1.5 Komplexní reprezentace

Pro popis vln popsaných harmonickými funkcemi je výhodné zavést komplexní reprezentaci polí. V optice jde zejména o elektrické pole. Zavedení komplexní reprezentace ukážeme názorně na příkladu rovinné monochromatické vlny

(1.59)

Vyjádříme-li

(1.60)

můžeme pro reálný vektor psát

(1.61)

Tento výraz můžeme přepsat

, (1.62) kde jsme zavedli komplexní amplitudu

(1.63)

Používáme-li lineární rovnice, tedy v případech, kdy platí princip superpozice, můžeme zřejmě elektrické pole rovinné vlny vyjádřit jako komplexní veličinu

(1.64)

Reálné pole pak získáme jako její reálnou část

(1.65)

Komplexní reprezentaci je tak možné výhodně využívat ve výpočtech a na konci vzít reálnou část. Není to však možné tam, kde jsou vztahy nelineární, tedy zejména při výpočtech energií nebo intenzit a v nelineární optice (kapitola 16). Komplexní amplituda světelné vlny je obecně vektorová veličina. Jejím jednotlivým kartézským komponentám odpovídají skalární komplexní amplitudy. Skalární komplexní amplitudy (stejně jako obecná komplexní čísla) můžeme znázornit graficky v komplexní (Gaussově) rovině. Komplexnímu číslu s určitou reálnou a imaginární částí bude v této rovině odpovídat bod, jehož x-ová souřadnice je rovna reálné části komplexního čísla a y-ová souřadnice rovna imaginární části komplexního čísla. Součet komplexních čísel je tvořen součtem jejich reálných a imaginárních částí. Při grafickém znázornění to znamená, že se sčítají x-ové a y-ové souřadnice. Je proto výhodné znázornit komplexní číslo vektorem s počátečním bodem v počátku a koncovým bodem v bodě, který odpovídá danému komplexnímu číslu. Znamená to, že vektor komplexní amplitudy má v komplexní rovině komponenty

. Je zřejmé, že součet komplexních čísel odpovídá vektorovému součtu vektorů, kterými jsou znázorněny. Skalární komplexní amplitudu proto můžeme znázornit jako na obr. 1.5, velikost vektoru odpovídá modulu komplexní amplitudy E₀ , jeho úhel vůči ose

odpovídá argumentu komplexní amplitudy a je roven

. Skládá-li se v určitém místě více vlnění stejné frekvence, která lze popsat skalárními komplexními amplitudami

, je komplexní amplituda výsledné vlny

(1.66)

což odpovídá vektorovému součtu komplexních amplitud jednotlivých vlnění. Tato grafická metoda je velmi přehledná a užívá se například v teorii difrakce.

Obr. 1.5 Grafické znázornění komplexního čísla (komplexní amplitudy)