1.8 Šíření světla ve vodivém prostředí

Uvažujme nyní šíření elektromagnetické harmonické rovinné vlny ve vodivém homogenním izotropním prostředí. Dosadíme-li výraz pro pole v komplexním vyjádření (1.64) do rov. (1.13) a použijeme-li rov. (1.8), dostaneme vlnovou rovnici ve tvaru

(1.88)

V analogii k rov. (1.42) zavedeme komplexní vlnový vektor, jehož velikost je nyní dána komplexním číslem

(1.89)

(1.90)

Podobně můžeme zavést komplexní relativní permitivitu

(1.91)

respektive komplexní index lomu

(1.92)

vztahem

(1.93)

Zde jsme použili obvyklého označení pro reálnou část relativní permitivity,

. Vyjádříme-li monochromatickou rovinnou vlnu, která se šíří ve směru osy z, pomocí komplexního vlnového vektoru¹², můžeme do rov. (1.64) dosadit rov. (1.89)

(1.94)

Dostaneme tedy jakousi obdobu rovinné vlny, jejíž amplituda je při šíření v homogenním prostředí tlumena, tj. rovna

. Vyjádříme-li nyní intenzitu světla podle rov. (1.72) máme

(1.95)

což je známý Lambertův - Beerův zákon, který popisuje exponenciální tlumení intenzity vlny při šíření - absorpci¹³. Koeficient a je absorpční koeficient¹⁴. Ze vztahu (1.72) mezi intenzitou světla a velikostí elektrické intenzity je zřejmé, že

(1.96)

K absorpčnímu zákonu (1.95) se vrátíme ještě v kapitole 14 (vztah (14.50)), průběh intenzity světla daný tímto zákonem je znázorněn na obr. 14.4.

Velikost reálné a imaginární části vlnového vektoru můžeme vyjádřit explicitně. Výraz (1.90) lze psát (zde )

(1.97)

Umocněním rov. (1.89) a dosazením do rov. (1.97) máme

(1.98)

(1.99)

Po umocnění rov. (1.99) můžeme dosadit za

do rov. (1.98) a získat tak kvadratickou rovnici pro

(1.100)

Její řešení je

(1.101)

Z rov. (1.99) pak máme

(1.102)

"Běžný" index lomu, tj. reálná část komplexního indexu lomu, jak je vidět porovnáním vztahů (1.89) a (1.92) je roven

. Pomocí rov. (1.101) tedy můžeme explicitně psát

(1.103)

Pro bezztrátová (nevodivá) prostředí, tedy pro

, dostáváme z tohoto obecného vztahu obvykle používaný (1.16). Z rov. (1.96) a (1.102) můžeme vyjádřit absorpční koeficient. Velmi často je veličina

malá, takže lze s dobrou přesností aproximovat odmocninu

, což vede k obvykle užívanému výrazu pro absorpční koeficient

(1.104)

Pozn. 1 Permitivita v látkách je také funkcí frekvence elektromagnetické vlny. Této závislosti se říká disperze a látky se nazývají disperzními. Zde disperzi nebereme v úvahu. Pozn. 2 Skutečně, platí-li pro homogenní ohmický (tedy ) vodič rovnice kontinuity proudu, , a rov. (1.3), dostáváme pro hustotu náboje diferenciální rovnici , která má řešení odpovídající exponenciálnímu poklesu: . Pozn. 3 Je-li například vlna popsána funkcí , je plocha konstantní amplitudy dána rovnicí , vlnoplocha rovnicí . Vlny, pro něž si vlnoplochy a plochy konstantní amplitudy neodpovídají, se nazývají nehomogenní. Pozn. 4 Název "rovinné vlny" se obvykle užívá pro "homogenní rovinné vlny", které uvažujeme také zde. Pozn. 5 Ze vztahů (1.35, 1.36) plyne, že pro nulovou hodnotu elektrického pole E je nulová i hodnota magnetického pole B, tj. obě pole jsou v postupující elektromagnetické rovinné vlně ve fázi. Pozn. 6 Harmonickou vlnu lze ekvivalentně popsat jak funkcí sinus tak funkcí kosinus, které se liší jen fázovým posuvem. Dáváme zde přednost funkci cos. Pozn. 7 V této poznámce použijeme komplexní reprezentaci vln, jak bude zavedena v odstavci 1.5. V optice se často setkáváme se situací, kdy postupuje v určitém směru (osa z) vlna, která se málo liší od vlny rovinné. Lze ji popsat podobným výrazem, jako vlnu rovinnou, jen její komplexní amplituda je slabě modulována ve směru osy z (mění se málo amplituda i fáze). Její vlnoplochy jsou proto málo zakřiveny a světelné paprsky (definované v kapitole 10 jako normály k vlnoplochám, viz rov. (10.24) svírají malé úhly s osou z. Odpovídá to situaci paraxiálního přiblížení v geometrické optice (srov. odst. 10.2). Pro tento případ lze zjednodušit vlnovou rovnici pro komplexní amplitudy vln. Uvažujme vlnu , která splňuje Helmholtzovu vlnovou rovnici (1.43). Malé změny komplexní amplitudy ve směru osy z lze kvantifikovat tak, že relativní změna amplitudy (reálná i imaginární část) se mění málo na vzdálenosti λ. Tedy , resp. derivováním také . Dosazením pole do rov. (1.43) a uvážením dostaneme rovnici , což je takzvaný paraxiální tvar Helmholtzovy rovnice, který připomíná Schrödingerovu rovnici kvantové mechaniky. Řešením paraxiální Helmholtzovy rovnice jsou například gaussovské (tj. laserové) svazky o nichž se zmíníme podrobněji v kapitole 15. Pozn. 8 Frekvence se někdy vyjadřuje, zejména ve spektroskopii, pomocí vlnočtu: (zpravidla se vlnová délka dosazuje v cm, nejčastěji užívanou jednotkou vlnočtu je cm^-1). Pozn. 9 Je důležité si uvědomit velikosti právě zmíněných veličin pro světelné vlny. Například (ve vakuu, ) vlnové délce odpovídá , , , , . Pozn. 10 Intenzita světla závisí tedy nejen na velikosti amplitudy pole, ale i na indexu lomu prostředí, ve kterém se šíří. Intenzitu světla pro rovinnou vlnu můžeme vyjádřit také pomocí amplitudy magnetického pole, . Pozn. 11 Výpočet Laplaceova operátoru ve sféricky symetrickém případě: , , a konečně . Pozn. 12 Vlnový vektor míří ve směru osy z, má tedy jen z-ovou komponentu, která má reálnou a imaginární složku. Pozn. 13 Pokles intenzity světla je zde způsoben vodivostí, tedy z mikroskopického hlediska vodivostními (volnými) elektrony v kovech nebo polovodičích. K absorpci světla může ale docházet také v dielektrikách (izolantech), kde jsou jen vázané elektrony. O mikroskopickém modelu absorpce světla se zmíníme v kapitole 14. Tvar zákona (1.95) je však obecný. Pozn. 14 Někdy se místo absorpčního koeficientu užívá optická hustota vzorku, značená obvykle OD (z angl. optical density) definovaná vztahem . Porovnáním s (1.95) je zřejmé, že .