---

---

1.2 Deformace

Uvedli jsme, že výrazy z rovnice (1,17) popisují rychlost, s jakou se mění vzdálenost jednotlivých částic kontinua. Nyní si všimneme, jak je možno určit konečnou změnu vzdálenosti, ke které dojde za určitý časový interval. Vyjdeme z popisu kontinua dle rovnice (1,1)

.

(1,1)

Pro jednoduchost budeme pokládat začátek zmíněného časového intervalu do okamžiku , kdy, vzhledem k tomu, že pokládáme za souřadnice částic v čase , platí

.

Souřadnice částic v čase jsou

a budeme je dále stručně označovat . V tomto článku nás nebude zajímat časová závislost deformace, tedy ani velikost intervalu a pro konečné polohy bodů , které se původně nacházely v bodech , budeme psát stručné vyjádření

.

(1,18)

Částice z místa o souřadnicích se přemístí do místa o souřadnicích . O tomto přiřazení zavedeném rovnicí (1,18) budeme dále předpokládat, že je vzájemně jednoznačné; jednomu bodu odpovídá jeden bod a jednomu bodu odpovídá jeden bod .

Dále zavedeme vektor posunutí

,

(1,19)

jehož počátek je v místě, kde se částice nacházela na začátku uvažovaného děje a konec vektoru je v místě konečné polohy částice. S užitím vektoru posunutí lze funkci (1,18) rozepsat na tvar

.

(1,20)

Rovnice (1,18) nebo (1,20) určují jednoznačně, kam se která částice kontinua původně se nacházející v místě na konci uvažovaného děje dostane. Zahrnují v sobě posunutí kontinua, jeho otočení jako celku i jeho deformaci. Abychom z těchto rovnic izolovali jejich deformační část, budeme sledovat, jak se změní vzdálenosti částic v okolí libovolně zvoleného bodu .

Bod , vektor posunutí a konečná poloha částice původně se nachá-zející v bodě jsou znázorněny na obr.1. Původní souřadnice libovolného bodu v okolí budeme psát jako . Jeden z bodů je na obr.1 označen . Vektor posunutí odpovídající tomuto bodu je označen . Bod se posune do bodu . Uvažujeme-li pouze diferenciální okolí bodu , můžeme složky vektoru pokládat za diferenciály funkcí (1,20) a psát pro ně vyjádření

.

(1,21)

Velikost vektoru , a tedy vzdálenost bodů a na začátku děje, je . Velikost vektoru , a tedy konečná vzdálenost částic původně se nacházejících v místech a , je . Rozdíl těchto dvou vzdáleností ( je libovolný bod z okolí bodu ) by bylo přirozené zvolit k popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož původní souřadnice jsou a konečné . Z početních důvodů je výhodnější použít k popisu rozdíl čtverců těchto délek, tj. výraz

.

(1,22)

Vypočteme jej jako funkci výchozích poloh částic a zvoleného diferenciálního vysunutí z těchto poloh. Z rovnice (1,21) dostáváme

.

Výraz lze užitím Kroneckerova symbolu *) přepsat na tvar a obdobně ; tedy

.

Uvážíme-li, že a , , je možno dále psát a pro hledaný výraz (1,22) dostáváme vyjádření

,

(1,23)

kde jsme pro výraz zavedli označení . Jelikož pravá strana definiční rovnice

(1,24)

výrazu je složena z derivací vektoru dle skaláru, je výraz tenzorem. Z definice (1,24) dále plyne, že , a tedy je symetrický tenzor. Tento symetrický tenzor druhého řádu popisuje deformaci.

Dle způsobu odvození je zřejmé, že tenzor deformace je funkcí souřadnic ;

.

(1,25)

Známe-li funkce (1,25) pro oblast kontinua, jehož deformaci vyšetřujeme, známe pro každý bod kontinua šest čísel , která udávají, jak se změní délky v diferenciálním okolí tohoto bodu. Zvolíme-li vektor , čímž zvolíme směr výchylky z bodu , rovnice (1,23) udá změnu čtverce délky příslušnou danému směru.

Zatím jsme počítali změnu délky (1,22) jako funkci původních poloh částic . Nyní vypočteme změnu této délky jako funkci konečných poloh . Jelikož funkce (1,18) je vzájemně jednoznačná, můžeme psát

.

(1,26)

Rovnici (1,19) upravíme na tvar

,

kde vektor posunutí pokládáme za funkci . Diferenciál potom napíšeme ve tvaru

a pro jeho čtverec získáme vyjádření

a odtud vypočteme hledaný výraz (1,22) ;

.

(1,27)

Zavedeme označení

(1,28)

a rovnici (1,27) přepíšeme na tvar

.

(1,29)

Jelikož vektor posunutí pokládáme nyní za funkci souřadnic , je zřejmé, že i tenzor je funkcí ;

.

(1,30)

Rovnicí (1,28) je definován tenzor deformace vyjádřený vzhledem k deformovanému stavu (souřadnice ) kontinua. Známe-li funkce (1,30) , můžeme dle rovnice (1,29) pro každý bod deformovaného tělesa určit, jak se deformací změní délka elementu v jeho okolí. Směr výchylky z uvažovaného bodu určíme volbou vektoru , délka výchylky je stanovena vzhledem k rozměrům deformovaného tělesa. Složky tenzorů a jsou obecně různé i pro vzájemně si odpovídající pár bodů , . Vzájemně si odpovídajícími rozumíme ty body, v nichž se nachází před deformací a po ní stejná částice.

Tenzory (1,25) nebo (1,30) popisují obecné, tedy i velké deformace. Užívá se pro ně označení tenzory velkých deformací.

Dále budeme předpokládat, že deformace jsou malé. Potom jsou malé i změny vektoru posunutí se souřadnicemi , parciální derivace nabývají malých hodnot. Vzájemné násobky parciálních derivací z rovnice (1,24) jsou malými veličinami druhého řádu a lze je zanedbat proti členům a , kde se parciální derivace vyskytují samostatně. Deformaci lze popsat tenzorem

,

(1,31)

který se nazývá tenzor malých deformací. Pro malé deformace tedy předpokládáme, že výraz (1,22) můžeme v dobrém přiblížení vyjádřit jako

.

(1,32)

Vycházíme-li z deformovaného stavu, můžeme zavést tenzor malých deformací vztahem

(1,33)

a výraz (1,22) vyjádřit jako

.

(1,34)

Předpokládáme-li malé deformace, jsou velikosti posunů v nedeformovaném stavu a jim odpovídající v deformovaném stavu v dobrém přiblížení stejné. Porovnáním rovnic (1,32) a (1,34) potom plyne, že nemusíme rozlišovat tenzory malých deformací a . Zanedbání rozdílu posuvu v nedeformovaném a deformovaném stavu neboli zanedbání rozdílů metrik nedeformovaného a deformovaného stavu je typické pro celou teorii malých deformací. Nadále tedy budeme obojí vyjádření tenzoru malých deformací (1,31) a (1,33) považovat za ekvivalentní (např. [10]) a budeme pro něj uvažovat jediné označení .

Je-li deformace kontinua malá (spolehlivě, když relativní prodloužení, resp. zkrácení, nepřesahují o mnoho 1%), lze ji popsat tenzorem malých deformací

.

(1,31)

Velké deformace je třeba popsat tenzorem velkých deformací

(1,24)

nebo

.

(1,28)

V případě velkých deformací je třeba rozlišovat, zda deformaci vztahujeme k nedeformova-nému stavu, pak užijeme tenzor (1,24) , nebo k deformovanému stavu, pak užijeme tenzor (1,28) . V případě malých deformací takové rozlišení není nutné.

1.2.1 Úvahy ilustrující způsob zavedení tenzorů deformace

Tenzor malých deformací má tvar analogický členu z rovnice (1,17) . Tento člen udává v rovnici (1,17) rychlost, s jakou se při pohybu kontinua mění vzájemné vzdálenosti částic. Abychom našli vztah mezi tenzorem malých deformací a tenzorem , budeme, podobně jako na začátku tohoto článku, uvažovat o průběžně se měnící deformaci. Konečnou polohu částice budeme pokládat nejen za funkci původní polohy , ale i za funkci času;

.

(1,1)

V rovnici (1,20) je potom nutno vektor posunutí také pokládat za funkci souřadnic a času;

.

(1,35)

Jelikož původní poloha částice není funkcí času, plyne pro rychlost částice z rovnice (1,35) vyjádření

.

(1,36)

Derivujeme-li tenzor malých deformací (1,33) parciálně dle času t, dostáváme

.

O funkcích budeme, jak je obvyklé, předpokládat, že jejich první parciální derivace jsou spojité. Potom je možno zaměnit pořadí derivací u druhých parciálních derivací funkcí a parciální derivace přepsat s užitím rovnice (1,36) na tvar

.

(1,37)

Pro ilustraci právě zavedených výrazů vyšetříme pohyb kontinua zadaný tímto konkrétním tvarem rovnice (1,1)

,

(1,38)

kde a jsou kladné konstanty a čas . Při vyšetřování konečné deformace budeme uvažovat jen o deformaci vzniklé v určitém časovém intervalu , kdy

.

Výraz označíme a výraz označíme . Dostaneme rovnice

,

(1,39)

které jsou konkrétním tvarem rovnic (1,18) . Vektor posunutí definovaný rovnicemi (1,19) má v uvažovaném případě složky

(1,40)

a z parciálních derivací jsou nenulové pouze

.

Dle rovnic (1,24) složky tenzoru velkých deformací potom jsou

.

(1,41)

Počítáme-li deformaci vzhledem k deformovanému stavu, musíme složky vektoru posunutí vyjádřit jako funkce konečné polohy částic . Z rovnic (1,39) dostaneme snadno konkrétní tvar funkcí (1,26) odpovídající řešenému případu

,

(1,42)

a tedy

.

(1,43)

Z devíti parciálních derivací jsou nenulové pouze

.

(1,44)

Z šesti nezávislých složek symetrického tenzoru deformace (1,28) vyjádřeného vůči deformovanému stavu jsou nenulované pouze složky

.

(1,45)

Ve vyšetřovaném případě je deformace homogenní pro všechna nebo, vycházíme-li z deformovaného stavu, pro všechna .

Tenzory a se navzájem liší. Přímým výpočtem jsme si tak ukázali, že u tenzoru velkých deformací je podstatné, zda je vyjádřen vzhledem k deformovanému nebo nedeformovanému stavu kontinua.

Ukážeme dále, že pro malé deformace takové rozlišení není nutné. Uvážíme-li rovnice (1,39) , je zřejmé, že malé deformace nastanou, když a . Tenzor malých deformací (1,31) má pro deformaci popsanou rovnicemi (1,39) nenulové složky

a tenzor malých deformací vztažený k deformovanému stavu (1,33) nenulové složky

.

Protože a jsou velmi blízké jedné, platí

.

Mezi tenzory a není třeba rozlišovat a nenulové složky tenzoru malých deformací lze psát v obvyklém tvar

.

(1,46)

Pro případ , konvergují k výrazům (1,46) i obě vyjádření tenzoru velkých deformací (1,41) a (1,45) . Zřejmě platí

a obdobně lze dokázat konvergenci i pro a .

Pro pohyb kontinua zadaný rovnicemi (1,38) ukážeme přímým výpočtem platnost vztahu (1,37) , tj. vztahu, který ukazuje, že tenzor rychlosti deformace je derivací tenzoru malých deformací ; . Z rovnic (1,38) plyne pro složky rychlosti částic vyjádření.

.

(1,47)

Pro výpočet složek tenzoru rychlosti deformace potřebujeme vyjádřit rychlosti jako funkce souřadnic deformovaného stavu . Vypočteme-li a z (1,38) a dosadíme do (1,47) , dostáváme

.

(1,48)

Odtud

.

Ostatní parciální derivace jsou nulové. Ze složek tenzoru rychlosti deformace

(1,49)

jsou tedy nenulové pouze složky

.

(1,50)

Tenzor malých deformací (1,46) musíme též pokládat za časově závislý. Při přechodu od rovnic (1,38) k rovnicím (1,39) byl výraz položen rovný výrazu a výraz výrazu . Dosadíme-li rovnice

(1,51)

do vyjádření (1,46) tenzoru , dostáváme

,

(1,52)

a tedy

.

(1,53)

Porovnáme-li výrazy (1,50) a (1,53) , vidíme, že

,

(1,54)

když a přibližná rovnost bude platit i pro t blízká nule. Je-li , je dle (1,51) a pro t blízká nule platí přibližné rovnice , uvažované v tomto příkladě jako podmínky pro vznik malých deformací. Vztahy (1,54) tedy platí při malých deformacích. Jelikož všechny ostatní složky tenzorů i jsou nulové, ukázali jsme pro uvažovaný příklad přímým výpočtem platnost obecné rovnice (1,37) , kterou zde zapíšeme ve tvaru

.

(1,55)

1.2.2 Význam složek tenzoru malých deformací

Ukážeme nyní, jaký význam mají jednotlivé složky tenzoru malých deformací

.

(1,31)

Nejprve budeme uvažovat změnu délky elementu, který v nedeformovaném stavu byl rovnoběžný s osou . Element ve směru osy je vektor o složkách . Dle rovnice (1,32) změna čtverce jeho délky je dána vztahem

,

(1,56)

neboť ve všech ostatních členech na pravé straně rovnice (1,32) se vždy vyskytne některý nulový výraz nebo a rovněž tak na levé straně z výrazu zůstává nenulový pouze . Výraz značí čtverec délky zvoleného elementu před deformací, označíme jej . Výraz znamená čtverec délky elementu po deformaci, označíme jej . Rovnici (1,56) pak přepíšeme na tvar

.

(1,57)

Jelikož uvažujeme o malých deformacích, , levou stranu rovnice (1,57) můžeme postupně upravit

a místo rovnice (1,57) psát přibližnou rovnici

.

(1,58)

Složky tenzoru deformace se shodnými indexy mají význam relativního prodloužení stejně jako při elementárním zavedení (např. [3]), kdy deformací e tyče rozumíme poměr rozdílu její protažené délky l a původní délky k původní délce ; .

Jaký je význam složek se smíšenými indexy ? Pro jednoduchost výkladu budeme uvažovat rovinnou deformaci, tj. deformaci popsanou rovnicemi

,

kde i a j nabývají pouze hodnot 1 a 2. Potom tenzor malých deformací má jenom složky . Abychom našli význam složky se smíšenými indexy , budeme uvažovat deformaci, při které ostatní dvě složky tenzoru jsou nulové; . Je-li a , z rovnice (1,31) plyne

.

(1,59)

Vrátíme se k rovnici (1,21) a budeme uvažovat, kam při deformaci popsané tenzorem o složkách přejde element původně rovnoběžný s osou . Takový element má složky *). Složky jemu po deformaci odpovídajícího elementu vypočteme dle rovnic (1,21)

,

(1,21)

z kterých první pro rovinnou deformaci po rozepsání má tvar

.

V námi uvažovaném případě (srov. (1,59) ) je a pro zvolený element je , tedy

.

Druhou složku elementu dostaneme, když do druhé z rovnic (1,21)

dosadíme a , tedy

.

Element odpovídající po deformaci elementu má složky .

Analogicky zjistíme, kam při uvažované deformaci přejde element původně rovnoběžný s druhou osou kartézské soustavy souřadnic, tedy element . Z rovnice (1,21) nyní dostáváme s užitím hodnot (1,59) a konkrétního tvaru pro složky elementu vyjádření

.

Element odpovídající po deformaci elementu má složky . Na obr.2 jsou naznačeny všechny čtyři vektory . Pro úhel mezi směry vektorů a zřejmě platí

,

(1,60)

a pro úhel mezi směry vektorů a

.

(1,61)

Předpokládáme-li, že deformace jsou malé, můžeme užít přibližnou rovnici a psát

.

Jelikož

,

dostáváme konečně

.

 

Smíšená složka tenzoru deformace je rovna polovině úhlu , o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s první a druhou osou kartézské soustavy souřadnic. Úhel se nazývá úhel smyku.

 

Závěr, ke kterému jsme došli, není podstatně ovlivněn tím, že jsme se při jeho odvození omezili na rovinnou deformaci. Kdybychom vycházeli z prostorového případu a pokládali , elementy původně rovnoběžné s první a druhou osou souřadnic by po deformaci mohly mít nenulové složky ve směru třetí osy. Tyto diferenciální složky jsou však natolik malé, že podstatně nezmění úhel mezi elementy po deformaci, a tedy ani závěr, že složka je rovna polovičnímu úhlu smyku mezi první a druhou osou. Obdobně složka je rovna polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí osou souřadnic a složka polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí osou souřadnic.

 

---

---