---

---

2.4 Neinerciální soustavy souřadné, zdánlivé síly

Rozborem Newtonových zákonů jsme ukázali, že rovnice

(2,1)

vystihující obsah druhého Newtonova zákona platí pouze v  inerciální soustavě souřadné Zrychlení je zrychlením vůči inerciální soustavě souřadné a jakožto veličinu úměrnou tomuto zrychlení jsme zavedli sílu (viz stať 2.1.2). Druhým Newtonovým zákonem jsme tedy zavedli sílu jakožto veličinu úměrnou zrychlení hmotného bodu vůči inerciální soustavě souřadné. Takové síle budeme říkat síla pravá.

Vyšetřujeme-li pohyb hmotného bodu vůči neinerciální soustavě souřadné takovou soustavou je přísně vzato i soustava spjatá s naší Zemí ,máme dvě možnosti:

1) Vyšetřování provést v inerciální soustavě souřadné, tj. v soustavě souřadné spjaté se stálicemi a výsledky převést (transformovat) do uvažované neinerciální soustavy.

2) Formálně zachovat tvar rovnice (2,1) a přidat síly, které vykompenzují zrychlený pohyb neinerciální soustavy souřadné vůči soustavě inerciální.

První postup je pojmově bezproblémový, pracujeme pouze se standardně dle Newtonových zákonů zavedenými silami, bývá však velmi pracný. Druhý postup bývá početně jednodušší, ale vyžaduje zavedení veličin, které kompenzují zrychlený pohyb neinerciální soustavy vůči soustavě inerciální. Tyto veličiny zavedeme do rovnice

(2,1´)

jako "síly", které vysvětlují rozdíl mezi zrychlením hmotného bodu vůči neinerciální soustavě souřadné a jeho zrychlením vůči inerciální soustavě souřadné. Vůči inerciální soustavě souřadné by takové síly nevyvolávaly žádné zrychlení a nejsou tedy dle definice síly uvedené ve stati 2.1.2 žádnými silami. Nazýváme je proto zdánlivé síly. Jejich původ není možno vysvětlit fyzikálně (např. jako vliv jiných těles obklopujících vyšetřovaný hmotný bod), jsou zavedeny pouze proto, abychom mohli i v neinerciální soustavě souřadné užít rovnici (2,1´) , která má stejný tvar jako rovnice (2,1) druhého Newtonova zákona. V rovnici (2,1´) zdánlivé síly spolu se silami pravými vytvářejí veličinu , která určuje zrychlení hmotného bodu o hmotnosti m   vůči neinerciální soustavě souřadné;

(2,15)

V rovnici (2,15) je označen součet pravých sil a součet zdánlivých sil působících na hmotný bod.

Rovnice (2,15) je základní rovnicí pro výpočet pohybu hmotných bodů vůči neinerciální soustavě souřadné. Má tvar rovnice (2,1) , při její aplikaci však musíme k pravým silám přidat síly zdánlivé. Ty kompenzují zrychlený pohyb neinerciální soustavy souřadné vůči inerciální soustavě a mají tak pro různé neinerciální soustavy různý tvar. Rovnici (2,15) , která je formálně shodná s rovnicí (2,1) , užíváme v neinerciální soustavě souřadné shodným způsobem jako rovnici (2,1) v soustavě inerciální. Ze zjištěného zrychlení hmotného bodu vůči neinerciální soustavě můžeme určit veličinu , která toto zrychlení vysvětluje. Tato veličina je součtem pravých i zdánlivých sil, nemůže tedy sloužit k definici sil pravých, přesto ji často dle jejího fyzikálního rozměru označujeme jako sílu. Známe-li sílu , můžeme řešením rovnice (2,15) najít pohyby, které v tomto silovém poli vznikají. Formálně postupujeme zcela stejně jako při řešení rovnice (2,1) v inerciální soustavě souřadné, a proto rovnici (2,15) také označujeme jako pohybovou rovnici. Je to pohybová rovnice pro pohyb hmotného bodu vůči neinerciální soustavě souřadné.

Vzhledem k tomu, že velikost zdánlivých sil závisí na vzájemném pohybu vztažných soustav, uvedeme tvary zdánlivých sil pro případ, kdy neinerciální soustava se vůči soustavě inerciální pohybuje se stálým zrychlením, a kdy se vůči inerciální soustavě otáčí stálou rychlostí. V prvém případě nazýváme zdánlivou sílu silou setrvačnou, v druhém jsou zdánlivé síly dvě: síla setrvačná a síla Coriolisova. Zvláštním případem rotující soustavy je i naše Země.

2.4.1 Neinerciální soustava pohybující se vůči inerciální se stálým zrychlením

Mějme dvě soustavy souřadné, z nichž jedna se vůči druhé pohybuje se zrychlením , tedy situaci znázorněnou na obr.6, který zde překreslujeme. Budeme předpokládat, že soustava I je inerciální a bod A se vůči ní pohybuje s konstantní rychlostí , neboli koná vůči soustavě I rovnoměrný přímočarý pohyb. Soustava II se pohybuje vůči inerciální soustavě I zrychleným pohybem s nenulovým konstantním zrychlením , a tedy soustava II je neinerciální. Předpoklad o konstantním vzájemném zrychlení soustav znamená, že soustavy se vůči sobě neotáčí.

Pohyb bodu A vůči neinerciální soustavě II je pohybem s konstantním zrychlením . Jelikož hmotný bod A koná vůči inerciální soustavě souřadné rovnoměrný přímočarý pohyb, žádná pravá síla na něj nepůsobí. Zrychlený pohyb se zrychlením hmotného bodu A o hmotnosti  m   vůči neinerciální soustavě souřadné II vysvětlíme zavedením zdánlivé síly . Síla kompenzuje zrychlený pohyb, který koná soustava II vůči inerciální soustavě I. Pohybová rovnice (2,15) pro pohyb hmotného bodu vůči soustavě II má vzhledem k tomu, že žádná pravá síla nepůsobí, tvar

.

Protože předpokládáme, že zrychlení , a tedy i setrvačná síla jsou konstantní, je pohybová rovnice formálně shodná s rovnicí (2,7) . Hmotný bod se vůči neinerciální soustavě souřadné II pohybuje s konstantním zrychlením , koná tedy vůči ní vrhy , v kterých tíhové zrychlení je nahrazeno zrychlením .

Když obě uvažované soustavy souřadné I a II vložíme do tíhového silového pole (2,5) , začne na hmotný bod působit pravá síla tíha hmotného bodu . Hmotný bod pak vůči inerciální soustavě souřadné I koná pohyb odpovídající pohybové rovnici (2,7) , tedy některý z vrhů. Pohybová rovnice pro pohyb hmotného bodu vůči neinerciální soustavě souřadné má nyní tvar

,

(2,16)

neboli po rozepsání výrazů pro , . Znovu na levé straně rovnice je konstantní vektor, a tedy i v tomto případě bude hmotný bod vůči neinerciální soustavě II konat vrhy . Tentokrát v těchto zobecněných vrzích bude tíhové zrychlení nahrazeno zrychlením . Hmotný bod se bude vůči neinerciální soustavě souřadné II pohybovat po parabolické dráze, kde osa paraboly bude ležet ve směru daném vektorem a její orientace bude shodné s orientací tohoto vektoru.

2.4.2 Soustava otáčející se vůči inerciální s konstantní úhlovou rychlostí

Podobně jako v předcházejícím případě budeme i zde hledat zdánlivé síly, které umožní sestavit pohybovou rovnici (2,15) . Nyní však úloha bude po formální stránce podstatně obtížnější.

Předpokládáme, že souřadná soustava  II  se otáčí stálou úhlovou rychlostí  w   vůči inerciální soustavě souřadné I. Soustava souřadná II je tedy neinerciální. Kartézské souřadnicové soustavy zavedeme tak, že jejich počátky a třetí osy budou splývat. Třetí osy leží v ose otáčení. Transformační rovnice pro vztah mezi souřadnicemi libovolného bodu v inerciální soustavě I a souřadnicemi téhož bodu v neinerciální soustavě  II  budou pak dány rovnicemi

,

(2,17)

jak lze vyčíst použitím jednoduchých trigonometrických vztahů z obr.7. Obr.7 je pohledem proti kladném smyslu (kladné orientaci) os .

Předpokládáme, že v čase obě souřadnicové soustavy splývají. Trans-formační rovnice (2,17) platí nejen pro souřadnice bodů, ale i pro složky libo-volného vektoru . Má-li tento vektor v soustavě I složky , jsou složky téhož vektoru v soustavě II dány výrazy

(2,17´)

Mějme nyní hmotný bod, jehož pohyb vůči inerciální soustavě souřadné I je dán parametrickými rovnicemi

.

Parametrické rovnice pohybu tohoto bodu vůči neinerciální soustavě II přímým dosazením parametrických rovnic do transformačních rovnic (2,17) ;

.

(2,18)

Složky vektoru rychlosti bodu vůči neinerciální soustavě II získáme derivací právě uvedených rovnic; . Provedeme naznačené derivace a rovnice rozepíšeme:

.

Uvědomíme-li si, že dle (2,18) SETEQS2('knihI22do_soubory/eq0036M.gif','knihI22do_soubory/eq0037M.gif','',',
',',','1','0.3); můžeme výrazy pro složky vektoru přepsat na tvar

.

(2,19)

Pro zrychlení bodu vůči neinerciální soustavě II pak derivací posledních rovnic dostáváme:

.

Výrazy pro zrychlení dále upravíme použitím vztahů

,

které plynou z (2,19) na tvar

.

(2,20)

V rovnicích (2,20) jsme složky zrychlení hmotného bodu vůči inerciální soustavě souřadné  I  označili a složky rychlosti hmotného bodu vůči neinerciální soustavě souřadné  II . Vynásobíme-li rovnice (2,20) hmotností m hmotného bodu, dostaneme pro složky síly , pomocí které vysvětlíme pohyb hmotného bodu vůči neinerciální soustavě souřadné  II, vyjádření

.

(2,21)

V rovnici (2,21) jsou složky výsledné pravé síly (tj. součtu všech sil fyzikálního charakteru), která působí na hmotný bod. Zrychlení je zrychlení vůči inerciální soustavě souřadné I. První část rovnic (2,21) představuje prostou geometrickou transformaci složek pravé síly do neinerciální soustavy souřadné II dle transformačních rovnic (2,17´) . Kdyby žádná pravá síla na hmotný bod nepůsobila (vůči inerciální soustavě souřadné by se hmotný bod pohyboval rovnoměrně přímočaře nebo by vůči ní byl v klidu), byly by nulové i její složky

v neinerciální soustavě souřadné. Výrazy 

a

jsou složkami dvou zdánlivých sil  , které musíme přidat k pravé síle, abychom vysvětlili pohyb hmotného bodu vůči neinerciální soustavě souřadné II, chceme-li v této soustavě zachovat platnost rovnice formálně shodné s rovnicí (2,1)

.

(2,22)

V rovnici (2,22) pro pohyb hmotného bodu v soustavě souřadné, která se otáčí konstantní rychlostí vůči inerciální soustavě souřadné, se tedy síla  skládá z pravé síly  a dvou zdánlivých sil  a  ;

.

(2,23)

Síla  se nazývá silou Coriolisovou a síla silou odstředivou.

Síla Coriolisova a síla odstředivá jsou dvě zdánlivé síly, které je třeba přidat k silám pravým, aby v neinerciální soustavě souřadné, která se vůči inerciální soustavě souřadné otáčí konstantní úhlovou rychlostí  w , bylo možno užívat pohybovou rovnici v tvaru .

Síla odstředivá působí na všechny hmotné body neinerciální soustavy II kromě těch, které leží na ose otáčení . Vektor síly leží v kolmici vedené z působiště síly na osu otáčení a je orientován (míří) směrem od osy. Říkáme, že odstředivá síla je radiální. Její velikost je

,

kde R  je vzdálenost působiště síly od osy otáčení. Velikost odstředivé síly je shodná s velikostí dostředivé síly (2,3) . Tím však analogie mezi oběma silami končí. Dostředivá síla je síla, která působí na hmotný bod, který koná rovnoměrný kruhový pohyb. Odstředivá síla je zdánlivá síla, která působí v neinerciální soustavě souřadné, která se rovnoměrně otáčí vůči inerciální soustavě souřadné.

Coriolisova síla působí pouze na hmotné body, které se vůči neinerciální soustavě II pohybují nenulovou rychlostí , jejíž směr není shodný se směrem osy otáčení (alespoň jedna ze složek vektoru rychlosti je nenulová). Výraz pro Coriolisovu sílu je možno zapsat ve tvaru vektorového součinu

,

(2,24)

kde vektorem úhlové rychlosti rozumíme vektor, jehož velikost je rovna velikosti úhlové rychlosti otáčení  w , směr je směrem osy otáčení a orientace je taková, že při pohledu v jejím smyslu se otáčení soustavy II vůči soustavě I děje ve smyslu oběhu hodinových ručiček. V souřadnicové soustavě II i I bude mít vektor složky . Vypočteme-li podle pravidel o vektorovém násobení složky vektoru (2,24) , zjistíme, že

ve shodě s původním zavedením Coriolisovy síly.

2.4.3 Země slabě neinerciální soustava souřadná

Sledujeme-li podrobně pohyby hmotných bodů vůči Zemi, zjistíme, že je lze přesně vysvětlit, jen když k pravým silám (gravitace, odporové síly, elektrické síly apod.) přidáme sílu Coriolisovu a odstředivou s hodnotou úhlové rychlosti w   rovnou rychlosti otáčení Země vůči stálicím. Případ početně rozebraný v předcházející stati dostaneme přesně, když soustavu souřadnou spjatou se Zemí volíme tak, že třetí osa má směr zemské rotační osy, její kladný smysl míří k severu a velikost úhlové rychlosti volíme rovnu rychlosti otáčení Země vůči stálicím, tj. .

Skutečnost, že pohyby hmotných bodů na povrchu Země lze vysvětlit, předpokládáme-li, že Země se otáčí úhlovou rychlostí vůči inerciální soustavě souřadné, je hlavním důvodem, proč soustavu souřadnou spjatou se stálicemi považujeme za soustavu inerciální. Soustava spjatá se Zemí je tedy zřejmě neinerciální. Velikost úhlové rychlosti je malá, a proto i hodnoty Coriolisovy a odstředivé síly pro pohyby v soustavě souřadné spjaté se Zemí jsou malé. To znamená jednak, že při vyšetřování většiny běžných pohybů na Zemi lze tyto síly zanedbat, za druhé však, že experimentální ověření jejich vlivu na pohyby hmotných bodů vůči Zemi není snadné.

Nejprůkaznějším pokusem, který ukazuje, že soustava souřadná spjatá se Zemí je neinerciální, je pokus s   Foucoultovým kyvadlem. Foucoultovo kyvadlo je těžká koule zavěšená na dlouhém závěsu, kterou necháme kývat s poměrně velkou amplitudou. Ukazuje se, že rovina kyvu takového kyvadla se vůči podlaze, tj. soustavě souřadné spjaté se Zemí, otáčí úhlovou rychlostí

,

(2,25)

kde  j   je zeměpisná šířka místa, v kterém pokus provádíme. Pro názor nejjednodušší (experimentálně ne) je provádět pokus na zemském pólu. Potom , rovina kyvu vůči podlaze se otáčí opačnou úhlovou než s jakou se otáčí Země vůči stálicím, a tedy zřejmě kyvadlo zachovává rovinu kyvu vůči stálicím a ne vůči Zemi. Kyvadlo zachovává rovinu kyvu v inerciální soustavě, a tedy soustava spjatá se stálicemi je inerciální a soustava spjatá se Zemí neinerciální.

Násobení výrazem v rovnici (2,25) odpovídá tomu, že soustava souřadná, která má osy a ve vodorovné rovině (podlaze) v místě na Zemi různém od pólů, není soustavou s třetí osou v ose rotace Země, jaká je uvažována na začátku této stati. Proto také, provedeme-li pokus s Foucoultovým kyvadlem např. v Praze ( ), doba, za kterou rovina kyvu kyvadla oběhne jednou dokola není přibližně 24 hodin jako na pólu, ale je delší, činí přibližně 31 hodin. Na rovníku se pokus nedá uskutečnit.

Původní pokus konal Foucoult roku 1851 v pařížském Pantheonu s koulí hmotnosti 30 kg, kterou měl zavěšenu na závěsu délky 67 m. Relativní přesnost měření úhlové rychlosti otáčení roviny kyvu byla přibližně  0,5%. Pokus byl později mnohokrát opakován. Je např. instalován v budově OSN v New Yorku. Dlouhý závěs a těžká koule jsou při Foucoultově pokusu voleny pro omezení vnějších náhodných vlivů působících na kyvadlo. S menší koulí a kratším závěsem je měřitelné stáčení roviny kyvu Foucoultova kyvadla během 10 minut ukazováno při přednáškách na naší Matematicko-fyzikální fakultě KU.

Výklad pohybu Foucoultova kyvadla jsme provedli tak, že jsme pohyb vysvětlili jako jednoduché kývání se zachovanou rovinou kyvu v soustavě souřadné spjaté se stálicemi. Tedy převedením do inerciální soustavy, tj.způsobem označeným  1)  v úvodu čl. 2.4. Kdybychom užili způsobu tam označeného  2), museli bychom stáčení roviny kyvu v neinerciální soustavě souřadné spjaté se Zemí vysvětlit zdánlivou silou působící na hmotný bod kolmo k rovině kyvu. Touto silou je síla Coriolisova. Při kývání se hmotný bod pohybuje nenulovou rychlostí a Coriolisova síla na něj zřejmě působí. Při pohybu Foucoultova kyvadla však její vliv je tak malý, že ho nepozorujeme jako zřetelné zakřivení roviny kyvu (přesněji plochy kyvu) v průběhu jednoho kyvu, ale pouze jako zřetelné stáčení roviny kyvadla za dobu několika kmitů. Provedeme-li však pokus tak, že kyvadlo umístíme na otáčející se točnu, bude vliv nyní velké Coriolisovy síly naprosto zřetelný. Plochy kyvu se silně zkřiví a průmět koncového bodu kyvadla na rovinu kolmou k ose otáčení vykreslí pěknou kytičku. Při tomto pokusu pokládáme soustavu souřadnou spjatou se Zemí za inerciální (zanedbáme její výše vyšetřovanou slabou neinercionálnost) a vykreslení kytičky zprostředkujeme barevnou kapalinou vytékající z kyvadla.

Odstředivá síla se nejzřetelněji projeví závislostí hodnoty tíhového zrychlení g  na zeměpisné šířce místa, kde jej sledujeme. Velikost místního tíhového zrychlení vzrůstá od rovníku k pólu, přičemž rozdíl hodnot činí asi  0,5% hodnoty g. Tento rozdíl je zanedbatelný jen při hrubých měřeních. Tíha (váha) tělesa závisí na místě, kde ji zjišťujeme. Proto je nyní na zboží vždy udávána jeho hmotnost a ne váha. Pro přepočet jednotek dříve užívané technické soustavy jednotek, kde základní jednotkou byl kilopond, tj. síla, kterou je hmotnost jednoho kilogramu přitahována k Zemi, na jednotky SI (srovnej dodatek D.2) se užívá standardní hodnota tíhového zrychlení nazývaná normální zrychlení volného pádu (též normální tíhové zrychlení)

Podstatný vliv na změny tíhového zrychlení se zeměpisnou šířkou místa, kde jej sledujeme, má odstředivá síla, tj. zdánlivá síla vysvětlující pohyby vůči soustavě souřadné spjaté se Zemí, která je neinerciální souřadnou soustavou. Abychom tento vliv vysvětlili, budeme uvažovat hmotný bod, který je v klidu vůči Zemi a na nějž působí z pravých sil pouze gravitační síla . Kromě gravitační síly, která je vyvolána působením hmotnosti Země, působí na takový hmotný bod, když jej sledujeme ze Země, ještě zdánlivá síla síla odstředivá . Tyto síly spolu s výslednou silou

(2,26)

působící na hmotný bod  m, který se nachází v místě o zeměpisné šířce j , jsou znázorněny na obr.8. Výsledná síla , která působí na hmotný bod, odpovídá jeho tíze v daném místě, . Síla je síla působící na hmotný bod dle všeobecného gravitačního záko-na (4,1) ; , kde jsme označili zrychlení bodu způsobené hmotností Země. Odstředivá síla způsobená rotací Země vůči inerciální soustavě souřadná je a pro její velikost dostáváme:

V posledních rovnicích jsme uži-li označení pro odstředivé zrychlení a pro poloměr Země. Z rovnice (2,26) plyne vztah mezi zrychleními

,

(2,27)

která odpovídají silám , a . Rovnice (2,27) (viz též obr.8 b)) ukazuje, že experimentálně zjištěné tíhové zrychlení v daném místě zemského povrchu je vektorovým součtem skutečného, tj. hmotností Země vyvolaného gravitačního zrychlení a odstředivého zrychlení .

Rovnice (2,27) vysvětluje různou hodnotu tíhového zrychlení v různých místech zemského povrchu. Z rovnice (2,27) plyne užitím kosinové věty pro velikost tíhového zrychlení  g   v zeměpisné šířce  j    vyjádření

.

Na pólu , což ovšem plyne již přímo z (2,27) , neboť na pólech . Hodnotu tíhového zrychlení  g na pólech označíme . Na rovníku je zeměpisná šířka a pro tíhové zrychlení, které označíme , dostáváme vyjádření

;

zrychlení gravitační a zrychlení odstředivé na rovníku míří proti sobě. Rozdíl zrychlení na pólu a zrychlení na rovníku má tedy být

.

(2,28)

Dosadíme-li číselné hodnoty , dostaneme po zaokrouhlení

.

(2,29)

Tato hodnota je však menší než experimentálně zjištěný rozdíl tíhového zrychlení na pólech a na rovníku, který činí přibližně . Nesouhlas hodnoty s hodnotou (2,29) se vysvětluje tím, že vzdálenost pólů od středu Země je menší než vzdálenost bodů na rovníku od středu Země, tedy sploštěním Země.

Dalšími projevy toho, že soustavy souřadné spjaté se Zemí nejsou inerciální, jsou projevy Coriolisovy síly na pravidelné pohyby na zemském povrchu a v atmosféře. Pohybuje-li se na severní polokouli hmotný bod od jihu k severu, působí na něj Coriolisova síla východním směrem. Plyne to z rovnice (2,24) a pro názornost je připojen obr.9, na němž je znázorněna rychlost bodu, úhlová rychlost rotace Země a zeměpisná šířka  j   místa, v kterém se hmotný bod nachází. Např. pro hmotný bod hmotnosti , který se pohybuje rychlostí  50 km/hod, je velikost této síly na  50^o   severní šířky

.

Tedy na třicetitunový vagón pohybující se v udaném místě rychlostí  50 km/hod  po kolejích jedoucích od jihu k severu působí Coriolisova síla velikosti .

Uvádí se, že při jednosměrném provozu na železničních tratích severojižního směru lze pozorovat větší opotřebení té koleje, ke které míří Coriolisova síla. Taková pozorování se např. konala na velmi frekventované dvoukolejné trati z Břeclavi do Přerova v druhé polovině 19. století. Podobně se uvádí, že u řek tekoucích na severní polokouli od jihu k severu takovými jsou např. sibiřské řeky , lze pozorovat větší vymílání pravého než levého břehu. Působením Coriolisovy síly lze vysvětlit i stáčení ze severojižního směru pravidelných větrů pasátů vanoucích v tropických oblastech a opačný smysl rotace vzdušných vírů cyklónů na severní a jižní polokouli.

Na závěr této stati bych chtěl znovu zdůraznit, že při vyšetřování většiny pohybů na povrchu Země nemusíme zdánlivé síly uvažovat. Buď jsou tak malé, že je můžeme zanedbat nebo jejich působení není pro popis pohybů podstatné. Např. při výpočtu spotřeby paliva lokomotivy vezoucí výše uvedený třicetitunový vagón určitě zanedbáme tření vyvolané Coriolisovou silou. Druhý případ nastane např. při sledování vrhů. Počítáme-li, jak daleko koulař vrhne své náčiní, není pro nás podstatné, že působením odstředivé síly kolmice nemíří do středu Země. Při většině praktických aplikací Newtonovy mechaniky můžeme pokládat soustavu souřadnou spjatou se Zemí za soustavu inerciální, odchylky jsou buď zanedbatelné nebo pro řešení problému nepodstatné.

---

---