image767.png (10.231)
V paraxiální aproximaci jsme se omezili vždy na první člen příslušného rozvoje. Započítání členů vyšších řádů vede k odchylkám od dokonalého zobrazení, jejichž význam roste s rostoucím úhlem paprsků vůči optické ose. Tyto odchylky se nazývají vady zobrazení, aberace. Započítá-li se v teorii i druhý člen rozvoje (tj. člen v rozvoji sinu), nazývá se aberační teorií třetího řádu. Mluví se o Seidelových aberacích podle matematika Ludwiga von Seidela, který je studoval. Pro monochromatické světlo lze rozlišit pět aberací tohoto řádu: sférickou vadu, komu, astigmatismus, zklenutí obrazu a zkreslení obrazu, které se ovšem mohou v reálném případě projevovat současně. Navíc se projevují vady zobrazení spojené s různými vlnovými délkami ve světle, které vznikají díky závislosti parametrů zobrazovacích elementů na vlnové délce, tedy vady chromatické.

3.3.1 Monochromatické aberace


Obr. 10.33 K výpočtu sférické aberace

Vady zobrazení objasníme na příkladu zobrazení kulovou plochou. Na obr. 10.33 připomínáme geometrii při zobrazení lomem na kulovém rozhraní. Rozhraní je tvořeno kulovou plochou se středem C, indexy lomu prostředí jsou a . Uvažujme světelný paprsek vycházející z bodu P na ose z, který po lomu protíná osu v bodě P`, který je tedy obrazem bodu P. Pokud by šlo o dokonalé zobrazení, jak ho popisuje paraxiální geometrická optika, všechny paprsky vycházející z bodu P , by se protínaly v bodě P`, tedy sférická vlna vycházející z bodu P by se kulovou plochou transformovala na kulovou vlnu sbíhající se do bodu P`. Optické dráhy paprsků PQP` a POP` by tedy byly stejné. Při započítání vyšších členů (a ve skutečnosti) je délka optické dráhy závislá na poloze bodu Q na ploše. Můžeme tedy definovat aberaci a v bodě Q jako

image772.png (10.232)
kde index od znamená optickou dráhu. V tomto odstavci nebudeme výjimečně používat znaménkovou konvenci. Explicitně můžeme napsat
image774.png (10.233)
Použijeme-li kosinovou větu na trojúhelníky na obr. 10.33, můžeme vzdálenosti po paprsku vyjádřit
image776.png (10.234)
image778.png (10.235)
Rozvineme nyní kosinus , a vyjádříme přibližně . Pak můžeme (10.234), (10.235) přepsat
image784.png (10.236)
image786.png (10.237)
Nyní rozvineme druhé odmocniny, jako pro x :
image788.png (10.238)
Pokud podržíme členy s  h v nejvýše čtvrté mocnině, máme
image790.png (10.239)
image792.png (10.240)
Dosazením do (10.233) a po úpravě máme
image794.png (10.241)
Při úpravě jsme položili
image796.png (10.242)
podle (10.56), tj. podle Abbeovy rovnice pro paraxiální zobrazení. V rovnici (10.241) tak zůstanou jen členy . Získali jsme tedy vyjádření pro aberaci při zobrazení bodu ležícího na ose optické soustavy,
image800.png (10.243)
která se nazývá sférickou aberací (kulová vada).

Obr. 10.34 Mimoosové aberace

Podívejme se nyní, jaké vznikají aberace pro zobrazení bodů mimo osu. Uvažujme situaci podle obr. 10.34. Před kulovým rozhraním je umístěna clona, která vymezuje znázorněné paprsky. Ty vycházejí z bodu P ležícího mimo osu v rovině xy. Kdyby clona paprsky nevymezovala, byla by osou zobrazení bodu P přímka PCP ` . Analogicky jako výše může být aberace bodu Q vyjádřena

image802.png (10.244)
Bod Q neleží v rovině obrázku, jak je znázorněno na vloženém obrázku. Výsledek výpočtu aberací třetího řádu neovlivní (ovlivní vyšší řád aberací), budeme-li přibližně předpokládat, že body B, O, a Q leží v rovině kolmé k  OC. Použijeme-li rov. (10.243), kam dosadíme , je aberace rovna
image806.png (10.245)
Podle obrázku je dále aberace bodu O rovna
image808.png (10.246)
Pokud uvažujeme přímku OC za optickou osu, vztáhneme (mimoosovou) aberaci bodu Q vůči této ose, což můžeme vyjádřit jako rozdíl axiální aberace bodů Q (10.245) a O (10.246):
image810.png (10.247)
Podle kosinové věty platí
image812.png (10.248)
Dosazením do (10.247) můžeme vyjádřit aberaci a(Q) pouze pomocí , nebo, jak je obvyklé, pomocí vzdálenosti - viz obr. Podle podobnosti trojúhelníků na obrázku je zřejmě
image818.png (10.249)
Dosazením (10.249) a (10.248) do (10.247) máme

(10.250) Koeficienty zahrnují všechny konstantní faktory, jejich indexy označují mocniny . Jednotlivé členy vyjadřují pět aberací, které se po řadě nazývají : 1. sférická (kulová) vada , 2. astigmatismus, 3.zklenutí pole, 4. koma, 5. zkreslení obrazu. Vztah (10.250) ukazuje, nakolik se odlišuje reálná vlnoplocha od ideální sférické vlnoplochy (po započítání členů rozvoje goniometrických funkcí do třetího řádu). Jednotlivé aberace je možné názorně vyjádřit pomocí paprskových aberací. Souřadnice x,y v "rovině" sférické plochy (vyšetřovali jsme případ bodu předmětu v rovině yz) můžeme vyjádřit ,

image828.png (10.251)
Podle vztahů (10.251) dostáváme pro první člen (10.250) paprskovou sférickou aberaci
image830.png (10.252)
image832.png (10.253)
Paprsky, které procházejí lámavou plochou v určité kruhové zóně (poloměru r) tedy protínají rovinu paraxiálního obrazu v kružnici, jejíž poloměr je úměrný r3. Tato aberace nezávisí na vzdálenosti obrazu (předmětu) od optické osy, projevuje se tedy i pro zobrazení bodů na ose soustavy. Směr posunutí paprsků závisí na znaménku koeficientů. Například pro spojnou a rozptylnou čočku dochází k posunu opačnými směry. Lze tedy jejich kombinací sférickou aberaci potlačit (dublet). Pro jednu spojnou čočku lze vliv sférické aberace zmenšit vhodnou volbou jejího tvaru. například pro paprsky přicházející z nekonečna je z tohoto hlediska nejvhodnější ploskovypuklá čočka umístěná vypuklou plochou směrem k přicházejícímu světlu. Ukazuje se totiž, že pro zmenšení vlivu sférické aberace čočky je vhodné rozložit lom rovnoměrně mezi obě její plochy (je zde paralela s podmínkou minimální deviace optickém hranolu).

Člen, který charakterizuje komu (viz 4. člen (10.250)), opět silně závisí na poloměru zóny, kterou prochází paprsky, ale obsahuje také vzdálenost obrazu od optické osy a týká se tedy jen mimosových bodů. Paprskové aberace jsou rovny (po dosazení z (10.251))

image834.png (10.254)
image836.png (10.255)
čili
image838.png (10.256)
image840.png (10.257)

Obr. 10.35 Koma
Pro pevný bod obrazu ( ) a pro určitou kruhovou zónu (poloměru r) se při změně úhlu θ pohybuje průsečík paprsku po kružnici, jejíž poloměr je a jejíž střed je posunut vůči paraxiálnímu obrazu o (viz obr. 10.35). Různé zóny vytvářejí různé kružnice, které se překrývají a vzniká tak obraz podobný kometě, velikost obrazu roste se vzdáleností od osy. Všechny kružnice se dotýkají přímek, které svírají úhel 30O s kolmicí k optické ose (srov. obr. , arcsin 0.5 = 30O). Komu lze podobně jako sférickou vadu potlačit vhodnou volbou tvaru čočky. Čočky (optické soustavy), v nichž je potlačena sférická aberace a koma se nazývají aplanatické.

Další aberací je zkreslení obrazu (5. člen (10.250)). Paprsková aberace je

image848.png (10.257)
image850.png (10.258)
Průsečík paprsků nezávisí na θ ani na r, obraz je tedy ostrý (stigmatický). Je ale vidět, že vzdálenost obrazu od osy je úměrná třetí mocnině vzdálenosti paraxiálního obrazu (uvažovali jsme zde obrazový bod v rovině yz). Obraz je tedy zkreslen. Tato aberace se zpravidla předvádí na zobrazení čtvercové mřížky, která podle znaménka koeficientu má tvar podušky (poduškovité zkreslení, viz obr. 10.36) nebo sudu (soudkovité zkreslení).

Obr. 10.36 Poduškovité zkreslení obrazu
Druhý a třetí člen (10.250), které odpovídají astigmatismu a zklenutí pole, závisí oba na druhých mocninách h` a r, a proto spolu souvisí. Paprsková aberace je rovna
image852.png (10.259)
image854.png (10.260)
To znamená, že pro daný bod obrazu a zónu opisuje průsečík paprsku s rovinou paraxiálního obrazu elipsu. Pro různé zóny je osvětlení rovnoměrné, protože plocha elipsy je úměrná r2 , stejně jako plocha kruhu obsahujícího všechny zóny až do poloměru r. Uvažujeme-li paprsky, které vycházejí z bodu ležícího mimo osu (například v rovině yz) a šíří se v rovině yz (vějíř paprsků) a v rovině xz, viz obr. 10.37, mají oba vějíře paprsků různé ohnisko (astigmatismus). Někde mezi oběma ohnisky se nachází rovina, v níž je elipsa nejvíce podobná kruhu. Pro různé polohy bodu P se nacházejí ohniska pro oba vějíře paprsků na parabolických plochách, což je zklenutí pole.

Obr. 10.37 Astigmatismus. Paprsky procházející čočkou v rovině ss´ zobrazují mimosový bod do úsečky S, paprsky procházející čočkou v rovině tt´ obrazují mimosový bod do úsečky T, v prostoru mezi nimi je oblast "nejmenšího rozmazání" znázorněná na obrázku elipsou. Rovina tt´ obsahuje mimoosový bodový předmět a optickou osu, rovina ss´ je na ni kolmá.

3.3.2 Barevné vady zobrazení

Chromatické, tj. barevné vady zobrazení jsou způsobeny tím, že parametry optických zobrazovacích elementů závisí na vlnové délce světla. Typickým případem je závislost ohniskové dálky čočky díky disperzi indexu lomu materiálu, z něhož je vyrobena. Dochází tak k tomu, že poloha ohniskových bodů čočky se liší pro různé vlnové délky světla (viz obr. 10.38), při zobrazení se pak body obrazu různých barev zobrazí do bodů, které mají různé podélné (podélná chromatická vada) a příčné souřadnice (příčná chromatická vada).


Obr. 10.38 Chromatická aberace

Chromatickou vadu je možné minimalizovat v okolí jisté vlnové délky například kombinací dvou čoček - spojné a rozptylné - umístěných těsně za sebou (achromatický dublet), přičemž každá z čoček je vyrobena z materiálu odlišné disperze. Chromatická vada je ovšem vyloučena u optických přístrojů, v nichž se ke zobrazení používá zrcadel, jako například u zrcadlových teleskopů.

Pozn. 1 Lom světla vede k řadě zajímavých jevů, které můžeme pozorovat v přírodě. Například vznik duhy je možné vysvětlit lomem světla v kulových kapkách vody, jak je znázorněno na obr. 10.39. Na kulovou kapku s indexem lomu n dopadá paprsek pod úhlem dopadu α, částečně se odráží a láme pod úhlem lomu β. Při každém dalším dopadu na rozhraní voda-vzduch se opět odráží a láme. Vznikají tak paprsky, které se šíří od povrchu kapky pod úhly θN vůči směru dopadajícího paprsku. Zde N čísluje paprsky tak, že odpovídá prvnímu odraženému paprsku, lomenému paprsku po jednom odrazu uvnitř kapky, atd. Jak je vidět z geometrie znázorněné na obr. 10.39a, jsou úhly pro jednotlivé paprsky rovny . Pro různé úhly α (spojené se záměrnou výškou dopadajícího paprsku na povrch kapky) paprsku tak dostáváme různé úhly θN. Pro každé N ale existuje (minimální) úhel θNd , pod kterým je tato závislost nejméně výrazná, v tomto směru se šíří od kapky nejvíce paprsků, tedy maximální intenzita světla. Tento úhel odpovídá podmínce . Uvážíme-li dále zákon lomu pro rozhraní vzduch -voda, , tj. , dostáváme , tedy . Pro index lomu vody n=1,3324 dostáváme , , atd. Tyto úhly odpovídají úhlu pozorování (viz obr. 10.39b) primární duhy vůči směru šíření slunečních paprsků ( ), tj. 42O a sekundární duhy -51O. Známé rozložení barev v duze vzniká díky závislosti indexu lomu vody na vlnové délce. Pro přesnější rozložení intenzity světla při pozorování duhy je nutné započítat difrakci světla.


Obr. 10.39 Vznik duhy. a) Lom paprsku v kulové kapce. b) Vznik duhy 1. a 2. řádu.
OBRÁZEK 10.39b


Předchozí kapitola Předchozí podkapitola Obsah kapitoly Příklady Průvodce Následující podkapitola Následující kapitola