Impedance ve vlnovodu

U rovinné elektromagnetické vlny TEM šířící se dielektrikem můžeme snadno určit poměr amplitudy elektrického a magnetického vektoru

, který se označuje  jako vlnový odpor. 

Bude-li se taková vlna šířit prostředím, kde nelze zanedbat vodivost

dostaneme pro poměr amplitud 

 komplexní veličinu,

která se označuje jako vlnová impedance prostředí Z₀. Pro dobré vodiče (kovy) jsme ji již určili: 

Předpokládáme, že se vlna TEM ve volném prostředí šíří ve směru z a můžeme ji obecně vyjádřit

a z Maxwellových rovnic dostaneme pro konstantu šíření výraz :

Jako charakteristickou impedanci ve vlnovodu zavádíme veličinu

pro vlny TE      

pro vlny TM       

Z rovnic (3.1.7) až (3.1.10) se přesvědčíme, že tyto charakteristické impedance opět souvisejí s transverzálními složkami pole

pro  TM i TE     

Impedance Z₁ závisí na modu pole. Pomocí charakteristické impedance se dají rovnice (3.1.7) až (3.1.10) zapsat formálně jednodušeji:

pro vlnu TE:              (3.7.1)

                                      (3.7.2)

pro vlnu TM:             (3.7.3)

                   

                    kde  značí transverzální složky polí a je  jednotkový vektor ve směru osy vlnovodu. 

 

Zavedení pojmu impedance pro vlnovody má praktický význam. Skutečně používaný vlnovod se od nekonečně dlouhého vlnovodu, který byl výhodný pro snadné nalezení šířících se vln, liší tím, že v určité rovině z = konst. nastane nehomogenita. Ta může být nejrůznějšího charakteru - zakončení vlnovodu, odbočka, umístění štěrbiny, přechod od jednoho průřezu k jinému.  Z toho vyplývá, že k řešení složité okrajové úlohy musí být použito všech typů vln. Některé z nich se ovšem v určité vzdálenosti od nehomogenity utlumí. Jsou-li rozměry vlnovodu voleny tak, aby se mohla šířit pouze dominantní vlna,  zůstává pouze ta. Řešení takových úloh pomocí Maxwellových rovnic je obtížné a z hlediska přenosu energie i zbytečné. Proto se uchylujeme k metodám, které jsou propracovány a známy z teorie obvodů v ustáleném stavu, zejména pro homogenní vedení (telegrafní rovnice).

Uvažujeme-li nekonečný vlnovod jako prostředí pro přenos výkonu, víme, že v každém průřezu máme

Vzhledem k tomu, že v tomto výrazu se uplatní pouze transverzální složky polí, můžeme psát

Z toho vyplývá, že veličina

 je analogická  pro homogenní vedení a

 je analogické , kde U a J značí napětí a proud.

Budeme nyní uvažovat vlnovod, kde v rovině z = 0 je nehomogenita. Dopadající vlna se šíří ve směru z,  v rovině z = 0 nastává též odraz a ve směru -z se šíří též odražená vlna. 

Obr. 3.7.1  Vlnovod s nehomogenitou v rovině z = 0

Vlnovod považujeme za ideální (nekonečně vodivé stěny ). Vlevo od roviny z = 0 se šíří dvě vlny:

přímá          

odražená     

jejichž amplitudy závisí na z. 

Reflexní koeficient v rovině z = 0

Z rovnic (3.1.7) až (3.1.10) vyplývá, že pro vlny TE nemění elektrické složky pole znaménko při změně směru šíření v opačný, ale magnetické složky znaménko mění. Pro vlny TM je tomu právě naopak. Složením přímé a odražené v libovolné rovině z < 0 dostaneme

	(3.7.4)
	(3.7.5)

Dostali jsme stojatou vlnu s periodou poloviny vlnové délky.

Reflexní koeficient v libovolné rovině z < 0 je  takže (3.7.4) a (3.7.5) přepíšeme na tvar:

	(3.7.4´)
	(3.7.5´)

Označíme jako poměr stojatých vln (PSV) poměr maximální a minimální hodnoty E_tr(z)

          (3.7.6)

Obr. 3.7.2 Grafické znázornění vzniku stojaté vlny

Jako impedanci Z(z) v rovině z (vstupní impedanci) definujeme

           (3.7.7)

Většinou se pracuje s redukovanými hodnotami impedance

          (3.7.7´)

nebo admitance

                   (3.7.8)

Reflexní koeficient je pak možno vyjádřit pomocí redukované impedance

                  (3.7.9)

Vzhledem k tomu, že  dostaneme z (3.7.9) dosazením Z_R(0) důležitý vztah pro redukovanou impedanci v libovolné rovině Z_R(z) a impedanci v rovině nehomogenity:

          (3.7.10)

Řešení rovnic (3.7.7´), (3.7.9), (3.7.10) se usnadní použitím kruhového diagramu na obr. 3.7.3.

Obr. 3.7.3 Kruhový diagram

Všimněte si řešení rovnice (3.7.10) pro dva mezní případy.

1. V rovině nehomogenity z = 0 nenastává odraz (zátěž je přizpůsobena), potom R₀ = 0 a Z_R(z) = 1 pro všechna z.

2. V rovině nehomogenity je vlnovod zkratován (vodivou stěnou), transversální složka

Redukovaná impedance v rovině z = -d je pak  Tyto výsledky jsou analogické s homogenním vedením.

Výše jsme uvedli, že určité integrály obsahující intenzity  a  jsou pro vlnovod analogické s napětím a proudem v homogenním vedení z hlediska přenosu energie. Nyní si zcela formálně zavedeme redukované napětí v(z) jako veličinu úměrnou sumárnímu transversálnímu elektrickému poli E(z) a redukovaný proud i(z) úměrný sumárnímu transversálnímu magnetickému poli H(z) ve vlnovodu s nehomogenitou.

<<< předchozí | hlavní stránka