Rychlost deformace poprvé uvažovaná v rovnici (1,17) je další základní veličinou mechaniky kontinua. Rovnice (1,37) udává, že tenzor rychlosti deformace

který v Helmholtzově rovnici (1,17) určuje deformační pohyb, je možno vyjádřit jako časovou derivaci tenzoru malých deformací

Význam pojmu rychlost deformace si přiblížíme na jednoduchém příkladu. Budeme uvažovat pohyb kontinua zadaný rovnicemi

Pouze pro velmi malá t lze deformaci při pohybu (1,63) popsat tenzorem malé deformace, v obecném případě vede pohyb (1,63) k velkým deformacím kontinua. Vzdálenosti částic kontinua s probíhajícím časem neustále rostou.

Z rovnice (1,65) dostáváme pro složky tenzoru rychlosti deformace (1,62) vyjádření

Pro malá t je adekvátní popis deformace tenzorem (1,69) a zřejmě je potvrzena platnost vztahu

. Při větších t nemůžeme deformaci popsanou rovnicemi (1,63) pokládat za malou a tenzor (1,69) ji nevystihuje, pak nemá ani smysl uvažovat o platnosti vztahu

. Rozpor vzniká tím, že při popisu deformace rovnicemi (1,63) srovnáváme stav kontinua v čase t = 0 s jeho stavem v nějakém konečném čase

. Při vyšetřování pohybu kontinua často nebývá podstatné (např. při jednoduchém pohybu kapalin), který stav bereme za výchozí. Potom pro libovolný čas

můžeme pohyb kontinua místo rovnicemi (1,63) popsat rovnicemi stejného tvaru, v nichž čas t nahradíme časovým intervalem

, tedy

Rychlost při takovém pohybu je dána rovnicemi shodnými s rovnicemi (1,65) a složky tenzoru rychlosti deformace jsou dány rovnicemi (1,70) . Tenzor malých deformací má nenulovou pouze složku

a jeho derivace dle času

jedinou nenulovou složku

. Platí tedy vztah

a v uvedeném popisu má význam pro malé hodnoty časového intervalu

, tj. pro t blízká

, kdy tenzor malých deformací dobře popisuje deformaci kontinua.

*) Pojem symetrického tenzoru jsme rozebrali v I v článku 6.2. Antisymetrický tenzor druhého řádu je takový tenzor, pro jehož složky platí relace , tedy tenzor, jehož složky se shodnými indexy jsou nulové a nenulové složky jsou vázány třemi relacemi , , . Rozklad (1,16) lze provést pro libovolný tenzor 2. řádu;

Podrobněji viz [1], kap. 1 a [9], kap. 8.

*) Kroneckerův symbol je definován vztahy

tj. . Zřejmě platí , např.

, a tedy též .

Podrobněji viz [1], kap. 1.

*) Pro grafické zjednodušení následujících rovnic vynecháme u složek vektorů horní index I, resp. II.

Vztah platí, uvažujeme-li deformaci kontinua v diferenciálním časovém okolí uvažovaného okamžiku. Při tečení látek deformace s časem neomezeně roste, proto je ji třeba vyšetřovat jen jako charakteristiku okamžitého stavu tečení. Popis látek, které mění svůj tvar tečením, se provádí tenzorem rychlosti deformace vztaženým ke konečné, tj. okamžité souřadnici látky. Popis pohybu tekoucích látek, tj. především tekutin, se provádí pomocí jejích rychlostí a změn těchto rychlostí se souřadnicemi , které popisuje tenzor rychlosti deformace (1,62) . Deformace jako taková se při proudění tekutin obvykle neuvažuje (srov. kap. 4).

Sledování deformace při pohybu kontinua (1,63) zde bylo provedeno pro procvičení dříve zavedených pojmů a abychom si jasně uvědomili, že změna rychlosti se souřadnicí je totéž jako změna deformace s časem. Při vyšetřování pohybu (1,63) se obvykle vychází až z rovnic (1,65) , které jsou stejné pro pohyb popsaný rovnicemi (1,63) a (1,63´) .

Tyto rovnice popisují velice často uvažovaný případ proudění tekutiny, při kterém rychlost vzrůstá rovnoměrně ve směru kolmém ke směru pohybu tekutiny. Takové proudění vznikne mezi dvěma rovnoběžnými deskami P₁ a P₂, z nichž jedna je pevná a druhá se pohybuje rychlostí . Rychlost vrstev tekutiny bezprostředně přilehlých k deskám je shodná s rychlostí desek a mezi deskami se rychlost vrstev mění rovnoměrně (viz obr.3). Proudění tohoto typu se nazývá Couettovo proudění.

Na obr.3 jsou znázorněny též směry první a druhé kartézské osy souřadnic užívané v rovnicích (1,63) - (1,72) . Proudění tohoto typu se uvažuje při elementárním odvození Newtonova zákona pro proudění viskózních tekutin (srov. obr.26 a rov. (2,47´) ).

Ukázali jsme, že změna rychlosti kontinua se souřadnicí určuje rychlost, s jakou se kontinuum deformuje. Přesný tvar závislosti v okolí daného bodu popisuje tenzor rychlosti deformace (1,62) . Při uvažovaném proudění mezi dvěma deskami (Couettovým prouděním) má tento tenzor jedinou nenulovou složku

.	(1,71)

Jak jsme ukázali, platí pro ni, uvažujeme-li malou deformaci kolem okamžitého stavu kontinua, vztah

.	(1,72)

Složka Couettova proudění popsaného v soustavě souřadnic naznačené na obr.3 bude v kap.3 (např. rov. (2,49) ) sloužit jako charakteristická hodnota pro veličinu rychlost deformace. Budeme vynechávat značení složek a místo rovnice (1,72) napíšeme symbolickou rovnici

,	(1,73)

která vystihne skutečnost, že v rozměrovém pojetí lze psát

.	(1,74)

V rovnici (1,74) je v rychlost, x souřadnice, u posunutí, t čas a e deformace. Rychlost v lze pokládat za derivaci posunutí dle času, , a deformaci e za derivaci posunutí dle souřadnice, . Vztah (1,74) , který dává do vztahu derivaci rychlosti dle souřadnice s rychlostí deformace, je výchozím vztahem při popisu viskózního, viskoelastického a plastického chování látek.

1.3 Rychlost deformace