(7.47)

(7.48)

(7.49)

Ve speciálním případě, kdy budou polarizovatelnosti všech molekul stejné a rovné α ₀ , dostaneme výsledek

 

 

v němž jsme zavedli n₀  = n_V /V jako koncentraci molekul v jednotce objemu.

Elektrostatické pole E₁ působící na molekuly není ovšem obecně totožné s makroskopickým polem E přítomným uvnitř dané látky. Pouze v případě plynů, kdy je počet molekul v jednotkovém objemu velmi malý, můžeme zane­dbat interakce mezi nimi a obě pole ztotožnit; E₁ = E. Pro elektrickou suscepti­bilitu plynů χ _e pak podle definiční relace (1.255) dostaneme

 

 

Podobně permitivitu ε vyjádříme ve tvaru

 

 

V případě kapalin a pevných látek je situace složitější. Pro výpočet susceptibility je nutné určit lokální pole E ₁ působící na molekuly uvnitř látky. Toto pole má charakter časové střední hodnoty mikroskopického pole (srov. oddíl 5.4). Pro jeho výpočet navrhl H. A. Lorentz postup umožňující určit vztah tohoto pole k makroskopickému poli E uvnitř dielektrika. Kolem vyšetřované molekuly vymezíme v dielektriku malou kulovou oblast. Její poloměr zvolíme dostatečně velký, abychom dielektrikum vně této koule mohli považovat za kontinuum a použít pro jeho popis pojmu permitivity. Lokální pole E ₁ působící na vybranou molekulu bude potom možné vyjádřit jako součet makroskopického pole uvnitř zvolené dutiny E _d a pole E ℜ' , které v místě vybrané molekuly budí molekuly nacházející se uvnitř zvolené koule. Tedy

 

 

Pole E ℜ' představuje časovou střední hodnotu mikroskopického pole vzbuze­ného v místě vybrané molekuly jejími nejbližšími sousedy. Musí být proto, obecně řečeno, počítáno mikroskopicky. V některých případech však můžeme soudit na jeho nulovou hodnotu. Takovou situaci lze očekávat především v ka­palinách a v amorfních pevných látkách, které jsou izotropní a u nichž jsou mo­lekuly rozmístěny zcela nepravidelně, takže lze očekávat vyrušení jejich jednot­livých příspěvků. Podobné poměry nastávají v řadě krystalických látek s vy-sokou (především kubickou) symetrií. Také v těchto látkách dochází k vyrušení příspěvků jednotlivých molekul a platí E ℜ'  = 0 . V uvedených případech dosta­neme místo (7.53) jednodušší vztah E ₁ = E _d, čímž se výpočet permitivity značně zjednodušší.

Nadále se budeme zabývat jen těmi látkami, u nichž je uvedené zjednodušení možné. Potom lze použít výsledek (1.287) a pole v dutině E _d vyjádřit pomocí makroskopického pole E uvnitř dielektrika.

 

 

Odtud, vezmeme-li v úvahu vztah , dostaneme po dosazení do (7.49)

 

 

Rovnice vyjadřuje vzájemný vztah relativní permitivity nepolárních látek a pola­rizovatelnosti jejich molekul za předpokladu, že je možné zanedbat "mikrosko­pickou" složku E ℜ' lokálního pole E _d. Užitím Avogadrova zákona ji lze přepsat do obvyklého tvaru

 

 

nazývaného Clausiův-Mosottiův vztah. Veličina A_m v něm značí poměrnou molekulovou hmotnost dané látky, ρ _M její hustotu a N₀ Avogadrovu konstantu.

Clausiova-Mosottiova formule je v principu použitelná pro všechny nepo­lární kapaliny a plyny s tím přiblížením, s jakým je možné zanedbat "mikrosko­pickou" složku E ℜ' lokálního pole. Z jejího tvaru vyplývá, že teplotní závislost permitivity nepolárních látek je dána jen teplotní závislostí počtu molekul N₀ v jednotce objemu. Tato veličina však nemůže v kapalinách a pevných látkách jevit výraznou teplotní závislost. Permitivitu nepolárních látek můžeme tedy považovat za teplotně nezávislou.

Pomocí Clausiovy-Mosottiovy formule je možné vypočítat permitivitu látky, jestliže je znám počet molekul v jednotce objemu a jejich polarizovatelnost. Je však také možný obrácený postup. Ze změřené hodnoty permitivity umožňuje Clausiova-Mosottiova formule vypočítat polarizovatelnost molekul. Z chování permitivity v časově proměnných polích je dále možné odlišit elektronovou polarizovatelnost od polarizovatelnosti atomové. Experimentální studium per­mitivity umožňuje tudíž určovat jisté mikrofyzikální parametry dané látky, z nichž je dále možné usuzovat na strukturu jejich molekul. Studiem otázek podobného druhu se zabývá fyzika dielektrik a fyzikální chemie.

7.6.2 Langevinova teorie diamagnetismu atomů a molekul

 

V článku 6.2.2 jsme ukázali, že magnetický moment vložený do vnějšího magnetického pole koná Larmorovu precesi s Larmorovou frekvencí ω _L  = γ B . Aplikujeme-li tento výsledek na pohyb elektronu v atomu, přijdeme k závěru, že magnetické pole ovlivní pohyb elektronu způsobem, který je ekvivalentní vzniku jistého antiparalelního magnetického momentu.

Hodnotu tohoto momentu vypočteme pomocí jednoduchého modelu vyu­žívajícího výsledků příkladu 3.4.6a. Elektron nechť koná rovnoměrný pohyb po kruhové dráze, jejíž rovina svírá jistý úhel ϑ s osou z, do jejíhož směru orientu­jeme vnější pole B . Larmorova precese změní střední hodnotu momentu hyb­nosti elektronu o hodnotu , kde je střední kvadratický poloměr průmětu dráhy do roviny kolmé ke směru pole. Pro indukovaný magnetický moment m _d pak dostaneme podle (3.128)

 

 

Uvažujme nyní model atomu obsahujícího Z elektronů. Předpokládejme, že všechny elektrony obíhají po kruhových drahách o poloměrech r₁, r₂,..., r_Z. Tyto dráhy nechť jsou rovnoměrně prostorově rozložené tak, aby prostorové rozlo­žení elektronového náboje mělo kulovou symetrii. Celkový magnetický moment indukovaný vnějším polem bude dán součtem momentů jednotlivých elektronů. Tedy

 

Zavedeme-li střední kvadratickou hodnotu můžeme vzorec zapsat v jednodušším tvaru

 

 

Pro kulově symetrický atom však můžeme veličinu snadno vyjádřit pomocí střední kvadratické hodnoty poloměru dráhy , která má názornější význam. Ztotožníme-li počátek soustavy souřadné s jádrem atomu a orientujeme-li osu z ve směru pole, bude pro střední hodnoty čtverců sou-řadnic elektronů platit . Avšak vzhledem ke kulové symetrii atomu platí , takže . Indukovaný magnetický moment atomu tedy můžeme vyjádřit ve tvaru

 

Obsahuje-li uvažovaná látka n₀ stejných atomů v jednotce objemu, je celkový moment indukovaný v jednotce objemu vnějším polem B roven n₀-násobku momentu (7.58) . Pro diamagnetickou susceptibilitu dostaneme pak podle její definice (3.140)

 

 

Pro experimentální ověření platnosti Langevinova vztahu (7.59) je výhodné vyjádřit počet atomů v jednotce objemu n₀ užitím Avogadrova zákona pomocí molekulové hmotnosti A_m hustoty ρ _M a Avogadrovy konstanty N₀; n₀ = ρ _M  N₀/A_m. Pro susceptibilitu pak dostaneme

 

 

Problémem zůstává určení veličiny . Vezmeme-li za ni řádovou hodnotu poloměru atomu (10^-10 m), dostaneme po dosazení hodnot univerzálních konstant χ _m ~ ( ρ _M  N₀/A_m).10^-8. Vidíme tedy, že z Langevinova vzorce pro diamagnetika vychází teplotně nezávislá susceptibilita, jejíž řádová hodnota souhlasí s experimentem (srov. tabulku v článku 7.2.2).

J. H. van Vleck vypracoval ve dvacátých letech kvantovou teorii diamagne­tismu atomů a molekul. Pro diamagnetickou susceptibilitu získal výraz, jehož jeden člen je totožný s Langevinovým vztahem (7.59) . Hodnotu veličiny je v něm ovšem třeba počítat užitím aparátu kvantové mechaniky.[71]

 

7.6.3        Susceptibilita nekovových paramagnetik, permitivita polárních
látek (Langevinova teorie)

 

První kvantitativní teorii paramagnetismu nekovů vypracoval na počátku našeho století rovněž P. Langevin. Jeho teorie vychází z dnes již plně ověřeného předpokladu, že atomy, respektive molekuly paramagnetických látek mají vlastní magnetické momenty, které se účinkem vnějšího magnetického pole částečně orientují a vytvářejí makroskopickou magnetizaci. P. Debye ukázal později (r. 1912), že se stejný mechanismus může podílet rovněž na dielektrické polarizaci některých polárních látek, a použil Langevinovu teorii k výpočtu jejich permitivity. V tomto článku si postupně všimneme obou problémů.

 

a) Magnetická susceptibilita paramagnetik

Langevinova teorie vychází z předpokladu, že každý atom (respektive molekula) paramagnetické látky má vlastní magnetický moment m , jehož velikost nezávisí v prvním přiblížení na velikosti vnějšího magnetického pole. Dále předpokládá, že jednotlivé molekuly na sebe vzájemně nepůsobí, takže orientace dané mole­kuly není závislá na orientaci jiných molekul. Nepůsobí-li vnější pole, jsou magnetické momenty jednotlivých molekul orientovány chaoticky, takže vý­sledný magnetický moment makroskopické části látky je nulový. Ve vnějším poli jsou však jednotlivé momenty podrobeny silovému působení (viz čl. 3.4.2), takže může dojít k jejich částečnému uspořádání do směru pole.

Předpokládejme, že v malém objemu látky V je obsaženo n_V molekul, jejichž magnetické momenty m ₁, m ₂, ..., svírají se směrem vnějšího pole úhly ϑ ₁ , ϑ ₂,..., . Magnetizace látky M bude podle čl. 3.5.2 rovna výsledné složce magnetického momentu do směru pole (výsledné složky v jiných směrech jsou ovšem nulové)

 

Ve speciálním případě, kdy jsou všechny molekuly stejného druhu, mají všechny momenty stejnou velikost. Tedy

 

 

Zavedeme-li střední hodnotu a kon-centraci molekul n₀ = n_V/V, dostaneme

 

 

Problémem nyní zůstává výpočet střední hodnoty ℘ ϒ cosϑ ℘ ± , pro nějž je nutné použít statistické metody (srov. metody používané v kinetické teorii plynů; viz např. [10]). Pravděpodobnost určité hodnoty cosϑ je určena potenciální energií daného dipólu v magnetickém poli B působícím na dipól, pro níž podle (3.107) platí W_m = - m .B  = - mB cosϑ . (Díky tomu, že susceptibilita paramagnetik je velmi malá, můžeme pole B působící na atomové magnetické momenty vždy s dostatečnou přesností považovat za totožné s vnějším makroskopickým po­lem.) Funkce cosϑ má charakter spojité náhodné veličiny charakterizované hustotou pravděpodobnosti p(cosϑ ), pro niž platí

 

kde K_L je normovací konstanta. Použítím obecného výrazu pro výpočet střední hodnoty náhodné veličiny s normovanou hustotou pravděpodobnosti p(cosϑ ) dostaneme po přechodu k nové integrační proměnné ϑ výraz

 

 

po jehož integraci získáme výsledek

 

 

v němž jsme označili a = mB/k_BT  = μ ₀ mH/k_BT . Veličinu (7.64) je zvykem označovat symbolem L(a) a nazývat Langevinovou funkcí

 

 

Jejím využitím lze vyjádřit magnetizaci M vztahem

 

 

Jak vidíme, je magnetizace paramagnetika obecně dosti složitou funkcí teploty a magnetického pole. S výjimkou oboru velmi nízkých teplot a vysokých polí vždy platí a = μ ₀ mH/k_BT  <<  1. Pro tento případ můžeme Langevinovu funkci aproximovat jejím rozvojem v mocninnou řadu. Platí

 

 

Ponecháme-li v tomto rozvoji jen první člen, dostaneme z (7.66) pro susceptibilitu χ _m = M/H

 

 

Tento výraz má již tvar Curieova zákona (3.144) . Oba výrazy se ztotožní, položíme-li pro Curieovu konstantu

 

Langevinova teorie tedy dává kvalitativně správnou teplotní závislost paramagnetické susceptibility. Srovnáním naměřené teplotní závislosti suscepti­bility můžeme určit hodnotu Curieovy konstanty a z ní je podle (7.68) možné vypočítat velikost magnetického momentu molekul m. Pro další fyzikální inter­pretaci takto získané veličiny je však již nutné vzít v úvahu zákonitosti kvantové mechaniky.

L. Brillouin modifikoval Langevinovu teorii tak, aby vyhovovala omezením, která kvantová mechanika klade na prostorovou orientaci atomových a moleku­lárních magnetických momentů. Místo (7.66) získal obecnější vzorec, který lépe popisuje skutečnou situaci. Obecná kvantová teorie paramagnetismu atomů byla vypracována opět J. H. van Vleckem (srov. čl. 7.62).

 

b) Permitivita polárních látek

Díky tomu, že mechanické účinky elektrického a magnetického pole na elektrický a magnetický dipól jsou dány formálně shodnými vztahy, vzniká principiální možnost využít výsledky Lange­vinovy teorie též k určení orientační složky vektoru elektrické polarizace polár­ních dielektrik. Podmínkou její použitelnosti ovšem je, aby molekuly v dané látce byly dostatečně volné a mohly se účinkem elektrického pole natáčet.

Uvažujme látku obsahující n₀ molekul v jednotce objemu a předpokládejme, že každá z těchto molekul má vlastní dipólový moment p ₀. Pro orientační složku polarizace P_d bude na základě analogie s (7.66) a (7.67) jistě možné psát

 

 

V tomto vzorci E₁ představuje intenzitu elektrického pole působícího na mole­kulu. Na rozdíl od problému paramagnetismu však zde není obecně možné za­nedbat interakce mezi molekulami. Intenzita musí tedy mít význam lokálního pole. V analogii s článkem 7.6.1 můžeme zavést činitele orientační polarizova­telnosti

 

a polarizovatelnost molekuly podle (7.48) zobecnit na tvar

 

 

Výsledek (7.71) , nazývaný Langevinovým-Debyeovým vzorcem, vyjadřuje, že celková polarizovatelnost látky je obecně dána součtem elektronové, atomové a orientační polarizovatelnosti. Orientační polarizovatelnost dává tedy zřejmě teplotně závislý příspěvek k celkové polarizovatelnosti a vzorec (7.71) dává také možnost vysvětlit pozorovaný typ teplotní závislosti permitivity (7.12) .

Z naměřené teplotní závislosti permitivity je na druhé straně principiálně možné pomocí (7.71) určit dipólový moment molekuly. V jednotlivých konkrét­ních případech však mohou nastat obtíže, které mohou vést k nesprávným vý­sledkům. Jedním zdrojem těchto obtíží je skutečnost, že pro výpočet lokálního pole polárních látek není obecně možné použít postup, který vede na Clausiovu-Mosottiovu formuli (srov. čl. 7.6.1). Kromě toho v pevných látkách mohou být molekuly vzájemně silně vázány, a mohou tudíž mít značně omezenou možnost orientování. Langevinova teorie pak není použitelná.

 

7.6.4        Obecné podmínky platnosti Ohmova zákona, fyzikální podstata
Hallova jevu

 

Uvažujme homogenní vodič, který obsahuje jeden typ kladných a jeden typ záporných nositelů proudu. Označíme-li postupně jejich koncentrace, q⁽⁺⁾, q^(-) jejich náboje a v ⁽⁺⁾ , v ^(-) jejich střední (driftové) rychlosti, můžeme podle (3.8) až (3.10) vyjádřit hustotu proudu j ve tvaru

 

 

Naším úkolem nyní bude vyšetřit relaci mezi rychlostmi v ⁽⁺⁾ , v ^(-) a intenzitou přiloženého pole E v těch případech, kdy platí Ohmův zákon.

Z Ohmova zákona vyplývá, že stacionární elektrické pole E může vybudit jen stacionární proud. Rychlosti v ⁽⁺⁾ , v ^(-) musí být tedy v tomto případě časově ne­závislé. Kromě toho z požadavku platnosti Ohmova zákona vyplývá, že mezi těmito rychlostmi a intenzitou pole E musí platit úměrnost

 

 

Veličiny μ ⁽⁺⁾ , μ ^(-) jsou charakteristické pro daný vodič a nazývají se pohybli­vostmi nositelů proudu. Pro platnost Ohmova zákona je ovšem nutné, aby po­hyblivosti nezávisely na intenzitě pole.

Na druhé straně víme, že elektrické pole E působí na nositele náboje silami

 

 

nezávislými na jejich pohybu. Je proto zřejmé, že v látce musí na tyto nositele působit ještě další síly, které umožní současnou platnost vztahů (7.73) a (7.74) . Skutečně, kdyby takové síly neexistovaly, konstantní pole E by na nositele pů­sobilo nenulovými konstantními silami, které by vyvolaly jejich konstantní zrychlení. Nositelé proudu by se při konstantní intenzitě pole nemohly pohybo­vat konstantní rychlostí, takže by nemohly platit vztahy (7.73) nutné pro platnost Ohmova zákona.

Ohmův zákon požaduje, aby se nositelé proudu při působení konstantních elektrických sil (7.74) pohybovaly konstantními rychlostmi (7.73) . Z mechaniky víme, že taková situace je charakteristická pro pohyb těles ve viskózním pro­středí, které klade pohybu těles odpor úměrný jejich rychlosti. Působení tako­vých sil musíme tedy předpokládat také při pohybu nositelů proudu ve vodiči. Tyto "síly tření" mají původ v interakcích nositelů proudu s hmotou vodiče a mohou mít různé mechanismy v závislosti na typu těchto vodičů. Jejich exis­tence je však pro platnost Ohmova zákona nutná. V těch případech, kdy bychom mohli nositele považovat za volné, by Ohmův zákon nemohl nikdy platit. (Srov. čl. 7.3.7; pro konvekční proud elektronů ve vakuu je charakteristická "třípolovi­nová" závislost proudu na přiloženém napětí.)

Dosazením (7.73) do (7.72) a srovnáním s Ohmovým zákonem (3.22) je možné vyjádřit měrnou vodivost

 

 

Ve speciální, avšak časté situaci, kdy vodič jako celek je neutrální, přičemž oba typy nositelů mají náboje stejné velikosti q⁽⁺⁾ = q^(-) = q, platí . Výraz (7.75) vyjadřující vodivost se pak zjednodušší na tvar

 

 

Uvážíme-li dále, že platí μ ⁽⁺⁾  > 0, μ ^(-)  < 0, můžeme jej dále přepsat. Dostaneme

 

 

Pro látky splňující Ohmův zákon platí vždy vztahy typu (7.75) a (7.76) . Kon­centrace nositelů proudu a jejich pohyblivosti μ ⁽⁺⁾ , μ ^(-) představují mikrofyzikální parametry charakterizující elektrickou vodivost dané látky. Uve­dené vztahy také ukazují, kdy může být platnost Ohmova zákona narušena. Ta­ková situace nastane, jestliže koncentrace nositelů proudu, popřípadě jejich pohyblivost, bude záviset na intenzitě přiloženého pole (popřípadě na hustotě procházejícího proudu). Vztah (7.75) , resp. (7.76) nám také dovolí určit závis­lost měrné vodivosti na teplotě popřípadě na jiných fyzikálních podmínkách, jestliže zjistíme, jak na těchto podmínkách závisí obě zmíněné veličiny a μ ⁽⁺⁾ , μ ^(-) .

Je-li nám znám náboj nositelů proudu, je možné z měření měrné vodivosti určit pomocí (7.76) součin jejich koncentrace a pohyblivosti. Pro určení samotné hodnoty některé z těchto veličin je však třeba vedle vodivosti studovat ještě nějakou další vlastnost. V mnoha případech je velmi užitečné studovat Hallův jev (viz čl. 7.3.1), neboť jak ihned uvidíme, lze velmi jednoduše najít souvislost mezi Hallovou konstantou (respektive Hallovým odporem), nábojem a koncentrací nositelů proudu.

Na nositele proudu pohybující se ve vodiči umístěném v magnetickém poli působí totiž Lorentzova síla (3.57) . V geometrii podle obr. 7.18, kdy jsou nositelé proudu urychlováni elektrickým polem ve směru osy x, je nenulová jen její složka y, tj. F_L,y = -qv_xB_z . Jelikož orientace F_L,y závisí na znamení náboje, budou jejím účinkem nositelé proudu rozdělováni v příčném směru y, čímž vznikne elektrické pole E_y. V rovnovážném stavu musí platit qE_y + F_L,y = 0, odkud po dosazení z (7.19) dostaneme (za předpokladu jen jednoho typu nositelů) E_y = v_xB_z = j_xB_z/qn₀. Srovnáním tohoto výsledku s experimentálním vztahem (7.19) můžeme pak vyjádřit Hallovu konstantu, respektive Hallův odpor hledanou relací

 

 

7.6.5 Drudeho teorie vodivosti kovů

 

V článku 7.1.3 byly vyloženy nejdůležitější vlastnosti klasického modelu elek­tronového plynu. Použitím tohoto modelu vyložíme nyní klasickou (Drudeho) teorii elektrické vodivosti kovů. Podle tohoto modelu je v nulovém vnějším elektrickém poli pohyb elektronů zcela chaotický, tj. střední hodnota složky rychlosti elektronu v libovolném směru je nulová. V analogii s kinetickou teorií plynů se dále předpokládá, že je možné tento chaotický pohyb elektronů cha­rakterizovat Maxwellovým-Boltzmannovým rozdělením rychlostí a že je možné zavést pojem střední rychlosti , střední volné dráhy a střední doby volného pohybu , které vyhovují vztahu (7.6) .

Po přiložení vnějšího pole působí na každý elektron elektrická síla -eE , která vyvolává okamžité zrychlení a  = -eE /m_e . Každý volný elektron tedy získává nenulovou složku rychlosti ve směru pole. Pro vznik makroskopického proudu je rozhodující její střední hodnota, kterou vypočteme na základě Drudeho ele­mentární úvahy, vycházející z předpokladu, že při srážkách dochází ke středo­vání směru rychlosti rovnoměrně do všech směrů.

Okamžitou rychlost v_j (t) libovolného j-tého elektronu můžeme v každém okamžiku t vyjádřit vztahem

 

 

v němž v _{0,  j}. značí rychlost, kterou měl uvažovaný elektron bezprostředně po poslední srážce a t_j značí dobu, která uplynula od poslední srážky do uvažovaného okamžiku. Střední hodnotu rychlosti elektronů v daném okamžiku pak zřejmě dostaneme vystředováním v_j (t) pro všechny elektrony v jednotce objemu

 

 

První člen na pravé straně je roven nule díky uvedenému středovacímu účinku srážek. Střední hodnota intervalu t_j má zřejmě význam střední doby volného pohybu . Platí tedy

 

Střední hodnota rychlosti je tedy úměrná intenzitě elektrického pole, jak žádá podmínka (7.73) . Pro pohyblivost elektronů dostáváme

 

Po dosazení do (7.75) můžeme vypočítat hustotu proudu a měrnou vodivost realizovanou volnými elektrony

 

 

V dosavadních úvahách jsme mlčky předpokládali, že střední doba volného pohybu nezávisí na intenzitě pole. Tento předpoklad, na němž závisí platnost Ohmova zákona, bude zřejmě splněn, jestliže dodatečná rychlost udělená elektronům elektrickým polem bude malá ve srovnání s rychlostí jejich tepel­ného neuspořádaného pohybu. Abychom získali konkrétní představu, uvedeme číselné hodnoty obou rychlostí pro případ mědi. Z úlohy Ú 7.8 plyne pro po­hyblivost vodivostních elektronů mědi řádová hodnota 10^-3 m². s^-1. V^-1. Při v mědi již nedosažitelné intenzitě pole 10³ V.m^-1 (při níž by proudová hustota měla hodnotu ~ 10¹⁰ A.m^-2) by tedy elektronům byla udělována rychlost jednoho metru za sekundu. Naproti tomu pro střední rychlost neuspořádaného pohybu plyne z ekvipartičního teorému (viz např. [10]) pro pokojovou teplotu řádový odhad 10⁴ m.s^-1 a kvantově mechanický odhad dává pro pás šířky 10 eV hodnotu 10⁶ m.s^-1 (srov. čl. 7.1.2). Uvedený předpoklad je tedy pro měď bohatě splněn. Podobnými odhady bychom se mohli o jeho platnosti přesvědčit i pro jiné kovy. Drudeho teorie tedy podává realistický obraz o podmínkách platnosti Ohmova zákona v kovech.

Na jejím základě je možné úspěšné vyložit i platnost Franzova-Wiedemannova zákona (viz čl. 7.3.2). Aplikací metod kinetické teorie je totiž možné rovněž vypočítat příspěvek volných elektronů k tepelné vodivosti kovů, který často hraje dominantní úlohu (srov. způsob výpočtu tepelné vodivosti plynů uvedený například v [10]). Příslušný výpočet ukazuje,[72] že tepelnou vodi­vost elektronového plynu Λ _e lze vyjádřit vztahem

 

 

v němž T představuje absolutní teplotu, k_B Boltzmannovu konstantu a b číselnou konstantu b B  3. Využitím (7.81) a (7.82) pro poměr elektrické a tepelné vodi­vosti dostáváme

 

což je vztah shodný s experimentálním výrazem (7.26) . Jelikož platí 0,743.10^-8 W.Ω .K^-2, vidíme, že (7.83) dává i vcelku dobrý kvantitativní souhlas s  experimentem.

Ve výkladu dalších fyzikálních vlastností kovů však klasický model elektronového plynu již nebyl zdaleka tak úspěšný. V článku 7.2.2 jsme napří­klad viděli, že v rozporu s experimentem předpovídá teplotně závislou paramag­netickou susceptibilitu vodivostních elektronů. Podobná situace nastává i v případě měrného tepla. Podle klasického modelu by elektronový plyn měl mít značnou tepelnou kapacitu a měrné teplo kovů by i za vyšších teplot mělo být značně větší než měrné teplo nekovů. Ve skutečnosti však mají oba typy látek měrná tepla v podstatě stejná. Jak ukázal A. Sommerfeld, uvedené rozpory ply­nou z omezené použitelnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení. Při použití Fermiho-Diracova rozdělení vystihuje model elektronového plynu správně situ­aci i v případě uvedených vlastností. Je totiž zřejmé, že na měrném teple i na paramagnetické susceptibilitě se může podílet jen malý počet elektronů s energií blízkou Fermiho energii.

 

7.6.6 Výklad vodivosti roztoků

 

V oddílu 7.4 bylo ukázáno, že pro vodivost roztoků je charakteristická platnost Ohmova zákona a existence elektrolýzy vedla již Faradaye k závěru, že nositeli proudu v roztocích jsou hmotné částice (ionty) v roztoku přítomné. S. Arrhenius objasnil později (r. 1887) vznik těchto iontů jako důsledek štěpení molekul elektrolytu, které nastává působením rozpouštědla. Podle Arrhenia jsou mole­kuly elektrolytu v roztoku vždy v menší či větší míře rozštěpeny na kladné a záporné ionty, bez ohledu na to, teče-li roztokem proud.

Štěpení, tj. elektrolytická disociace, molekul je tedy důsledek vzájemné interakce mezi molekulami elektrolytu a rozpouštědla[73] . V daném roztoku tedy existuje vždy určitá koncentrace kladných a záporných nositelů proudu, která je určena pouze druhem látek tvořících roztok, jeho koncentrací, teplotou a pří­padně jinými fyzikálními podmínkami. Na vzniku nositelů proudu se však za normálních podmínek nepodílí přiložené elektrické pole. Toto pole se podílí na vzniku elektrického proudu pouze tím, že uvádí již existující nositele proudu do pohybu.

Jak jsme viděli v článku 7.6.4, je pro platnost Ohmova zákona nutná vedle nezávislosti koncentrace nositelů proudu na intenzitě pole i obdobná nezávislost jejich pohyblivosti. Tento požadavek je však v případě roztoku zřejmé dobře splněn, neboť lze přirozeně předpokládat, že každý iont je "hustě" obklopen molekulami rozpouštědla, které mu brání v pohybu. Pohyb iontu v roztoku mů­žeme tedy s dobrým přiblížením považovat za pohyb tělesa ve spojitém viskóz­ním prostředí, který může být popsán známým Stokesovým vzorcem. Platnost Ohmova zákona je pak již zřejmá. V nejčastějším případě, kdy se molekula štěpí na dva ionty opačné polarity se stejnou absolutní hodnotou náboje q, je možné vyjádřit měrnou vodivost vztahem (7.76a)

 

 

Pohyblivosti iontů μ ⁽⁺⁾ , μ ^(-) musí být zpravidla určovány experimentálně (srov. úlohy Ú 7.13 a Ú 7.14). K tomu účelu je výhodné určit jejich vztah k Hittorfo­vým převodním číslům. Použitím definičního vztahu (7.46) dostaneme podle (7.76a)

 

Jak bylo již řečeno v čl. 7.4.1, má pro studium vlastností roztoků zvlášť velký význam zjišťovat pohyblivosti při nízkých koncentracích, kdy je možné zane­dbat vzájemné interakce mezi ionty elektrolytu. Nejčastěji se užívají hodnoty při "nekonečném zředění", tj. hodnoty extrapolované k nulové koncentraci.

Představa o iontech jako nositelích proudu v roztocích umožňuje také velmi jednoduše vyložit platnost Faradayových zákonů elektrolýzy, které (jak uvi­díme) jsou bezprostředním důsledkem Avogadrova zákona. Nechť při projití náboje Q roztokem se vyloučí určité množství látky o hmotnosti M. Jestliže každý iont nese z elementárních nábojů, je k přenesení náboje Q zapotřebí n =  Q/ez iontů. Jejich celkovou hmotnost můžeme snadno vyjádřit pomocí Avogadrova zákona vztahem M = A_m n/ N₀ , v němž N₀ je Avogadrova konstanta a A_m relativní molekulová hmotnost iontu. Pro hmotnost M pak platí vztah

 

 

který má již tvar prvního Faradayova zákona (7.44) . Pro elektrochemický ekvivalent přitom vychází

 

Ze vzorce (7.85) také ihned vyplývá vztah (7.45) , vyjadřující druhý Faradayův zákon. Faradayův náboj F = N₀ e, zavedený v čl.7.4.2, představuje skutečně univerzální konstantu.

Nyní se pokusíme vyložit koncentrační závislost měrné vodivosti pomocí Arrheniovy teorie disociace. Zanedbáme-li totiž v prvním přiblížení koncen­trační závislost pohyblivosti, bude závislost měrné vodivosti dána právě jen kon­centrační závislostí hustoty nositelů proudu, tj. bude výrazně záviset na tom, jak se s koncentrací mění stupeň disociace elektrolytu.

Arrheniova teorie vychází z předpokladu, že v daném roztoku probíhá neu­stále jednak proces disociace dosud nedisociovaných molekul, jednak proces rekombinace, při němž se ionty elektrolytu spojují opět v elektricky neutrální molekulu. V rovnovážném stavu se rychlost obou procesů vyrovná, takže se celkový počet disociovaných molekul v roztoku již s časem nemění.

Předpokládejme, že dané koncentraci roztoku odpovídá c molekul elektrolytu v jednotce objemu. Pro popis disociačního stupně zaveďme veličinu α vyjadřu­jící relativní počet disociovaných molekul. Počet disociovaných molekul v jed­notce objemu tedy bude α c, zatímco počet nedisociovaných bude (1 - α )c. Předpokládejme nyní, že proces disociace probíhá s pravděpodobností p. Počet molekul Δ n ℜ' , které v jednotce objemu disociují za jednotku času, bude pak možno vyjádřit vztahem Δ n ℜ'  = (1 -  α )cp. Obráceně předpokládejme, že proces rekombinace probíhá s pravděpodobností q. Počet molekul Δ n ℜ'ℜ' rekombinujících v jednotce objemu za jednotku času bude zřejmě úměrný jak koncentraci ani­ontů, tak koncentraci kationtů. Bude tedy platit Δ n ℜ'ℜ'  =  qα ²c². Z podmínky rovno­váhy Δ n ℜ'  =  Δ n ℜ'ℜ'   dostaneme podmínku pro veličinu α

 

 

Veličina K_D podle předpokladu nezávisí již na koncentraci roztoku. Vyjadřuje schopnost daného elektrolytu disociovat v daném rozpouštědle a nazývá se jeho disociační konstantou.

Vztah (7.87) představuje kvadratickou rovnici, ze které může být vypočítána rovnovážná hodnota činitele disociace α .. Speciálně pro velmi malé koncentrace plyne z (7.87)

 

Disociační stupeň α se s klesající koncentrací blíží jedné. V oboru platnosti vztahu (7.88) tedy měrná vodivost roztoku poroste úměrně s jeho koncentrací. Tato závislost je ve shodě s experimentálními výsledky znázorněné na obr. 7.36. V oboru vyšších koncentrací však již nelze naměřené koncentrační závislosti vodivosti na základě řešení rovnice (7.87) vysvětlit. Jedním z důvodů je, že ne­lze zanedbat závislost pohyblivosti na koncentraci.

Disociační stupeň α má velmi jednoduchý vztah k molární vodivosti. Přímo z její definice vyplývá tzv. Arrheniův vztah

 

Disociační stupeň α při dané koncentraci je tedy určen poměrem molárních vodivostí při této koncentraci a při nekonečném zředění. Vezmeme-li v úvahu vzorec (7.89) , můžeme rovnici (7.87) přepsat na tvar

 

 

nazývaný Ostwaldovým zřeďovacím zákonem.

 

Právě vyložená teorie disociační rovnováhy platí pouze pro slabé elektrolyty. V případě silných elektrolytů totiž existují důvody k předpokladu, že i při konečných (a někdy značně vysokých) koncentracích roztoků jsou téměř všechny molekuly elektrolytu disociovány, takže pojem disoci­ační rovnováhy přestává mít smysl. Východiskem pro přesnější popis chování silných elektrolytů je teorie vypracovaná P. Debyem a E. Hückelem (v r. 1923), která se stala základem pozdějších interpretací vlastností především silných elektrolytů. Tato teorie je založena na modelu mikroskopického popisu elektrické interakce mezi ionty v ionizovaném prostředí, zatímco interakce jiného typu zanedbává. Uvažovaný iont je pokládán za bodový náboj, jehož interakce s nejbližšími ionty má charakter Coulombova zákona a vzdálenější ionizované prostředí je považováno za elektricky aktivní kontinuum reagující na přítomné makroskopické elektrické pole. Model předpokládá, že uvažovaný iont vyvolá - elektrostatickou interakcí s nejbližšími ionty - přerozdělení jejich poloh tak, že náboj uvažovaného iontu bude do značné míry odstíněn. Z příslušného výpočtu vyplývá, že na stínění se podílí ionty, jejichž vzdálenost od uvažovaného iontu je menší než jistá veličina λ _D, nazývaná Debyeův-Hűckelův poloměr [74] .

Debyeovu-Hückelovu teorii lze aplikovat nejen na chování elektrolytů, ale také na chování plazmatu. Její podrobnější výklad však přesahuje rámec této knihy. Pro podrobnější poučení odka­zujeme na obšírnější učebnice či monografie věnované statistické fyzice⁷⁴, a také na učebnice fyzi­kální chemie [13, 16].

 

7.6.7        Výklad nesamostatné vodivosti plynů, podmínky pro vznik
samostatného výboje

 

Základní vlastnosti nesamostatného výboje vyložené v článku 7.5.1 (zejména značná závislost nasyceného proudu na vnějších vlivech) ukazují, že za podmí­nek nesamostatného výboje jsou v plynu přítomni nositelé proudu, jejichž kon­centrace je určena vnějšími faktory působícími na plyn.

V plynu se mohou principiálně vyskytovat tři typy nositelů proudu: kladné a záporné ionty a volné elektrony. Při nesamostatném výboji je nutné předpo­kládat, že všechny typy nositelů vznikají ionizací molekul plynu. V oddílu 7.1 jsme uvedli základní fakta o procesech ionizace atomů a molekul, ze kterých vyplynulo, že různé typy látek mají různé ionizační vlastnosti. Podíl jednotli­vých typů nositelů na celkové vodivosti plynu bude tedy záviset především na typu plynu. Ukazuje se však, že závisí rovněž na tlaku.

Bylo prokázáno (srov. rovněž výklad o Franckově-Hertzově pokusu v článku 7.5.2), že k ionizaci molekuly může dojít při nepružné srážce s jinou částicí (elektronem, iontem apod.) o dostatečně vysoké energii, při níž ionizovaná mo­lekula přijímá určité množství energie potřebné například k vyražení jednoho elektronu. K vytržení jednoho elektronu z atomu či molekuly může také dojít při dopadu fotonu o dostatečně vysoké energii. Ionizační účinky bude mít proto především záření krátkovlnné (ultrafialové, rentgenové, záření gama). V oddílu 7.1 byla rovněž diskutována možnost vzniku záporného iontu, která je pro různé typy částic různá. Možnost vzniku záporného iontu daného typu bude zřejmě závislá na vzájemné rychlosti molekuly a elektronu.

Uvedené poznatky dovolují předpokládat, že v plynu existuje vždy určitá koncentrace volných elektronů a iontů, která je dána dynamickou rovnováhou mezi procesem ionizace a procesem rekombinace, při němž vznikají zpětně ne­utrální molekuly. Na základě diskuse této rovnováhy je možné popsat vlastnosti nesamostatného výboje.

Pro zjednodušení budeme uvažovat situaci v inertním plynu, v němž se na­chází pouze kladné ionty a volné elektrony. Předpokládejme, že účinkem vněj­ších ionizačních činitelů (nezávislých na přiloženém vnějším poli) se v jednotce objemu ionizuje za jednotku času Δ n atomů. Vznikne tedy Δ n kladných iontů a Δ n volných elektronů. Zaveďme činitel rekombinace K_r, který vyjadřuje prav­děpodobnost, že za jednotku času dojde v plynu k rekombinaci iontu s volným elektronem, a tedy ke vzniku neutrálního atomu (srov. úlohu Ú 7.17). Počet rekombinaci Δ n ℜ' , které nastanou v jednotce objemu za jednotku času, bude zřejmě úměrný jak koncentraci iontů , tak koncentraci volných elektronů . Jelikož za našich předpokladů je , bude platit

 

Podmínka rovnováhy Δ n =  Δ n ℜ' tedy dává

 

 

Z ní je možné rovnovážnou koncentraci iontů a volných elektronů vypočítat.

Uvažujme nyní plyn vyplňující prostor mezi dvojicí rovinných rovnoběžných elektrod plochy S, umístěných ve vzájemné vzdálenosti d, na nichž je přiloženo napětí U. Pole E = U/d bude urychlovat elektrony a ionty v plynu a mezi elek­trodami poteče jistý proud I. To ovšem znamená, že část nositelů proudu bude odevzdávat svůj náboj na elektrodách, čímž se bude jejich koncentrace zmenšo­vat. Předpokládejme, že v jednotce objemu ubude za jednotku času tímto způso­bem Δ n ℜ'ℜ' nositelů. Místo (7.92) bude nyní platit obecnější podmínka rovnováhy tvaru

 

Nyní vyšetříme dvě mezní situace. Při malých hodnotách napětí U bude zřejmě Δ n ℜ'ℜ'   <<   Δ n ℜ' . Úbytek nosičů proudu bude dán převážně jejich rekombi­nací. Rovnovážná koncentrace n₀ bude dána opět podmínkou (7.92) a nebude téměř závislá na protékajícím proudu. Za této situace bude možné vedení proudu popsat stejným modelem, který jsme použili v čl. 7.6.5 při vyšetřování vodivosti elektronového plynu. Pohyblivost μ nositelů proudu daného typu bude dána vztahem

 

 

který je analogický k (7.80) a v němž m představuje hmotnost částice a střední dobu jejího volného pohybu. Pro vedení proudu bude platit Ohmův zá­kon. Vyšetřovaná situace zřejmě odpovídá oblasti (a) na obr. 7.41.

Pro velké hodnoty napětí U dostaneme druhý mezní případ, kdy budou téměř všichni nositelé proudu přitaženi k elektrodám dříve, než budou mít možnost rekombinovat. V tomto případě bude Δ n ℜ'ℜ'   >>   Δ n ℜ' a podmínka rovnováhy bude mít tvar

 

Z ní vyplývá, že proud mezi elektrodami má konstantní hodnotu I, nezávislou na změně napětí U. Předpokládáme-li, že dané částice nesou náboj ez dostaneme

 

 

Proud I_s je maximální proud, který může při daných ionizačních mechanismech plynem projít. Dostáváme tedy situaci odpovídající oblasti (c) na obr. 7.41.

Předpokládejme nyní, že napětí U přiložené na elektrody je dále zvyšováno. Je zřejmé, že ke kvalitativní změně situace v plynu dojde při takových jeho hod­notách, při nichž elektron (resp. iont) získá od elektrického pole za dobu svého pohybu mezi po sobě následujícími srážkami kinetickou energii srovnatelnou s energií ionizační. Za těchto podmínek počne vzrůstat počet nepružných srážek uvažované nabité částice s neutrálními molekulami, takže daný elektron (resp. iont) počne produkovat další páry nositelů proudu. Kromě toho mohou kladné ionty dopadající na katodu vyvolat sekundární emisi elektronů, čímž koncen­trace nositelů proudu v plynu rovněž vzroste.

Uvedené mechanismy vzniku nosičů proudu, na nichž se podílí přiložené elektrické pole, jsou zřejmě odpovědné za vzrůst proudové hustoty v oblasti (d) charakteristiky z obr. 7.41 a při určité kritické hodnotě přiloženého napětí vedou k lavinovitému vzrůstu koncentrace nosičů proudu, a tudíž k nasazení (zapálení) samostatného výboje. Uvědomíme-li si, že střední volná dráha mole­kul plynu je nepřímo úměrná tlaku, , a pro intenzitu pole můžeme psát E = U/d, kde d je vzdálenost elektrod, pak z požadavku rovnosti ionizační energie W_i a práce elektrického pole na dráze , , můžeme odhadnout podmínky pro nasazení samostatného výboje. Z uvedených vztahů vyplývá, že zápalné napětí U_z bude funkcí součinu tlaku plynu a vzdálenosti elektrod, což je také obsahem experimentálně zjištěného Paschenova zákona.

 

ÚLOHY KE KAPITOLE 7

Ú 7.1: Předpokládejte, že atom vodíku je tvořen protonem, kolem nějž obíhá elektron konstantní úhlovou rychlostí ω po rovinné kruhové dráze o poloměru r = 0,1 nm, a že působení mezi protonem a elektronem lze popsat Coulombovým zákonem. Užitím tohoto zjednodušeného modelu vypočítejte koeficient polari­zovatelnosti atomu vodíku za předpokladu, že elektrické pole působící na atom je kolmé k rovině dráhy elektronu. Získanou hodnotu α _H porovnejte s hodnotou určenou z naměřené relativní permitivity molekulárního vodíku ε _r = 1,00026 při hustotě ρ _M = 0,04 kg. m^-3.

Ú 7.2: Jaká je polarizovatelnost molekuly benzenu C₆H₆, jestliže při teplotě 20 °C byla naměřena relativní permitivita ε _r = 2,2773. Benzen je nepolární a při teplotě 20 °C má hustotu ρ _M = 879,0 kg. m^-3.

Ú 7.3: Experimentálně zjištěná teplotní závislost relativní permitivity ε _r vodních par je uvedena v tabulce 7.12. Předpokládejte, že vodní pára se chová jako ide­ální plyn, a vypočítejte teplotní závislost její molární polarizace. Určete polari­zovatelnost molekuly vody a její dipólový moment.

 

Tabulka 7.12 Teplotní závislost permitivity vodních par.

T (K)	393	423	453	483
tlak (Pa)	75 300	81 210	87 100	92 970
(r - 1) . 105	400,2	371,7	348,8	328,7

Ú 7.4: Válcová nádoba velmi malé podstavy o výšce l cm je naplněna kapalným chlorovodíkem HCl o hustotě 1710 kg. m^-3. Molekula HCl má vlastní elektrický dipólový moment p = 4,44 .10^-30 C. m. Určete velikost polarizace P a celkový dipólový moment p_V za předpokladu, že dipólové momenty všech molekul jsou orientovány ve směru osy nádobky.

Ú 7.5: Dvě kuličky malých rozměrů, z nichž jedna je hliníková a druhá bismu­tová, jsou zavěšeny v nehomogenním magnetickém poli, které má nenulový gradient ve směru spojnice středů kuliček. Obě tělesa se dotýkají a gradient magnetického pole je v celém jejich objemu konstantní. Určete pořadí umístění kuliček a vztah mezi jejich poloměry R_Bi, R_Al tak, aby výsledná síla působící na kuličky byla nulová.

Ú 7.6: Železo má kubickou, objemově centrovanou krystalovou mřížku s mříž­kovou konstantou a₀ = 0,286 nm. Pro kovové železo bylo experimentálně zjiš­těno, že magnetický moment připadající na jeden atom při 0 K je 2,216 μ _B. Ur­čete odpovídající spontánní magnetizaci (respektive magnetickou polarizaci) železa.

Ú 7.7: Nekovové paramagnetikum obsahuje v jednotce objemu n₀ atomů s lo­kalizovaným magnetickým momentem 1  μ _B. Látka je umístěna v magnetickém poli l T při teplotě 300 K. Určete počet atomů Δ n₀ , které by vytvářely stejnou magnetizaci za předpokladu, že jejich momenty jsou zcela orientovány ve směru pole.

Ú 7.8: Vypočtěte pohyblivost volných elektronů v mědi za předpokladu, že na každý atom připadá jeden vodivostní elektron. Při výpočtu vyjděte z hodnoty měrné vodivosti podle tab. 7.7.

Ú 7.9: Vypočtěte pohyblivost nositelů proudu v germaniu s příměsí arsenu o koncentraci 1,5 . 10¹⁵ donorů/cm³. Měrná vodivost γ  = 1 Ω ^-1cm^-1.

Ú 7.10: Při měření Hallova jevu v kovovém sodíku bylo při proudové hustotě j = 10⁷A.m^-2 a magnetickém poli B = 1 T naměřeno příčné elektrické pole = 2,5  .10^-3 V.m^-1. Určete koncentraci vodivostních elektronů n₀, porovnejte ji s počtem atomů v 1 m³. Hustota sodíku je 970 kg. m^-3

Ú 7.11: Jaká je výstupní práce elektronů daného kovu, jestliže při zvýšení tep­loty z 2000 K na 2001 K se nasycený emisní proud zvýší o l %?

Ú 7.12: Roztok KCl o koncentraci 10% má měrný odpor ρ _R = 0,074 Určete stupeň disociace, jsou-li pohyblivosti iontů ve vodě rovny:  6,7 . 10^-8 m².s^-1.V^-1, = 6,8 . 10^-8 m².s^-1.V^-1.

Ú 7.13: Určete stupeň disociace a měrný odpor čisté vody, jsou-li známé rovno­vážné koncentrace iontů H⁺ a OH^- rovné 10^-4 mol.m^-3 a pohyblivosti těchto iontů = 3,2 . 10^-7 m².s^-1 V^-1, = 1,8 . 10^-7 m².s^-1 V^-1.

Ú 7.14: Při elektrolýze zředěného roztoku NaCl v přístroji pro stanovení Hittor­fových převodních čísel byl zjištěn úbytek elektrolytu u anody 0,4 molu, prošel-li přístrojem náboj rovný Faradayovu náboji F. Molární vodivost roztoku NaCl při nekonečném zředění Λ _{ℜ nekonecno}  = 12,6 m² >-1.mol^-1, teplota roztoku byla 25 °C. Stanovte pohyblivostí iontů Na⁺, Cl^-.

Ú 7.15: Extrapolováním koncentrační závislosti molární vodivosti vodných roztoků HC1, NaCl a octanu sodného byly nalezeny molární vodivosti při neko­nečném zředění (při teplotě 25 °C): Λ _{ℜ nekonecno ,HCl}  = 42,4 m².>-1.mol^-1, Λ _{ℜ nekonecno ,NaCl}  = 12,6 m².>-1.mol^-1, = 9,2 m².>-1.mol^-1. Vypočtěte hodnotu Λ _{ℜ nekonecno} pro kyselinu octovou CH₃COOH, pro níž nelze extrapolaci v zásadě provést, a to pro neúplnou disociaci při velkých zředěních.

Ú 7.16: Určete měrný odpor vzduchu za normálního tlaku a teploty, jestliže díky přirozené radioaktivitě a kosmickému záření vzniká v 1 m³ za každou sekundu 5.10⁶ iontových párů.

Ú 7.17 Vzduch mezi deskami rovinného kondenzátoru je účinkem ionizujícího záření ionizován homogenně v celém objemu. Za jednotkou času vzniká v obje­mové jednotce Δ n iontových párů. Obě desky kondenzátoru jsou uzemněny, v prostoru mezi elektrodami je ustavena rovnováha mezi ionizací a rekombinací, která je určena činitelem rekombinace K_r. Stanovte:

a) rovnovážnou koncentraci iontových párů n₀,

b) časovou závislost koncentrace iontových párů n(t) po vypnutí ionizují­cího záření,

c) uvažte, jak by bylo možné využít závislosti n(t) k měření činitele rekombinace K_r.

---