---

---

1.4 Napětí

Doposud jsme pouze popisovali pohyb kontinua a neuvažovali jsme o silách, které na ně působí. Tuhé těleso, na které v různých místech působí síly, jejichž vektorový součet a moment jsou rovny nule, je v rovnováze (viz I, čl. 5.8). Pro stav tuhého tělesa není podstatné, jak velké jsou síly, které těleso udržují v rovnováze. V kontinuu vede různá velikost sil, které na ně v jednotlivých místech působí, i když kontinuum jako celek je v rovnováze, k různému stavu kontinua. Podle velikosti sil dochází k různě velkým deformacím či rychlostem deformací kontinua. Stav kontinua podrobeného vnějšímu silovému působení charakterizu-jeme veličinou, kterou nazýváme napětí.

Nejjednodušší případ tělesa v rovnováze, na něž působí vnější síly v různých bodech, je tyč délky l, na kterou v koncových bodech A, B působí ve směru tyče stejně velké síly opačného smyslu (viz obr.4). Dále budeme předpokládat, že libovolný úsek tyče je v rovnováze. V koncových bodech úseku pak působí stejné síly jako v koncových bodech A, B tyče délky l. V limitním případě nekonečně krátkého úseku můžeme chápat síly jako dvě síly charakterizující stav napjatosti v bodě. Na obr.5 jsme tento bod označili P. Bod P je libovolný bod tyče, a proto v uvažovaném případě je stav napjatosti stejný v každém bodě tyče. Doposud jsme neuvažovali příčné rozměry tyče, a proto mluvíme o stavu napjatosti a ne přímo o napětí v bodě P.

Na obr.6 je znázorněna tyč délky l, jejíž průřez má velikost S. Opět předpokládáme, že na koncích tyče působí síly a stejné dvě síly působí na libovolný úsek tyče. V limitním případě nekonečně krátké tyče docházíme k představě sil působících na jedinou plochu p. Jelikož plocha p vznikla limitním zkracováním tyče, mohli bychom též mluvit o dvojploše p.

Pro stav kontinua je jistě důležité, jak velkým průřezem S jsou síly přenášeny. Veličinu napětí zavedeme proto tak, že dělíme velikost působících sil velikostí průřezu S. Pro uvažovanou plochu p procházející libovolným bodem tyče je si pak možno představit napětí jako dvojici vektorů , jak je znázorněno na obr.7. Velikost T vektorů je rovna . Předpokládáme, že v dostatečné vzdálenosti od konců tyče je silové působení rovnoměrně rozprostřeno podél celého příčného průřezu tyče a tedy nezávisí na konkrétním způsobu, jakým je síla na konci tyče realizována. Uvedenému, experimentálně ověřenému, předpokladu se říká Saint-Venantův princip (podrobněji čl.3.2 nebo [1], čl.6.6). Napětí na plochách kolmých k ose tyče má tedy přesně tvar znázorněný na obr.7 pouze pro body dostatečně vzdálené od konců tyče.

Tím, že silové působení F vydělíme velikostí průřezu S a zavedeme pojem napětí T (rozměr veličiny napětí je zřejmě síla/(délka)² ), přestáváme být vázáni na konkrétní příčný průřez tyče a pro stanovení napětí je důležitá pouze orientace plochy a ne její velikost. Napětí na různě orientovaných plochách procházejících daným bodem je obecně různé. Napětí na ploše kolmé k ose tyče z obr.6 znázorněné na obr.7 je velmi jednoduchým typem napětí, kdy vektor je kolmý k uvažované ploše p. Takovému napětí budeme říkat čistý tah.

Jiným jednoduchým, často uvažovaným, případem napětí je čistý smyk. Mějme kvádr namáhaný způsobem znázorněným na obr.8. Uložení U kvádru je takové, aby zabránilo jeho převrhnutí. Síly působící od uložení na kvádr vyrovnají nenulový výsledný moment sil na nulovou hodnotu, takže kvádr jako celek je v rovnováze. Obdobně jako v případě tahu budeme předpokládat, že na každý menší kvádr - na obr.9 je jeden z takových kvádrů znázorněn šrafováním - znovu působí síly . Jestliže výška šrafovaného kvádru konverguje k nule a předpokládáme-li, že vzniklá plocha (dvojplocha) je natolik vzdálená od spodní i vrchní podstavy kvádru, aby silové působení podél plochy bylo rovnoměrné, docházíme k představě smykového napětí znázorněného na obr.10. Velikost T vektoru napětí je rovna velikosti F síly dělené plochou S podstavy kvádru; .

.

Mějme nyní kontinuum libovolného tvaru, na něž působí v různých bodech síly (obr.11). Potom na plochu p proloženou libovolným bodem P kontinua působí vektor napětí , který svírá nějaký obecný úhel a s normálou plošky. Je-li takové napětí typu znázorněného na obr.11, nazýváme jej obecné tahové napětí. Samostatně je případ obecného tahového napětí znázorněn na obr.12a) a schematicky jej budeme značit symbolem nakresleným na obr.12b).

Působí-li síly na tyč způsobem znázorněným na obr.13a), říkáme, že tyč je vystavena tlakovému namáhání. Na plochách kolmých ke směru sil působí pak v dostatečné vzdálenosti od konců tyče čisté tlakové napětí stručně čistý tlak, který je schematicky znázorněn na obr.13b). Směřuje-li vektor napětí k uvažované ploše, ale není k ní kolmý, mluvíme o obecném tlakovém napětí.

Na obr.14 jsou schematicky znázorněny všechny právě popsané druhy napětí. Obr.14a) znázorňuje čistý tah, b) čistý smyk, c) čistý tlak, d) obecné tahové napětí, e) obecné tlakové napětí.

1.4.1 Tenzor napětí

Obdobně jako jsme se v I, čl.1.2 snažili zavést rychlost a v předcházejících dvou článcích deformaci a rychlost deformace jako charakteristiky bodu, je z početních důvodů velmi výhodné zavést i napětí jako veličinu udanou pro každý bod kontinua. V případě rychlosti jsme problém vyřešili tak, že jsme hmotnému bodu přiřadili vektorovou veličinu charakterizující jeho rychlost v každém okamžiku. V případě napětí, stejně jako jsme to provedli pro deformaci a rychlost deformace, přiřadíme každému bodu kontinua symetrický tenzor druhého řádu, který popíše stav napětí v daném bodě. Každým bodem kontinua lze proložit nekonečně mnoho různě orientovaných plošek. Napětí na každé plošce může obecně být různé. Zjistíme nyní, do jaké míry mohou napětí na různých plochách procházejících daným bodem být různá a zda je možné, známe-li napětí na některých z nich, vypočítat napětí na plochách zbývajících.

V bodě P kontinua budeme uvažovat napětí na plochách kolmých k osám kartézské souřadnicové soustavy (viz obr.15). Na obrázku kreslíme tato napětí jako obecná tahová napětí. Napěťový vektor působící na plochu kolmou k i-té ose souřadnic značíme . Kladnou hodnotu napěťového vektoru kreslíme na stěnách ploch přivrácených ke kladnému smyslu příslušných kartézských os. Kartézské složky napěťo-vého vektoru budeme značit a obdobné značení užijeme i pro další dva vektory, tedy

.

(1,75)

Zjistíme nyní, zda na základě znalostí těchto devíti složek vektorů lze určit složky vektoru napětí , který působí na ploše procházející bodem P, jejíž normálový vektor má složky . Budeme uvažovat v okolí bodu P elementární čtyřstěn tvořený třemi plochami kolmými k souřadnicovým osám a jednou plochou, jejíž normála je . Čtyřstěn je znázorněn spolu s napěťovými vektory na obr.16. Předpokládáme, že čtyřstěn je v rovnováze. Pro rovnováhu jsou podstatné vnější síly působící na čtyřstěn. Na obr.16 jsou to ze sil působících na jeho stěny - takovým silám říkáme plošné síly - síla a síly na plochách odvrácených od kladného smyslu kartézských os, tj. síly , a . Velikost plochy kolmé k první souřadnicové ose je označena a analogický význam mají výrazy . Velikost plochy s normálou je označena S.

Kromě plošných sil působí na čtyřstěn ještě objemová síla . Objemovou sílu zavádíme obdobně jako hustotu (viz (I5,5) ) limitním vztahem

,

(1,76)

kde je síla působící na konečný objem V obklopující bod, v němž vztahem (1,76) určujeme objemovou sílu. Nejčastěji uvažovanou objemovou silou je tíže.

Čtyřstěn z obr.16 pokládáme za elementární. Potom napěťové vektory pokládáme za konstantní podél příslušných stěn čtyřstěnu a sílu za konstantní v celém objemu čtyřstěnu. Označíme-li V objem čtyřstěnu a uvědomíme-li si, že S je velikost plochy, na níž působí vektor a velikosti ploch, na něž působí vektory , můžeme podmínku rovnováhy čtyřstěnu zapsat v tvaru

.

(1,77)

Objem čtyřstěnu vyjádříme jako

,

(1,78)

když plochu S pokládáme za jeho základnu a h za jeho výšku kolmou k ploše S. Plocha je rovna ploše S násobené kosinem úhlu , který svírají roviny S a . Na obr.17 je pohled na roviny S a ve směru jejich průsečnice. Symbolem i je označena i-tá osa souřadnic. Z obrázku je patrno, že úhel je totožný s úhlem, který svírá normála plochy S s i-tou osou souřadnic. Složky jednotkového vektoru, tedy i normálového vektoru , jsou rovny kosinům úhlů, které vektor svírá s osami souřadnic. Tedy , a jelikož , můžeme psát

.

(1,79)

Použijeme vztahů (1,78) , (1,79) a rovnici (1,77) přepíšeme na tvar

.

(1,80)

Rovnici (1,80) vykrátíme nenulovým výrazem S. Dále budeme předpokládat, že objem čtyřstěnu, a tedy i jeho výška h, konvergují k nule. V limitě vymizí poslední člen rovnice (1,80) a rovnici můžeme přepsat na tvar

.

(1,81)

Při konvergenci objemu čtyřstěnu k nule předpokládáme, že jeho tvar, tj. orientace jeho stěn, zůstává zachovaný. Pak plocha S čtyřstěnu konverguje k poloze, kdy prochází bodem P a její směr je dán stejným normálovým vektorem jako dříve. Pro stanovení napětí na ploše není rozhodující velikost této plochy, ale pouze její orientace. Proto lze rovnicí (1,81) určit napětí na ploše s normálou , i když velikost odpovídající plochy čtyřstěnu v limitě konverguje k nule. Rovnice (1,81) říká, že napěťovou sílu na ploše procházející bodem P, která má normálu , můžeme určit, známe-li napěťové síly působící na plochách kolmých ke kartézským osám souřadnic a dává předpis, jak tuto napěťovou sílu vypočítáme. Ve složkové symbolice s užitím sčítacího pravidla můžeme rovnici (1,81) přepsat na tvar

,

(1,82)

kde značí složky vektoru a jsou v tabulce (1,75) udané složky vektorů . Z rovnice (1,82) je zřejmé, že k určení napětí na libovolné plošce procházející bodem P - její orientaci udává normálový vektor - stačí znát devět složek napěťových vektorů . Těchto devět složek určuje stav napětí v daném bodě.

Při odvození vztahu (1,82) jsme vyšli z podmínky, že při rovnováze musí výsledná síla působící na konečný objem kontinua být nulová. Co plyne z druhé podmínky rovnováhy, která praví, že výsledný moment sil působící na konečný objem kontinua je nulový? Kolem bodu P z obr.15 si budeme myslet v kontinuu vymezenou krychli o straně a se středem v bodě P. Stěny krychle jsou kolmé ke kartézským souřadnicovým osám (obr.18). Budeme předpokládat, že celá krychle se nachází v diferenciálním okolí bodu P neboli budeme předpokládat, že stav napětí v každém bodě krychle je stejný jako v bodě P. Je-li v nějaké oblasti kontinua v každém bodě stejný stav napětí, mluvíme o homogenním napětí. V celé uvažované krychli je homogenní napětí, což znamená, že napětí v každém jejím bodě včetně stěn je určeno stejnými vektory napětí , tj. stejnými složkami těchto vektorů. V uvažovaném diferenciálním objemu i objemová síla má v každém bodě stejnou hodnotu, a tedy výsledný moment této síly vůči bodu P je nulový. Výsledný moment vnějších sil je potom dán pouze výsledným momentem vnějších plošných sil. Vnější plošné síly na stěnách kolmých k i-té souřadnicové ose jsou pro stěnu, jejíž normála má smysl shodný s kladným smyslem i-té osy a pro stěnu, jejíž vnější normála má

opačný smysl, než je kladný smysl i-té osy. Vzhledem k homogenitě napětí je možno působiště sil , respektive , položit do středu příslušných stěn krychle. Polohový vektor středu stěny, na níž působí síla , vůči bodu P označíme , polohový vektor síly je potom . S tímto označením dostáváme pro výsledný moment vnějších sil působících na uvažovanou krychli vyjádření

.

(1,83)

Z obr.18 je zřejmé, že vektory mají složky

.

(1,84)

Uvážíme-li, že složky vektorů jsou dány výrazy (1,75) , dostáváme přímým výpočtem z  (1,83) pro jednotlivé složky momentu vyjádření

.

(1,85)

Jelikož předpokládáme, že krychle je v rovnováze, musí výsledný moment vnějších sil být nulový. Z rovnice (1,85) potom plyne

,

(1,86)

neboť zřejmě . Složky napěťových vektorů (1,75) nejsou nezávislé, ale musí splňovat vztahy (1,86) . Devět složek vektorů , z kterých lze dle (1,82) vypočítat napětí na libovolné plošce, není nezávislých, ale musí splňovat vztahy (1,86) , které můžeme stručně zapsat v tvaru

.

(1,87)

Pro je rovnice (1,87) obecným vyjádřením rovnic (1,86) a pro je samozřejmou identitou. Vzhledem k platnosti vztahů (1,86) , respektive (1,87) , stačí k úplnému určení stavu napětí v libovolném bodě P kontinua znalost šesti čísel . Složky vektorů napěťových sil (1,75) na plochách kolmých ke kartézským souřadnicovým osám se transformuje dle rovnic (I6,44), tedy jako složky tenzoru druhého řádu. Důkaz tohoto tvrzení lze najít v [1], str.103 - 110, stejně jako obecný důkaz vztahu (1,87) , který znamená, že tenzor je symetrický.

Můžeme shrnout:

Stav napětí v každém bodě kontinua je popsán tenzorem napětí . Je to symetrický tenzor druhého řádu. Jeho složkami jsou složky vektorů napěťových sil působících na plochách proložených daným bodem kolmo ke směru kartézských souřadnicových os (viz (1,75) ). Vektory nejsou vzájemně zcela nezávislé, jejich složky musí splňovat vztahy (1,87) , které určují, že tenzor je symetrický. Vektor napětí působící na ploše s normálou procházející bodem, v kterém tenzor napětí má složky , se vypočítá dle rov. (1,82) ;

.

(1,82)

Ze způsobu zavedení složek tenzoru je zřejmé, že složky se shodnými indexy a značí čistě tahové (případně čistě tlakové, když ) složky napěťových vektorů. Složka je čistě tahová nebo čistě tlaková složka vektoru napětí působícího na ploše kolmé k první souřadnicové ose a analogický je význam složek . Složky tenzoru se smíšenými indexy skládají smykové složky vektorů napětí; např. složky a skládají smykovou složku vektoru .

Na obr.19 je znázorněn rozklad vektoru napětí na tahovou či tlakovou složku a smykovou složku . Na obrázku jsou též naznačeny kartézské složky vektoru neboli složky a tenzoru napětí. V symbolu je užit index n, neboť se jedná o složku vektoru do směru normály plochy, na kterou napěťový vektor působí.

1.4.2 Hlavní osy tenzoru napětí

V I, čl. 6.2 jsme zavedli symetrický tenzor momentu setrvačnosti a naznačili jsme, jak lze nalézt jeho hlavní osy. Jsou-li hlavní osy zvoleny za osy kartézské soustavy souřadnic, složky tenzoru se smíšenými indexy jsou v této soustavě souřadnic nulové. U tenzoru momentu setrvačnosti jsme složky se smíšenými indexy nazývali deviačními momenty.

Hlavní osy lze nalézt pro každý symetrický tenzor druhého řádu, tedy i pro tenzor deformace a tenzor napětí. Podmínka analogická rovnici (I6,50), tj. sekulární rovnici, je pro tenzor napětí velmi názorná. Hledáme-li osy, vůči kterým jsou složky tenzoru se smíšenými indexy nulové, znamená to najít plochy, na kterých napětí je buď čistým tahem nebo čistým tlakem. Složky vektoru napětí na ploše procházející daným bodem, která má normálu , udává rovnice (1,82)

.

(1,82)

Má-li napětí na určité ploše být čistým tahem nebo čistým tlakem, musí vektor napětí na této ploše mít stejný směr jako normála plochy , tedy vektor napětí musí být skalárním násobkem normály,

.

(1,88)

V rovnici (1,88) jsme skalár označili T, abychom naznačili, že má fyzikální rozměr stejný jako , tedy rozměr napětí. Dosadíme-li požadavek (1,88) do rovnice (1,82) , dostáváme rovnici (soustavu tří lineárních rovnic pro tři složky normály )

,

(1,89)

jejímž řešením najdeme směry , v kterých je podmínka (1,88) splněna. Rovnice (1,89) je formálně shodná se sekulární rovnicí (I6,50), a proto i její řešení bude stejné. Rozdíl mezi hledaným vektorem úhlové rychlosti v rovnici (I6,50) a hledaným bezrozměrovým normálovým vektorem v rovnici (1,89) je nepodstatný.

Zopakujme v I uvedený výsledek řešení sekulární rovnice a vyslovíme jej v pojmech rovnice (1,89) :

Při řešení konkrétních problémů často nastane případ, kdy všechny napěťové síly v různých bodech kontinua leží ve vzájemně rovnoběžných rovinách. Položíme-li do jedné z těchto rovin první a druhou osu kartézské soustavy souřadnic, budou třetí složky tenzoru napětí ve všech bodech uvažovaného kontinua nulové. Napětí tohoto druhu označujeme jako rovinné (podrobněji viz [1], čl. 8.3). Ve zvolené soustavě souřadnic je rovinné napětí popsáno třemi složkami tenzoru napětí

.

(1,90)

Ukážeme nyní, jak lze nalézt hlavní osy tenzoru napětí v rovinném, tj. v dvojrozměrném případě. Rozepíšeme-li pro tenzor (1,90) sekulární rovnici (1,89) , dostáváme

(1,89´)

neboli

.

(1,91)

Poslední dvě rovnice jsou homogenní soustavou lineárních algebraických rovnic pro neznámé složky normálových vektorů. Tato soustava má netriviální řešení (alespoň jedna složka nenulová) pouze tehdy, když determinant soustavy

(1,92)

je roven nule. Rovnice (1,91) jsou potom lineárně závislé a každá z nich dává stejnou hodnotu poměru hledaných složek normálového vektoru. Protože normálový vektor je jednotkový vektor ( ), znalost poměru složek již plně určuje vektor .

Rozepíšeme-li podmínku, že determinant (1,92) je roven nule, dostáváme

,

což je kvadratická rovnice

(1,93)

pro neznámou hodnotu napětí T. Jejím řešením dostáváme dva kořeny, tj. dvě hodnoty napětí ;

.

(1,94)

Každému kořenu odpovídá jedno řešení rovnice (1,91) , neboli každému napětí odpovídá jedna plocha s normálou , na které toto čistě tahové nebo čistě tlakové napětí působí. Složky normály odpovídající prvnímu napětí označíme , složky normály odpovídající napětí označíme . Z rovnice (1,91) dostáváme pro poměr složek vektorů vyjádření

,

(1,95)

.

(1,96)

V rovnicích (1,95) a (1,96) vždy první rovnost plyne z první rovnice (1,91) a druhá z druhé rovnice (1,91) . Obě vyjádření jsou ekvivalentní, o čemž se lze přesvědčit přímým dosazením hodnoty dané rovnicí (1,94) do rovnice (1,95) a hodnoty do rovnice (1,96) . Takové dosazení je také nutné, chceme-li přímo vypočítat složky vektorů . Z rovnice (1,95) , resp. (1,96) , získáme hodnoty poměrů a a přidáme-li podmínku

(1,97)

udávající, že vektory jsou jednotkové, můžeme již hledané složky určit.

Ukážeme dále, že vektory jsou vzájemně kolmé. Skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule. Mají-li být vektory kolmé, musí tedy platit

.

(1,98)

Podmínku (1,98) můžeme přepsat na tvar

neboli

.

(1,99)

Výraz vypočteme z rovnic (1,95) a (1,96) . Užijeme-li druhou z rovnic (1,95) a převrácenou hodnotu první z rovnic (1,96) , dostaneme

.

(1,100)

Sečteme-li rovnice (1,94) , zjistíme, že . Výraz (1,100) je tedy roven nule a vektory jsou vskutku vzájemně kolmé. Je-li , použitá argumentace selhává, ale v tomto případě čistý tah nebo čistý tlak nastává právě na rovinách kolmých k osám původních kartézských souřadnic a ty jsou samozřejmě vzájemně kolmé.

Pro rovinné napětí jsme právě dokázali všechna tvrzení, která jsme o řešení sekulární rovnice v  I, čl. 6.2 pouze uvedli a pro obecné prostorové napětí v tomto článku zopakovali. Dokázali jsme, že pro rovinné napětí má rovnice (1,89) řešení pro dva vzájemně kolmé směry . Na rovinách kolmých k těmto směrům působí tahová nebo tlaková napětí, a to pro plochu s normálou napětí a pro plochu s normálou napětí . Velikosti obou těchto napětí jsou dány rovnicemi (1,94) . Směry určené normálami jsou hlavními směry a napětí hlavními napětími rovinného tenzoru napětí (1,90) .

Proložíme-li směry danými vektory kartézskou souřadnicovou soustavu, tenzor napětí v této soustavě bude mít pouze dvě nenulové složky

,

(1,101)

které budeme značit .

1.4.3 Invarianty tenzoru

Velikosti hlavních napětí jsou veličiny, které nezávisí na volbě souřadnicové soustavy. Proto ani řešení rovnice (1,93) nemůže záviset na tom, v jaké soustavě souřadnic jsou vyjádřeny složky tenzoru . Koeficienty rovnice (1,93) , tj. výrazy a , nemohou záviset na volbě soustavy souřadnic. Výrazům vytvořených ze složek tenzorů, jejichž velikost nezávisí na volbě soustavy souřadnic, se říká invarianty tenzorů. Pro výrazy

(1,102)

se užívá název první a druhý invariant rovinného tenzoru napětí.

Hledáme-li hlavní směry symetrického tenzoru druhého řádu definovaného v trojrozměrném prostoru, kvadratické rovnici (1,93) odpovídá kubická rovnice. Pro tenzor momentu setrvačnosti je uvažovanou kubickou rovnicí rovnice (I6,52). Analogická rovnice pro tenzor napětí je rovnice

.

(1,103)

Rozepíšeme-li determinant (1,103) , získáme po vynásobení faktorem -1 kubickou rovnici

.

Koeficienty jsou hledané invarianty tenzoru napětí . Označíme je , a . Z rovnice (1,103) plyne pro první invariant , druhý invariant a třetí invariant tenzoru napětí vyjádření

.

(1,104)

1.4.4 Směry hlavních napětí pro smyk

Na jednoduchém příkladě smyku ukážeme, jak se hledají směry hlavních napětí. Mějme rovinné napětí v bodě P popsané tenzorem o složkách

,

tj. tenzorem s jedinou nenulovou složkou . Takové napětí se vyznačuje tím, že na plochách kolmých k souřadnicovým osám (v rovinném případě uvažujeme pouze dvě osy) působí v bodě P čistě smykové napětí. Rovnice (1,91) se v tomto případě zjednoduší na tvar

(1,105)

a podmínka (1,93) , že determinant soustavy je nulový, dává nyní rovnici

.

(1,106)

Z rovnice (1,106) dostáváme pro hodnoty hlavních napětí vyjádření

.

(1,107)

Dosadíme-li do první nebo druhé rovnice (1,105) , dostáváme pro vektor normály první hlavní roviny napětí podmínku

neboli

.

(1,108)

Dosadíme-li do některé z rovnic (1,105) , dostáváme pro normálu druhé hlavní roviny podmínku

neboli

.

(1,109)

Užijeme-li normovací podmínku (1,97) , můžeme napsat přímo složky normálových vektorů

.

(1,110)

Podmínkám (1,108) , resp. (1,109) a (1,97) , vyhovují též vektory . Vektory s opačnými znaménky určují však stejný směr hlavního napětí, a proto stačí uvažovat řešení (1,110) .

Shrneme řešení příkladu:

Na obr.20 jsou znázorněny vektory napětí působící na rovinách kolmých k souřadnicovým osám 1, 2, směry hlavních os napětí 1´, 2´ a vektory napětí působící na hlavních rovinách napětí. Při zobrazení předpokládáme, že . Pro přehlednost obrázku jsou roviny, na kterých působí vektory kresleny mimo bod P, v němž vektor napětí uvažujeme.

V této kapitole byl podán přehled nejdůležitějších obecných pojmů teorie kontinua. Pro podrobnější výklad s přesnějším matematickým zdůvodněním uvedených faktů odkazují čtenáře především na vynikající českou učebnici [1] a dále na cizojazyčné učebnice a monografie [10], [11], [12], [13], [14], [15].

---

---