Celková kinetická energie translačního pohybu N molekul, každé o hmotnosti m₀ je rovna

Jedná-li se o plyn, jehož chování lze popsat stavovou rovnicí ideálního plynu pV = nRT, kde n je látkové množství plynu, musí se pravá strana (5.32) rovnat nRT, takže

Kinetická energie translančního pohybu plynu je tedy jednoznačnou funkcí teploty. Rovnice (5.32) je vyjádřením Boyleova-Mariottova zákona s tím, že konstanta, jíž je roven součin pV, je interpretována jako 2/3 celkové kinetické energie translančního pohybu molekul.

Zobrazit doplňující text

Pokud je splněn Boyleův-Mariottův zákon, lze usoudit, že molekuly spolu neinteragují mimo okamžiky srážky. Interakce molekul musí záviset na jejich vzdálenosti. Nelze očekávat, že interakce dvou nekonečně vzdálených molekul bude stejná, jako kdyby byly těsně vedle sebe. Kdyby se např. molekuly odpuzovaly tím více, čím blíže jsou u sebe, musel by tlak plynu vzrůstat při zmenšování jeho objemu rychleji, než odpovídá zvyšování hustoty molekul při zmenšování objemu. Kdyby se molekuly přitahovaly tím více, čím je jejich vzdálenost menší, tlak by klesal pomaleji než odpovídá Boyleovu-Mariottovu zákonu.

V tabulce 5-2 uvádíme pro několik plynů, jak se relativně mění při konstantní teplotě 0 °C hodnota součinu pV. Za referenční hodnotu tlaku je brána hodnota p₀ = 101,3 kPa. Přibližně s tou přesností, s jakou zůstává hodnota pV/p₀V₀konstantní, platí tvrzení, že se neuplatňuje silové působení molekul a že potenciální energie vyplývající z tohoto působení je nulová.

V jednoatomové molekule se nemohou uplatnit vnitřní pohyby a rotace molekuly by neměla zvýšit znatelně její kinetickou energii.

Zobrazit doplňující text

Jednoatomovou molekulu totiž můžeme modelovat jako kuličku o průměru řádově 10^-l0 m, jejíž hmotnost m₀ je soustředěna v jádře o průměru 10^-15 m. Pro nepatrné rozměry jádra je moment setrvačnosti kuličky vzhledem k ose procházející těžištěm molekuly zanedbatelný, a nemusíme jej uvažovat.

Získaný výsledek lze poměrně snadno porovnat s experimentálními výsledky. Tato konfrontace ověří správnost kinetické teorie plynů.

Víme , že molární tepelná kapacita plynu při konstantním objemu C_mV je rovna derivaci molární vnitřní energie podle termodynamické teploty. Tedy pro látkové množství n = 1 mol plyne z (5.34)

Podle Mayerova vztahu (viz (3.19b)) je molární tepelná kapacita při konstantním tlaku C_mp větší než C_mV, a to o hodnotu R, takže

Poměr C_mp/C_mV se nazývá Poissonova konstanta

. (viz vztah (3.20)), pro jednoatomový plyn předpovídá teorie hodnotu

= 5/3 = 1,66. Z trojice veličin C_mV, C_mp,

lze přesněji změřit poslední dvě. Metody měření jsou popsány například v učebnici [3]. Molární tepelná kapacita při stálém objemu se měří obtížněji, neboť hmotnost plynu v nádobě rozumných rozměrů je za běžných tlaků dosti malá. Určuje se proto C_mVjako poměr

Hodnoty C_mp a

naměřené za normálních podmínek pro některé jednoatomové plyny uvádíme v tab. 5-3. Souhlas teorie s experimentem je velmi dobrý. Rozdíly jsou ve všech uváděných případech menší než 2 %. Tento výsledek je jedním z hlavních úspěchů kinetické teorie plynů a potvrzuje představu, že vnitřní energie jednoatomového plynu je určena celkovou kinetickou energií translančního pohybu atomů.

Tabulka 5-3 Molární tepelné kapacity C_mp a Poissonova konstanta

jednoatomových plynů.

Plyn	C_mp (J.mol^-1.K^-1)
argon Ar	20,89	1,648
helium He	20,94	1,63
krypton Kr	20,79	1,689
neon Ne	20,79	1,642
xenon Xe	20,79	1,666
dusík N	20,79	-
kyslík O	21,9	-

5.7 Vnitřní energie jednoatomového plynu