Elektrické pole

Intenzitu elektrického pole definujeme jako sílu působící na jednotkový náboj:

V látkovém prostředí definujeme vektor elektrické indukce ; kde   je vektor elektrické polarizace (elektrický dipólový moment jednotky objemu). Obvykle se předpokládá lineární závislost ; kde χ je elektrická susceptibilita. Z toho

, kde .

Zdrojem toku elektrické indukce je náboj - elektrické pole je zřídlové. Platí Gaussova věta: Tok vektoru elektrické indukce uzavřenou plochou obklopující náboj q je úměrný množství náboje a nezávisí na tvaru plochy:

 neboli 

Ze zkušenosti plyne, že v elektrostatickém poli nezávisí práce, kterou vykoná náboj q po křivce, na tvaru křivky, neboli že pohybem po libovolné uzavřené křivce práci nekonáme:

 neboli . Z toho plyne, že  lze napsat jako -grad φ. Pro φ platí Laplaceova -Poissonova rovnice .

Energie elektrostatického pole: Práce vykonaná přemístěním bodového náboje q´ z ∞ do vzdálenosti r od bodového náboje q je rovna . Pro velké množství nábojů se tyto práce sčítají: (ve vzorci je  , abychom každý příspěvek nepočítali dvakrát).

Potenciál v místě j-tého náboje je

a tedy ; za ρ dosadíme z Gaussovy věty div   a použijeme identity:

Použijeme Gaussovu větu na první integrál:

 a bereme plochu v ∞ a první integrál je 0 a  ; objemová hustota energie je  .

Zákon zachování náboje; plyne ze zkušenosti a experimentu; z něj plyne rovnice kontinuity (platí vždy):

Obr.1.3.1 Tečné složky na rozhraní dvou prostředí

Tečné složky:

 ze vztahu

neboli

.

Normálové složky:

 z Gaussovy věty

 neboli

Magnetické pole

Magnetickou indukci definujeme pomocí silových účinků na pohybující se náboj: , kde  je rychlost náboje. Vektor magnetické intenzity definujeme jako  je vektor magnetizace (magnetický dipólový moment jednotky objemu látky), obvykle se předpokládá ; kde χ je magnetická susceptibilita, , kde .

Z experimentů plyne, že magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou plochou je vždy roven nule: , tj. neexistuje magnetický náboj,

Ve statickém magnetickém poli je křivkový integrál magnetické intenzity  podél uzavřené křivky ohraničující proud I úměrný velikosti tohoto proudu:  (Ampérův zákon) neboli rot .

Z rovnice  plyne, že  lze  napsat jako , kde  je definováno až na gradient φ kalibrační podmínka např.  . Pak (homogenní prostředí).

Energie magnetostatického pole: výraz  je možné interpretovat jako interakční energii částice s vnějším magnetickým polem. Pro náboje s hustotou r:

, kde  . Pak .

To je interakční energie proudu  v daném poli . 

  (je-li pole vytvořeno týmiž proudy , je třeba dělit výraz 2, abychom interval energií proudových elementů nezapočítali dvakrát)

Veličinu  interpretujeme jako práci potřebnou na vytvoření magnetického pole.

Upravíme:

, jsou-li proudy soustředěny v konečné oblasti  a objemová hustota energie je .

Na rozhraní dvou prostředí (z obdobné úvahy jako pro elektrostatiku a použitím vztahů a ):

I. série

II. série

rovnice kontinuity

   = 0