2.3.1 Pohybová rovnice pro pohyb hmotného bodu v tíhovém poli

Silové pole v okolí Země, omezíme-li se na prostor s délkovými rozměry malými oproti poloměru Země, lze vystihnout výrazem (2,5) . Dosadíme-li sílu za do druhého Newtonova zákona (2,1) , dostaneme pohybovou rovnici

pro pohyb hmotného bodu o hmotnosti m   v tíhovém poli (2,5) . Tíhové zrychlení je konstantní vektor, do jeho směru položíme třetí osu kartézské souřadnicové soustavy. Kladný smysl osy zvolíme opačně, než je kladný smysl vektoru ; osa míří tedy svisle vzhůru. Osy a leží ve vodorovné rovině a jejich směry nemusíme blíže určovat. Rovnice (2,7) rozepíšeme do složek v takto zvolené souřadnicové soustavě, dostaneme

neboť síla ve zvolené souřadnicové soustavě má složky . Řešením, tj. integrací rovnic (2,8) , získáme hledané parametrické rovnice pohybu hmotného bodu;

V rovnicích (2,9) jsou libovolné konstanty. Všechna řešení rovnic (2,8) lze zapsat ve tvaru (2,5) , a tedy rovnice (2,9) popisují jakýkoliv pohyb , který hmotný bod může v silovém poli (2,5) konat. Předpokládáme samozřejmě , že na hmotný bod nepůsobí jiná síla než síla (2,5) , tedy ani žádná vazbová síla, která by jej např. mohla udržovat na nakloněné rovině.

Rovnice (2,9) jsou obecné rovnice vrhů . Konstanty jsou souřadnicemi bodu D , ve kterém se hmotný bod nachází v čase , jak snadno zjistíme, dosadíme-li čas do rovnic (2,9) . Derivujeme-li každou z rovnic (2,9) dle času t   a do derivovaných rovnic dosadíme čas , zjistíme, že konstanty jsou složkami vektoru rychlosti , kterou má hmotný bod v čase . Známe-li tedy polohu hmotného bodu D a jeho rychlost v čase , je pohyb hmotného bodu rovnicemi (2,9) jednoznačně určen. Polohu hmotného bodu a jeho rychlost v čase nazýváme počátečními podmínkami pohybu. Zvolíme-li např. , dostáváme z rovnic (2,9) rovnici volného pádu , která je shodná s rovnicí (2,4) , uvědomíme-li si opačnou orientaci osy v rovnicích (2,4) a (2,9) . Zvolíme-li např. , , dostáváme podle znaménka konstanty buď vrh svislý vzhůru nebo vrh svislý dolů. Volba odpovídá vodorovným vrhům. Konkrétní volbou a je určen směr vodorovného vrhu. Volba , , odpovídá šikmým vrhům. Pro všechny dosud uváděné vrhy jsme volili , tj. v čase polohu bodu v počátku souřadnicové soustavy. Volba nenulových hodnot umožňuje vyšetřovat pohyby bodů, které v čase se nenacházejí v počátku soustavy souřadnic, což je zvláště důležité pro vyšetřování vzájemných pohybů dvou a více hmotných bodů pohybujících se v daném silovém poli.

zavři

2.3.2 Pohybová rovnice v poli síly úměrné výchylce

Jako druhý příklad na řešení pohybové rovnice budeme hledat , jak se pohybuje hmotný bod vázaný na přímku, na nějž působí síla úměrná výchylce mířící proti výchylce. Přesněji síla, která míří k jednomu bodu přímky a jejíž velikost roste úměrně se vzdáleností od tohoto bodu. Zvolíme-li ve směru přímky souřadnici  x s počátkem v bodě, ke kterému míří síla, můžeme pro působící sílu napsat vyjádření , kde konstanta k je  kladná; k>0.

Pohybová rovnice pro pohyb hmotného bodu hmotnosti m   v tomto silovém poli má tvar

Je to rovnice, jejímž řešením máme určit neznámou funkci . Jelikož se v této rovnici kromě neznámé funkce vyskytují i její derivace (zde druhá derivace ), mluvíme o diferenciální rovnici. Funkce, která splňuje rovnici (2,10) , musí mít tu vlastnost, že její druhá derivace je až na jistou konstantu rovna záporně vzaté funkci samotné. Tuto vlastnost mají harmonické funkce . Položíme-li , dostaneme a po dosazení těchto výrazů do rovnice (2,10) dostaneme

Rovnici (2,11) můžeme splnit pro všechna t, položíme-li

Tedy funkce , když , je řešením rovnice (2,10) . Stejným postupem lze zjistit, že i funkce s je řešením rovnice (2,10) . Řešením je i každá funkce a a též součet těchto funkcí

kde jsou libovolné konstanty. O tom , že funkce (2,13) je řešením rovnice (2,10) se lze přesvědčit, dosadíme-li ji do rovnice (2,10) , kde samozřejmě na levé straně dosazujeme druhou derivaci funkce (2,13) .

Z teorie diferenciálních rovnic (např. [24] kap.17) plyne, že obecné řešení rovnice typu (2,10) dostaneme, najdeme-li její dvě lineárně nezávislá řešení

a vytvoříme jejich lineární kombinaci. Funkce jsou dvě lineárně nezávislá řešení (nelze najít konstantu C   takovou, aby pro všechna t   platilo ) rovnice (2,10) a výraz (2,13) je jejich lineární kombinací, tedy funkce (2,13) je obecným řešením rovnice (2,10) . Obecné řešení diferenciální rovnice je takové řešení, v jehož tvaru lze zapsat všechna její řešení. Tedy neexistuje žádné řešení rovnice (2,10) , které by nebylo možné zapsat v tvaru (2,13) . Zde je však třeba upozornit, že funkci (2,13) je možno též psát v ekvivalentním tvaru (viz rovnice (1,25) , (1,29) a (1,30) )

Řešením pohybové rovnice (2,10) jsme zjistili, že hmotný bod vázaný na přímku, na nějž působí síla, jejíž velikost je úměrná vzdálenosti od jistého bodu a která míří z obou stran k tomuto bodu, koná harmonický kmit s rovnovážnou polohou v bodě, ke kterému síla míří. Konstanty A, a   v rovnici (2,14) , resp.   v rovnici (2,13) lze určit z počátečních podmínek pohybu, tj. obvykle z výchylky a rychlosti hmotného bodu v čase . Frekvence kmitů je dána výrazem (2,12) , tedy závisí na hmotnosti  m   hmotného bodu a na tom, jak prudce vzrůstá velikost síly F   se vzdáleností od rovnovážné polohy. Je-li síla  F   realizována pružinou, odpovídá konstanta  k   tuhosti pružiny.

Výsledek získaný řešením rovnice (2,10) bylo možno očekávat, když jsme v čl. 2.2 zjistili, že harmonický pohyb (harmonický kmit) způsobuje síla mířící do rovnovážné polohy, jejíž velikost je úměrná výchylce bodu z rovnovážné polohy. Ovšem, zjistíme-li sílu, která působí na bod konající daný pohyb, nemůžeme ještě nic říci o tom, zda za působení stejné síly nemůže vzniknout i jiný druh pohybu. Teprve řešení (2,13) pohybové rovnice (2,10) , víme-li dle citované matematické věty, že je to řešení obecné, nám umožňuje vyslovit tvrzení:

zavři

Numerické řešení pohybových rovnic
Při numerickém řešení pohybové rovnice hmotného bodu obvykle vycházíme z počátečních podmínek pohybu a sledujeme, jak se pohyb v následujícím čase působením sil vyvíjí. Pohybovou rovnici (2,1) přepíšeme do tvaru

a rovnici převedeme na diferenciální tvar

Vztah mezi proměnnými diferenciály nahradíme vztahem mezi konečnými přírůstky (diferencemi) Dt času a rychlostí

Diferenciální rovnici nahradíme diferenční rovnicí. Zvolíme obvykle konstantní velikost přírůstku Dt   (časový krok) a sledujeme, jak se rychlost za tento časový krok vlivem zrychlení změní. Pro i-tý  krok numerické aproximace. tak dostaneme rovnici

V této rovnici značí polohový vektor bodu, v kterém se hmotný bod (hmotnost m) dle provedené aproximace má nacházet po proběhnutí i   časových kroků, , resp. je zrychlení, resp. síla, působící v tomto bodu. Rychlost je rychlost přímočarého rovnoměrného pohybu, kterým aproximujeme pohyb hmotného bodu v kroku, jímž dospěje do bodu , rychlostí tento bod opouští. Pro polohový vektor aproximované polohy hmotného bodu po (i+1). kroku tak dostáváme vyjádření

Diferenci polohy

počítáme z diferenční rov-nice (2,34) . Postup je ilu-strován na připojeném ná-črtku.

Rovnice (2,33) a (2,34) , resp. (2,35) nám umožní po  n  krocích najít přibližnou polohu hmotného bodu , když známe jeho polohu a rychlost v čase , tedy když známe počáteční podmínky jeho pohybu, a když pro každý krok známe sílu , která v daném místě v daný okamžik působí.

Postupujeme tak, že ze známé rychlosti v předchozím kroku a známé síly v místě zlomu kroků určíme dle rovnice (2,33) rychlost následujícího kroku;

Tuto rychlost dosadíme do rovnice (2,34) , pomocí které najdeme předpokládanou polohu hmotného bodu po následujícím kroku. Uvedeným rekurentním postupem najdeme po n   krocích (2n   operacích) polohu hmotného bodu v čase , vyjdeme-li z počátečních podmínek pohybu.

Právě popsaný postup je třeba poněkud modifikovat pro první krok, tj. pro získání předpokládané rychlosti hmotného bodu v prvním kroku z počáteční rychlosti . Počáteční rychlost je přiřazena času a je tedy různá od rychlosti , přiřazené k času , z které by se dle výše uvedeného schématu měla rychlost počítat. Rovnici (2,36) upravíme pro první krok následovně

zmenšíme krok na polovinu a předpokládanou lineární změnu rychlosti mezi počátkem a polovinou prvního kroku vypočteme podle hodnoty zrychlení

ve čtvrtině prvního kroku. Nelze-li tuto hodnotu ani přibližně určit, necháme původní schéma a nahradíme v něm pro první krok hodnotu hodnotou , kvalita aproximace se tím však ztrácí.

V dodatku D.4 je proveden výpočet konkrétního pohybu hmotného bodu dle právě uvedeného schématu pro případ pohybu hmotného bodu v poli elastické síly, tedy případ, který byl obecně analyticky řešen v stati 2.1.2. Proto je možno provést i porovnání přibližného numerického řešení s řešením analytickým. Je schválně volen poměrně velký krok, aby odchylky byly zřetelné. Moderní výpočetní technika (snadno dostupné vysoce výkonné počítače) umožňuje provést výpočty s obrovským počtem velmi malých kroků, jejichž výsledky jsou v jednodušších případech od analytických téměř nerozlišitelné.

Numerické řešení je důležité v těch případech, kde analytické řešení neexistuje. Jeho důležitost tkví v tom, že v aplikacích existence analytického řešení je spíše výjimkou. Proto dnes snadno dostupné velmi přesné numerické (hovorově zvané počítačové) řešení pohybových rovnic nabývá stále větší důležitosti. Důležitost počítačového řešení se netýká jen pohybových rovnic, ale velké třídy obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic vyskytujících se ve fyzice. Z velkého množství literatury týkající se této problematiky uvádím např. [31], [32], [33], [34], [41]. V těchto knihách je možno najít, jaké problémy jsou s numerickým řešením rovnic spojeny a jaké postupy řešení se ve skutečnosti volí a jak se liší od elementárního postupu ukázaného zde.

zavři