---

---

1.1 Pojem kontinua a jeho kinematika

Pro vyšetřování pohybu kapalin, plynů a pro vyšetřování mechanických dějů, při nichž se mění vzájemné vzdálenosti jednotlivých bodů pevné látky, se zavádí představa spojitého prostředí - kontinua. Naše představy o struktuře látek neodpovídají spojitému rozložení hmotnosti, které v kontinuu předpokládáme. Přesto lze makroskopický popis pohybu kapalin i plynů a popis deformačního chování pevných látek dobře provést na základě představy o spojitém prostředí - kontinuu. V mechanice kontinua připisujeme charakteristické veličiny prostředí k jednotlivým geometrickým bodům. Tuto skutečnost je nutno chápat jako matematickou pomůcku, která nám umožní využít rozpracovanou teorii spojitých funkcí více proměnných. Z fyzikálního hlediska je nutno chápat veličiny připisované jednotlivým bodům kontinua jako nejlépe vyhovující průměrné hodnoty z tak velkého okolí bodu, že se v tomto okolí již neprojevuje nespojitá struktura skutečné látky.

1.1.1 Lagrangeova a Eulerova metoda popisu pohybu kontinua

Popis pohybu kontinua můžeme provést tak, že sledujeme pohyb částic, které v čase , kdy zahajujeme pozorování, se nacházejí v místech o souřadnicích . Souřadnice těchto částic označíme a píšeme

.

(1,1)

Rovnice (1,1) se liší od rovnic užívaných pro popis pohybu bodu (viz (I1,3)) přítomností souřadnic jako dalších nezávisle proměnných. Souřadnice vymezují částici, jejíž pohyb sledujeme. Obdobně jako v kinematice bodu užíváme pro křivku popsanou rovnicemi (1,1) při pevně zadaných název trajektorie částice kontinua. V mechanice kontinua předpokládáme spojité rozložení bodů , a tedy pro každou konečnou oblast kontinua, jejíž pohyb vyšetřujeme, představuje rovnice (1,1) nekonečný počet rovnic. Často je však možno vybrat z nich konečný počet, tj. konečný počet trajektorií, které dají dobrou představu o způsobu pohybu kontinua.

Druhým často užívaným popisem pohybu kontinua je udání rychlostí všech jeho částic. Částice, která se v okamžiku t nachází v místě , má rychlost

.

(1,2)

V každém okamžiku t z uvažovaného časového intervalu udává rovnice (1,2) rozložení rychlostí v celé vyšetřované oblasti (oboru uvažovaných ) kontinua. Budeme předpokládat, že rychlosti částic v sousedních místech kontinua nejsou příliš rozdílné, přesněji vyjádřeno, budeme předpokládat, že funkce (1,2) nenabývají současně nulových hodnot a jsou jednoznačné a spojité i se svými parciálními derivacemi dle souřadnic. Potom v každém okamžiku t lze kontinuem proložit křivky, jejichž tečny v každém bodě mají směr rychlosti . Takovým křivkám říkáme proudnice. Rovnici proudnice jakožto rovnici křivky lze v pevně daném čase t zapsat v parametrickém tvaru

,

(1,3)

kde s je libovolný parametr. Má-li křivka (1,3) být proudnicí, musí její tečný vektor mít směr shodný s rychlostí , tedy

,

(1,4)

kde k je libovolná konstanta. Rovnice (1,4) jsou diferenciálními rovnicemi určujícími tvar proudnic při známém poli rychlostí (1,2) , které v pevně zvolený časový okamžik můžeme psát jako . Parametr s je libovolný, a proto rovnice (1,4) bývají pro výpočet upravovány na tvar

.

(1,5)

Za výše učiněných předpokladů o funkcích (1,2) prochází každým bodem ve zvoleném oka-mžiku t jediná proudnice.

Uvážíme-li časovou závislost pole rychlostí (1,2) , je zřejmé, že rovnice (1,4) a (1,5) jsou v různých okamžicích různé. Tedy i obraz proudnic se s časem mění. Obraz proudnic je dán rychlostmi různých částic v jednom daném okamžiku. Trajektorie jsou drahami pohybu jednotlivých částic. Obecně trajektorie a proudnice jsou různé křivky. Pouze v případě, kdy rychlosti (1,2) jsou na čase nezávislé, a lze je tedy psát ve tvaru , oba druhy křivek splývají. Takový často uvažovaný případ nazýváme stacionárním nebo též ustáleným pohybem kontinua.

Podrobnější popis pohybu kontinua a důkazy zde uvedených tvrzení lze nalézt např. v [1], kap.12.

1.1.2 Rozklad pohybu kontinua na pohyb postupný, rotační a deformační

Vyšetříme nyní některé speciální případy pohybu kontinua. Nezávisí-li tvar trajektorií (1,1) na původní poloze částic, tj. když

,

(1,6)

rychlosti jsou v každém okamžiku stejné pro všechny částice a kontinuum koná postupný neboli translační pohyb (viz I, čl. 5.2).

Další možný pohyb kontinua jako tuhého celku (tuhého tělesa) je jeho rotace kolem osy. Osou rotace proložíme osu kartézské souřadnicové soustavy. Potom každá částice kontinua koná kruhový pohyb a poloměr R tohoto pohybu je dán původními souřadnicemi a částice; . Rovnice (1,1) pro rotaci kontinua jako tuhého celku podél osy (viz (I1,42)) mají tvar

.

(1,7)

Pro rychlost částic plyne z (1,7)

.

(1,8)

Porovnáním s (1,7) dostáváme

.

(1,9)

Vypočteme parciální derivace konkrétního tvaru (1,9) rovnic (1,2)

.

(1,10)

Utvoříme-li z parciálních derivací (1,10) výrazy tvaru

,

(1,11)

snadno zjistíme, že všechny jsou nulové; tedy

.

(1,12)

Z výrazů, které z parciálních derivací (1,10) lze zapsat ve tvaru

,

(1,13)

jsou nenulové pouze výrazy a .

Pro tyto dva výrazy, jejichž absolutní hodnota je stejná, které však mají opačné znaménko, plyne z (1,10) vyjádření

.

Výraz je okamžitá úhlová rychlost otáčení, označíme-ji obvyklým symbolem a poslední rovnici zapíšeme v tvaru

.

(1,14)

Skutečnost, že výrazy jsou nulové a výrazy nenulové, je charakteristické pro libovolnou rotaci kontinua jako tuhého celku a nejen pro vyšetřovanou rotaci kolem souřadnicové osy . Důkaz tohoto tvrzení lze nalézt v [1] v kapitolách 4 a 12.

 

Pohybuje-li se kontinuum jako celek, jedná se o pohyb tuhého tělesa, který jsme podrobně vyšetřovali v I v kapitolách 5 a 6. Vlastní oblastí zájmu mechaniky kontinua jsou případy, kdy dochází ke změně vzájemných vzdáleností částic. Vyjdeme z rovnic (1,2) , které udávají rychlost jednotlivých částic kontinua a budeme vyšetřovat pole rychlostí v okolí libovolného bodu o souřadnicích . Je-li rychlost v bodě , dostáváme pro rychlost v místě v diferenciálním přiblížení (viz např. [9], kap.12)

.

(1,15)

Výraz , který jakožto derivace vektoru dle souřadnice je tenzorem 2. řádu (viz např. [1], kap.1), rozepíšeme dle zřejmé identity

.

(1,16)

Rozpis (1,16) je rozkladem tenzoru na symetrickou část a antisymetrickou část *). Vyjádření (1,16) dosadíme do (1,15) ; dostáváme

.

(1,17)

První dva členy na pravé straně rovnice (1,17) odpovídají pohybu kontinua jako celku, první je rychlostí translace a druhý rychlostí rotace. Poslední člen , který při rotaci kontinua jako celku je nulový, udává rychlost, s jakou se mění vzdálenost částic v okolí uvažovaného bodu , tedy rychlost deformace v okolí tohoto bodu.

Obsah rovnice (1,17) lze vyslovit jako první Helmholtzovu větu:

 

Pohyb kontinua v okolí určitého bodu lze rozložit na pohyb translační (posuvný), na pohyb rotační (otáčivý) a na pohyb deformační.

K první Helmholtzově větě jsme dospěli orientačními úvahami na základě vyšetřování speciálního rotačního pohybu. Pro přesný důkaz odkazuji na [1], kap. 12.

 

Poslední člen rovnice (1,17) představuje nový jev - deformační pohyb - , s kterým jsme se v dříve probíraných partiích mechaniky nesetkali. Je tedy pro mechaniku kontinua podstatný, a proto se mu v následujících dvou článcích budeme podrobněji věnovat.

 

---

---