---

---

3.6 Deformace válce vlastní tíhou

Budeme nyní vyšetřovat deformaci tělesa, u něhož nezanedbáme vlastní tíhu. Aby řešení bylo jednoduché, zvolíme homogenní (hustota ) kruhový válec upevněný tak, že jeho osa má směr tíhové síly a bod S, kde osa protíná vrchní podstavu (střed vrchní podstavy), je upevněn. Osou válce proložíme první osu souřadnic, počátek souřadnicové soustavy zvolíme ve středu spodní podstavy, směr druhé a třetí osy souřadnic v rovině podstavy je libovolný (obr.56). Vnější síly působící na válec jsou objemová tíhová síla o složkách

(3,95)

a plošné síly na povrchu válce. Na spodní podstavě a na válcové ploše jsou vnější plošné síly, tedy i příslušné vektory napětí nulové. Na vrchní podstavě válce působí v bodě závěsu síla mířící ve směru a smyslu osy . Její velikost je , kde V je objem válce. Dle Saint- Venantova principu zaměníme toto diskrétní rozložení sil na vrchní podstavě rozložením pro výpočet jednodušším. Budeme předpokládat, že na vrchní podstavě působí napěťový vektor konstantní velikosti mířící vzhůru. Velikost celkové síly působící na vrchní podstavu

je shodná s velikostí síly F. Na povrchu válce tedy působí napěťové vektory o složkách

,

(3,96)

.

(3,97)

Okrajové podmínky (3,14) lze rozebrat podobně jako v čl. 3.3 a plyne z nich

.

(3,98)

Dosadíme-li do rovnice rovnováhy kontinua (3,8) objemovou sílu (3,95) , dostaneme

.

(3,99)

Předpokládáme, že různá od , která jsou nulová na hraničních plochách válce, jsou nulová v celém objemu válce. Potom jsou druhé dvě rovnice systému (3,99) splněny identicky a první rovnice dává

.

(3,100)

Z rovnice (3,100) dostáváme pro jedinou nenulovou složku tenzoru napětí vyjádření

.

(3,101)

Dle (3,98) má být pro všechny body spodní podstavy, tj. pro a libovolné splňující podmínku , kde R je poloměr podstavy válce. Na vrchní podstavě, tj. pro body a splňující podmínku je . Máme-li vyhovět těmto podmínkám, musíme položit v (3,101) ; tedy

.

(3,102)

Napětí dané složkami

(3,103)

splňuje podmínky rovnováhy (3,8) a okrajové podmínky (3,14) . Splňuje i podmínky kompatibility ([1], čl. 5.5). Jelikož lze dokázat, že úloha nalézt napětí vyhovující právě uvedeným podmínkám má jednoznačné řešení (viz např. [1], čl. 6.5), je (3,103) hledaným napětím ve vyšetřovaném válci.

Najdeme deformace příslušné napětím (3,103) . Dosadíme-li složky napětí (3,103) do Hookova zákona (2,8) , dostáváme stejné rovnice (3,20) jako v případě tahu. Pro získání složek deformace z rovnic (3,20) není podstatné, že nyní je funkcí a v rovnicích (3,20) bylo konstantní. Algebraický postup, který jsme užili při řešení rovnic (3,20) , z něhož plynulo

,

(3,104)

zůstává v platnosti i nyní ( je Poissonův poměr (3,24) ). Deformace vyvolané v uvažovaném válci jeho vlastní tíhou jsou dány tenzorovou funkcí (3,104) . Dosadíme-li do ní za z (3,103) , dostaneme explicitní vyjádření

.

(3,105)

Ze složek tenzoru deformace stanovíme vektor posunutí postupem, který jsme již také užili při vyšetřování tahu v čl. 3.3. Z rovnic (1,31)

dostáváme

.

(3,106)

Z rovnic na levé straně systému (3,106) plyne

.

(3,107)

První z rovnic na pravé straně systému (3,106) po dosazení z (3,107) dává

.

(3,108)

Je-li na levé straně rovnice funkce proměnných , může být funkcí pouze ;

.

(3,109)

Integrací rovnice (3,108) potom dostáváme

.

(3,110)

Z druhé rovnice na pravé straně systému (3,106) , dosadíme-li do ní z (3,107) , plyne

.

(3,111)

Znovu musí být

(3,112)

a integrací (3,111) dostáváme

.

(3,113)

Z (3,109) a (3,112) plyne

.

(3,114)

Z poslední rovnice pravé strany systému (3,106) pak s uvážením (3,107) dostáváme

.

(3,115)

Poslední rovnice může být splněna pouze, když

,

(3,116)

odkud

.

(3,117)

Symboly značí konstanty.

Porovnáme vyjádření funkce rovnicemi (3,110) a (3,113) , do kterých dosadíme dle (3,117) . Dostaneme

.

(3,118)

Poslední rovnici lze splnit, když položíme

.

(3,119)

Tak získáme pro vyjádření

.

Dosadíme-li do (3,114) z (3,117) a položíme-li dle (3,119) , dostaneme

.

Po dosazení posledních výrazů do (3,107) dostáváme vektor posunutí ;

.

(3,120)

Konstanty podobně jako v případě tahu (čl. 3.3) charakterizují otočení válce jako celku, a proto je položíme rovny nule. Dle zadání úlohy (viz též obr.56) předpokládáme pro bod . Z této podmínky plyne a , uvážíme-li, že jsme již položili .

Konečné vyjádření pro vektor posunutí zde uvažovaného válce namáhaného vlastní tíhou je

.

(3,121)

První z rovnic (3,121) ukazuje, že bod na ose válce klesne o úsek délky

.

(3,122)

Rovinný průřez kolmý k ose válce se stane rotačním paraboloidem, jehož body vzdálené od osy leží výše, než vrchol paraboloidu ležící na ose válce. Z druhých dvou rovnic plyne, že posunutí ve směru radiálním

(3,123)

směřuje k ose válce s výjimkou bodů ve spodní podstavě, kde je nulové.

Válec se ve své vrchní části zúží. Z rovnice (3,123) plyne, že přímky rovnoběžné s osou ( ) zůstanou přímkami i po deformaci, neboť je přímo úměrné souřadnici . Na obr.57 je osovým řezem znázorněn tvar, který válec zaujme po deformaci. Jeho tvar před deformací je znázorněn čárkovaně. Nevyšetřujeme-li podrobně poměry v příčných průřezech tyče (např. u drátů) a zajímá-li nás pouze její osové prodloužení vlastní tíhou, můžeme k výrazu (3,122) , který pro dává celkové prodloužení tyče , dojít jednodušší úvahou, jak je ukázáno např. v [8], kap. 8, příklad 4.

V této kapitole jsme uvedli řešení několika jednoduchých úloh teorie pružnosti. Další úkoly, jakými jsou např. obecné řešení rovinného problému, vyšetřování deformací membrán a skořepin, složitější problémy ohybu a torze tyčí, řešení některých speciálních případů trojrozměrné deformace, napětí vzbuzené rozdíly teplot, kmity strun, membrán a tyčí, otázky šíření deformačních vln v hmotném prostředí, jsou řešeny v [1], [10], [11], [12], [13], [14], [17], [18].

---

---