1.7 Kulové vlny
Dalším důležitým řešením vlnové rovnice jsou kulové vlny, tedy vlny, jejichž vlnoplochy jsou kulové a které vycházejí nebo se sbíhají do středu (například počátku souřadného systému) jak je znázorněno na obr. 1.6. Budeme tedy uvažovat vlnu popsanou skalární funkcí, která závisí na čase t a na vzdálenosti r od počátku (skalární sféricky symetrická vlna) :
Obr. 1.6 Kulová vlna
![image267.png](optika_01_soubory/image267.png) |
(1.75) |
Vzdálenost r je zřejmě rovna
![image269.png](optika_01_soubory/image269.png) |
(1.76) |
Laplaceův operátor ve vlnové rovnici lze vyjádřit11 pomocí derivace podle r (značíme ji čárkou)
![image271.png](optika_01_soubory/image271.png) |
(1.77) |
Pravou stranu této rovnice můžeme vyjádřit vhodně pomocí další sféricky symetrické funkce
![image273.png](optika_01_soubory/image273.png) |
(1.78) |
Skutečně,
![image275.png](optika_01_soubory/image275.png) |
(1.79) |
![image277.png](optika_01_soubory/image277.png) |
(1.80) |
Platí tedy
![image279.png](optika_01_soubory/image279.png) |
(1.81) |
Vlnovou rovnici
![image281.png](optika_01_soubory/image281.png) |
(1.82) |
můžeme tedy psát
![image283.png](optika_01_soubory/image283.png) |
(1.83) |
respektive po vynásobení r
![image285.png](optika_01_soubory/image285.png) |
(1.84) |
To je ovšem jednorozměrná vlnová rovnice (srov. rov. (1.17)) jejímž řešením je (srov. rov. (1.25))
![image287.png](optika_01_soubory/image287.png) |
(1.85) |
Podle rov. (1.78) dostáváme sférickou vlnu
![image289.png](optika_01_soubory/image289.png) |
(1.86) |
Pro harmonickou vlnu tak máme například
![image291.png](optika_01_soubory/image291.png) |
(1.87) |
Znaménko + odpovídá sbíhavé vlně (která se sbíhá do počátku), znaménko - vlně rozbíhavé. A je amplituda. Kulová vlna není dobře definována v bodě r = 0.
Neuvažovali jsme zde vektorový charakter pole, protože není dobře slučitelný s uvedenou sférickou symetrií. Neexistuje například lineárně polarizovaná vlna s konstantní amplitudou na celé kulové vlnoploše. V reálných případech se ale zabýváme kulovou vlnou jen v určitém prostorovém úhlu, ve kterém kulové zakřivení vlnoplochy a vektorová povaha pole nejsou ve sporu. Ve velkých vzdálenostech od bodového zdroje je možné kulovou vlnu aproximovat vlnou rovinnou. Příčně omezené je i světlo vycházející z plošných (nebo velmi vzdálených zdrojů), jehož vlnoplochy jsou rovinné. Hovoří se pak někdy o kvazirovinných vlnách, které je však možné v určité prostorové oblasti rovinnou vlnou dobře aproximovat. Složitější světlná pole je možné popsat superpozicí jednoduchých, například rovinných vln (rozvoj do rovinných vln).