Řešené příklady


imageS/p1.gif

Obr. P1 Smithův diagram pro bezeztrátové vedení

Příklad 1:

Bezeztrátové vedení s charakteristickou impedancí imageS/01_10_1/image330.gif je zakončeno zatěžovací impedancí 50 + j.100 Ω. Určete koeficient odrazu a poměr stojatých vln.

 

Řešení:

Normalizované komponenty jsou imageS/01_10_1/image332.gif .

Tedy  imageS/01_10_1/image334.gif, imageS/01_10_1/image335.gif.

Najdeme průsečík příslušných souřadnic, proložíme pravítko tímto bodem a středem diagramu. Prodloužíme-li přímku na okraj diagramu, odečteme +45o na stupnici úhlu odrazu ve stupních. Přeneseme-li pomocí kružítka nebo odměřením vzdálenost od středu diagramu k bodu (1,2) na lineární stupnici koeficientu odrazu (obr 1.10.5 pod kruhovým diagramem), dostaneme hodnotu 0,707.  Koeficient odrazu je 0,707/+45o. Když tutéž vzdálenost přeneseme na lineární stupnici činitele stojatého vlnění, najdeme k ≈ 6,0. Tato stupnice je totožná se stupnicí na odporové ose (vodorovná osa na obrázku 1.10.5) kruhového diagramu (pro hodnoty ≥ 1), takže hodnotu k ≈ 6,0 můžeme odečíst přímo z diagramu.

 

Příklad 2:

Totéž přenosové vedení je dlouhé imageS/01_10_1/image002.gif. Určete impedanci v místě začátku vedení.

(úloha je totožná s úlohou najít impedanci vedení v místě o imageS/01_10_1/image002.gif vzdáleném od zátěže).

 

Řešení :

Pravítko položené stejně jako v příkladě 1 protíná osu vlnových délek směrem ke generátoru v čísle 0,1875. K této hodnotě přičteme 0,25 směrem ke generátoru a dostaneme 0,4375. Proložíme tímto bodem a středem diagramu přímku. Pak přeneseme radiální vzdálenost bodu (1,2) na tuto přímku a dostaneme koordináty impedance v místě o imageS/01_10_1/image002.gif vzdáleném od zátěže: r = 0,2, x = - 0,4.

Normalizovaná vstupní impedance imageS/01_10_1/image336.gif a imageS/01_10_1/image338.gif . Pokud by vedení mělo ztráty 2 dB, což odpovídá útlumu asi 0,79, pak bychom se po výsledné přímce posunuli ještě o 2 dB do středu diagramu. Příslušná vzdálenost se dá opět určit z lineárních stupnic pod kruhovým diagramem (obr 1.10.5) a sice z dB stupnice pro útlum (transmission loss, I dB steps). Naneseme původní radiální souřadnici a pokročíme o 2 dB ve směru “toward generator”. Dostaneme přibližně 0,43 - j.0,35.

Z příkladu je vidět, že vzdálenost imageS/01_10_1/image002.gif na Smithově diagramu odpovídá pootočení o 180o, jinak řečeno jedná-li se o vedení délky imageS/01_10_1/image002.gif musíme užívat vnější stupnice na obvodu diagramu a příslušnou přímku můžeme rovnou protáhnout středem na opačnou stranu než je původní impedance. Přeneseme-li na opačnou stranu stejnou radiální vzdálenost, dostaneme přesně převrácenou hodnotu původní impedance:

imageS/01_10_1/image340.gif.

Je tedy možné stejným způsobem počítat s normalizovanými admitancemi jako s impedancemi.

 

Příklad 3:

imageS/p2.gif

Obr. P2 Smithův diagram

Určete redukovanou impedanci vedení v místě vzdáleném o imageS/01_10_1/image004.gif od zakončovací impedance, která je 0,7 + j.0,8. Určete poměr stojatých vln a vzdálenost prvního minima stojatých vln od konce vedení.

 

Řešení:

 

Nejdříve najdeme bod A, který odpovídá zakončovací impedanci, a proložíme jím a středem diagramu přímku. Fáze koeficientu odrazu nás tentokrát nezajímá. Zajímá nás kdy dojde k prvnímu minimu. Ve stupních je to dáno úhlem 180o - fáze koeficientu odrazu, neboť minimum nastane tehdy, je-li rozdíl fází dopadající a odražené vlny 180o. Nás zajímá nikoliv údaj ve stupních, ale vzdálenost od zakončení linky, která tomu odpovídá. Ta je relativně vzhledem k λ, na diagramu také vynesena. Fázový úhel je přibližně 87,5o. První minimum bude asi o 0,132 λ vzdáleno od zakončení směrem ke generátoru. Impedanci v místě vzdáleném o imageS/01_10_1/image004.gif od zakončení najdeme: sečteme 0,132 + imageS/01_10_1/image006.gif = 0,182; tímto bodem na obvodu diagramu a středem protáhneme přímku, která ve stejné vzdálenosti od středu jako B od A, bude udávat normalizované souřadnice impedance v tomto místě (1,3 + j·1,1).

Koeficient stojatého vlnění určíme stejně jako v příkladě 1.

(výsledek k ≈ 2,6)

 

Příklad 4:

imageS/p3.gif

Obr. P3 Smithův diagram

Na vedení bylo nalezeno první minimum od zátěže ve vzdálenosti imageS/01_10_1/image008.gif. Koeficient stojatého vlnění byl změřen k ≈ 3,5. Najděte normalizované hodnoty zatěžovací impedance. Bylo by možné tentýž koeficient stojatého vlnění dosáhnout s čistě odporovou zátěží? Pokud ano, najděte normalizovanou velikost tohoto odporu a polohu prvního minima od zátěže.

 

Řešení:

 

Postupujeme inverzně k předchozímu příkladu. Polohu prvního minima vyneseme směrem ke generátoru. Spojnice se středem nám udává geometrické místo bodu, kde bude ležet normalizovaná impedance, kterou je vedení zakončeno. Nyní přeneseme kružítkem odpovídající k na tuto křivku a dostaneme bod se souřadnicemi = 0,4, x = 0,5, zakončovací impedance je 0,4 + j.0,5. Přeneseme-li tutéž radiální vzdálenost na osu reálného odporu, dostaneme ≈ 0,3. To je odpor, se kterým lze dosáhnout stejného poměru stojatých vln. Koeficient odrazu má v takovém případě fázi 180o, takže minimum nastává v místě zátěže a první měřitelné minimum by bylo imageS/01_10_1/image010.gif vzdáleno od této zátěže.

 

Příklad 5:

imageS/p4.gif

Obr. P4 Smithův diagram

Jak bychom v kruhovém diagramu znázornili zařazení sériové reaktance, která právě kompenzuje imaginární složku zatěžovací impedance z = 1+ j.1,2 ? Jaký charakter musí mít kompenzující sériová reaktance ?

 

Řešení :

 

Kladná reaktance má induktivní charakter, záporná kapacitní. Kladná susceptance, což je  imaginární část admitance, má kapacitní charakter, záporná induktivní. (Mnemotechnická pomůcka:  vztahy imageS/01_10_1/image342.gif a imageS/01_10_1/image344.gif) Naše zatěžovací impedance má tedy induktivní reaktanci, kterou je třeba kompenzovat zařazením sériové kapacitní reaktance o redukované velikosti -j.1,2. Odpovídá to posunu po kruhu s konstantní reálnou složkou impedance směrem k nulové hodnotě reaktance. Ve vlnovodu odpovídá této kapacitní reaktanci kolík, zapuštěný dovnitř vlnovodu ve středu delší strany obdélníkového průřezu vlnovodu. Tomuto zařízení se říká impedanční transformátor a pomocí něj je možné zlepšení koeficientu stojatého vlnění a tím přizpůsobení zátěži.